王 川

(武漢大學(xué) 電氣工程學(xué)院，武漢 430072)

0 引 言

在許多實(shí)際問題中需要考慮導(dǎo)電媒質(zhì)為半無窮空間的情形，例如直流輸電或配電網(wǎng)接地故障等。作為半無窮空間的導(dǎo)電媒質(zhì)可以是大地，也可以是湖水，海水等[1]。在許多應(yīng)用中，需要考慮電極附近的電流場特性，且激勵(lì)源并非僅限于直流源，故用來描述遠(yuǎn)離電極區(qū)域的無源Laplace方程或齊次Helmholtz方程就需要進(jìn)行修改以反映電極附近區(qū)域的電流場特性。為此，我們將從Maxwell方程組出發(fā)推出含有激勵(lì)源項(xiàng)的非齊次Helmholtz方程。由于電源可被視為維持電極上自由電荷的裝置，我們可據(jù)此物理地理解非齊次項(xiàng)為電荷密度的函數(shù)的原因。另一方面，由于這類模型龐大的計(jì)算域而使得純數(shù)值方法的運(yùn)用受到了限制，我們將考慮解析-數(shù)值混合方法。為了避免分離變量法的復(fù)雜性，我們直接應(yīng)用阻抗邊界條件得到關(guān)于電流密度的第一與第三邊值條件，再用Green函數(shù)求解。對于(半)球形電極，計(jì)算時(shí)可直接視為點(diǎn)電極，而對于垂直線狀電極，我們將建立關(guān)于電荷密度的變分，為此將靜電勢能表為電荷密度的函數(shù)，并以Ritz法極小化此變分，從而得到電荷密度分布。

1 邊值問題的建立

×H=κE+iωεE

(1)

(2)

式中：ω為激勵(lì)源頻率。由式(1)，式(2)和Ohm定律。

J=κE

(3)

得到導(dǎo)電空間中電流密度的方程為：

(·J)-ΔJ=-iωκμJ

(4)

·J=-iωρ

(5)

代入式(2)得到一非齊次Helmholtz方程：

ΔJ+k2J=-iωρ

(6)

式(5)、式(6)中的ρ為激勵(lì)源(電極)上的電荷密度，且-iωκμ=k2。式(6)在直角坐標(biāo)系中等價(jià)于3個(gè)標(biāo)量方程：

(7)

式中：Jx，Jy，Jz分別為電流密度J的3個(gè)分量。

為得到邊值，我們考慮阻抗邊界條件[2]：

E-(n·E)n=γZ0n×H

(8)

其中，n為單位外法向量，

(9)

式中：Z0為自由空間特征阻抗；μ0，ε0分別為自由空間的磁導(dǎo)率和介電常數(shù)。參數(shù)γ定義為：

(10)

式中：εr，μr分別為導(dǎo)體的相對介電常數(shù)與相對磁導(dǎo)率。

只要|1/γ|?1阻抗邊界條件就可以應(yīng)用。若頻率不是太高，式(10)總是可以滿足的。

將：

(11)

代入式(8)右邊，我們得到：

(12)

考慮電場強(qiáng)度切向分量的連續(xù)性并注意在導(dǎo)體表面有Ez=0，我們最終得到電流密度的邊界條件為：

(13)

(14)

Jz=0

(15)

至此，我們已對Jx，Jy建立第三邊值問題而對Jz建立第一邊值問題。

2 Green函數(shù)的構(gòu)造

為得到上述邊值問題的Green函數(shù)，我們考慮Helmholtz方程的基本解：

(16)

式中：(x,y,z)和(ξ,η,ζ)分別為場點(diǎn)與源點(diǎn)。由于導(dǎo)體表面為一無窮大平面，故可運(yùn)用鏡像法得到第三邊值問題的Green函數(shù)為[3]：

(17)

其中：

(18)

(19)

(20)

(21)

第一邊值問題的Green函數(shù)為：

(22)

式(17)，式(22)的構(gòu)造已考慮Sommerfeld輻射條件：

(23)

3 以Green函數(shù)法解電流密度邊值問題

令：

(24)

則邊值問題，式(13)～式(15)之解可表為：

r=xex+yey+zez,R=ξex+ηey+ζez,

m=x,y,z

(25)

式中：VR為源函數(shù)KM(R)所在的區(qū)域，而KM(R)需要事先給定，這是與電極形狀有關(guān)的函數(shù)。若兩電極為(半)球狀且其間距d遠(yuǎn)大于電極自身的半徑，則可視兩電極為點(diǎn)電極，KM(R)可以Dirac-δ函數(shù)描述即：

M=ξ,η,ζ

(26)

