基于GARCH—VaR模型對(duì)滬深300ETF基金的實(shí)證分析

【摘要】由于在金融領(lǐng)域內(nèi)，GARCH模型在金融時(shí)間序列波動(dòng)率的模擬以及金融風(fēng)險(xiǎn)的度量中都有著相對(duì)廣泛的應(yīng)用。故而本文基于GARCH模型以正態(tài)分布的假定度量VaR值的精確程度，并且對(duì)VaR值進(jìn)行失敗率檢測(cè)。結(jié)果表明，滬深300ETF基金具有尖峰厚尾特特征；利用EViews8.0對(duì)基金收益率序列進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)其具有強(qiáng)相關(guān)性。通過(guò)GARCH模型消除相關(guān)性，對(duì)收益率建模，有效預(yù)測(cè)估計(jì)了基金的VaR值。

【關(guān)鍵詞】滬深300ET基金 Eviews8.0 GARCH-VaR 自相關(guān)VaR回測(cè)檢驗(yàn)

一、引言

對(duì)于指數(shù)的研究，只能通過(guò)對(duì)跟蹤其指數(shù)的ETF（Exchange Trade Fund）基金走勢(shì)的計(jì)量進(jìn)行觀測(cè)。當(dāng)前市場(chǎng)上跟蹤滬深300指數(shù)的基金有很多，但國(guó)內(nèi)學(xué)者通常使用的嘉實(shí)滬深300ETF。ETF基金是基金托管人通過(guò)“復(fù)制”和追蹤指數(shù)的變化來(lái)運(yùn)作的，換句話說(shuō)，實(shí)際上ETF基金是由一攬子股票組成的投資基金，托管人會(huì)盡可能地使ETF基金指數(shù)與凈值同步。但是滬深300ETF基金作為指數(shù)基金中的一種，本身雖然有許多優(yōu)點(diǎn)，然而相對(duì)來(lái)說(shuō)還是具有很大的局限性。近年來(lái)，眾多學(xué)者對(duì)于指數(shù)基金的研究已經(jīng)不勝枚舉，但對(duì)滬深300ETF基金的研究相對(duì)來(lái)說(shuō)并不算多。而在近來(lái)股市牛熊轉(zhuǎn)變的過(guò)程中，ETF基金的市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)日益擴(kuò)大。所以，在后金融危機(jī)時(shí)代，如何加強(qiáng)對(duì)基金的風(fēng)險(xiǎn)管理已經(jīng)成為基金管理者的一個(gè)重大課題。VaR方法能表示各類風(fēng)險(xiǎn)，并提供發(fā)生概率，所以成為當(dāng)前風(fēng)險(xiǎn)管理方面最通用的一種方法。

因此，本文選取滬深300ETF基金數(shù)據(jù)，基于GARCH模型精確的計(jì)算VaR值，從波動(dòng)性的角度，建立GARCH族模型，并且相互比較，計(jì)算出VaR值，分析VaR值與實(shí)際收益率的差別。再利用金融時(shí)間序列本身尖峰厚尾的特征來(lái)跟蹤收益率變動(dòng)方差的方法，為基金管理者評(píng)估，度量與防范金融風(fēng)險(xiǎn)提供一定的決策參考，希望的到研究者的重視。

二、理論基礎(chǔ)

（一）理論基礎(chǔ)

風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值度（Value at risk，VaR）企圖對(duì)金融機(jī)構(gòu)的資產(chǎn)組合提供一個(gè)單一的風(fēng)險(xiǎn)度量，而這一度量正好可以體現(xiàn)金融機(jī)構(gòu)的整體風(fēng)險(xiǎn)。

VAR的定義是在一定的持有期內(nèi)和一定的置信水平下投資者或機(jī)構(gòu)預(yù)期下的最大損失。其數(shù)學(xué)公式為 ，其中Δp為證券組合在持有期t內(nèi)的損失，C表示給定的置信水平，VaR表示置信水平C下處于風(fēng)險(xiǎn)中的價(jià)值。

但在實(shí)際生活中，大家經(jīng)常使用德?tīng)査龖B(tài)分布法[1]，其公式為 ，其中W0表示初始投資額，Zα表示標(biāo)準(zhǔn)正太分布下置信度α對(duì)應(yīng)的分為數(shù)，σ為證券組合的標(biāo)準(zhǔn)差，Δt為持有期。本文選取該法計(jì)算VaR。

（二）GARCH模型[2]

ARCH（autoregressive condition heteroskedasticity）是應(yīng)用于一串金融時(shí)間序列，對(duì)其波動(dòng)性進(jìn)行描述的模型，該模型30年來(lái)已廣泛的應(yīng)用到經(jīng)濟(jì)學(xué)與金融學(xué)的計(jì)量分析中，是分析金融時(shí)間序列的根本模型。在這個(gè)模型的基礎(chǔ)上，1986年Bollerslev又提出所謂“廣義自回歸條件異方差”模型（generalized ARCH，GARCH），GARCH（p，q）模型一般公式如下：

其中，p≥0，q>0；α0>0，αi≥0；i=1，…p；βj≥0，j=1，…q。

GARCH模型的出現(xiàn)，對(duì)于我們描述收益率的波動(dòng)性提供了有效的途徑。其最簡(jiǎn)單的形式為GARCH（1，1）模型，基本表達(dá)形式為：

（三）GARCH-VaR理論

1.VaR計(jì)算。利用GARCH模型計(jì)算出的條件方差σ2t，再將隨時(shí)間變化的條件方差轉(zhuǎn