式中：q為單個(gè)電極上的電荷量，K1，K2分別為兩點(diǎn)電極的坐標(biāo)(-d/2,0,0)和(d/2,0,0)，將兩點(diǎn)電極之間的連線取為x軸并將導(dǎo)電半空間表面取為z=0，如圖1所示。

圖1 點(diǎn)電極激勵(lì)的導(dǎo)電半空間Fig.1 The conducting half-space excited by the point electrodes

為了便于應(yīng)用，可由：

(27)

將電極電荷量q以流經(jīng)系統(tǒng)的總電流I代替，注意流出為正流入為負(fù)的電流符號規(guī)則。

采用表示法：

(28)

并考慮Dirac-δ函數(shù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)：

(29)

即得：

m=x,y,z,M=ξ,η,ζ

(30)

引入函數(shù)：

(31)

則式(30)可寫為：

(32)

(33)

(34)

其中：

(35)

(36)

(37)

(38)

總電流密度為：

(39)

在實(shí)際情況中常見的還有線狀電極。設(shè)有一垂直于地面的線狀電極，若其長度l遠(yuǎn)大于其半徑，則可將其視為一維桿0≤ζ≤l，設(shè)其上電荷垂直密度分布為ρz(ζ)，在激勵(lì)源頻率不太高的準(zhǔn)靜態(tài)情形，則其將使靜電勢能達(dá)到最小。

(40)

積分域D為：

0≤ζ1≤l,0≤ζ2≤l,|ζ1-ζ2|≥c>0

式中：c為一充分小的正數(shù)以使式(40)不含奇點(diǎn)(位于ζ1=ζ2上)并使數(shù)值計(jì)算結(jié)果足夠精確。

運(yùn)用Ritz法[4]，設(shè)：

(41)

則若令a0=q/l即能滿足條件：

(42)

將式(41)代入式(40)得U=U(a1,a2, …,a2n)。

并使：

(43)

即可得到關(guān)于a1,a2,…,a2n的線性方程組，從而得到線狀電極上電荷密度的垂直分布ρz(ζ)。

在ω=0的直流激勵(lì)源情形，電流密度式(32)～式(34)將變?yōu)椋?/p>

(44)

(45)

(46)

總電流密度為：

(47)

式中：r1，r2分別由式(35)，式(36)表出。這是兩半球電極直流電流在均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中擴(kuò)散的熟知結(jié)論[5]。

4 數(shù)值計(jì)算

以下我們給出算例，各參數(shù)取值如下：激勵(lì)源角頻率ω=100 π rad/s；電極距離d=50 m；電導(dǎo)率κ=0.1 S/m；相對磁導(dǎo)率μr=1；相對介電常數(shù)εr=50；總電流I=50 A；電極長度l=10 m；計(jì)算范圍-50≤x≤50，-25≤y≤25，z=2。先計(jì)算兩個(gè)點(diǎn)電極激勵(lì)的電流密度分布，結(jié)果如圖2。

圖2 點(diǎn)電極激勵(lì)的電流密度場Fig.2 The field of current density excited by point electrodes

圖2顯示了由于點(diǎn)電極形狀與位置的對稱性所導(dǎo)致的電流密度場的對稱性。電流密度場在離開點(diǎn)電極區(qū)域后衰減很快。

再考慮垂直棒狀電極與點(diǎn)電極組成的系統(tǒng)。設(shè)棒狀電極長度l=10 m，位于x=-25，y=0，0≤z≤10， 則運(yùn)用Ritz法求得：

(48)

在式(40)的計(jì)算中取c=10-9。這種情況下依式(25)算得的電流密度分布如圖3所示。

圖3 線狀電極-點(diǎn)電極激勵(lì)的電流密度場Fig.3 The field of current density excited by linear-point electrodes

圖3顯示點(diǎn)電極附近比線狀電極附近 的電流密度場衰減更快。這是合理的，因?yàn)榫€狀電極上電荷的縱向分布使得電流在其附近的擴(kuò)散區(qū)域更廣。

5 結(jié) 語

以非齊次Helmholtz方程與阻抗邊值條件可以建立時(shí)諧激勵(lì)源在導(dǎo)電半無窮空間中產(chǎn)生的電流密度場模型。以Green函數(shù)法可將整個(gè)導(dǎo)電區(qū)域的電流密度場表為公式，這些公式僅在電極本身所處的區(qū)域具有奇異性。本文公式在ω=0的特殊情形與已知結(jié)果一致。另外，為求得運(yùn)用Green函數(shù)法所必須的源分布，可用Ritz法極小化關(guān)于電荷密度的靜電勢能函數(shù)的變分，此法對于線狀電極可以非常簡單地實(shí)行。數(shù)值計(jì)算表明本文的混合方法可以方便地應(yīng)用于可化為這類模型的實(shí)際問題中。

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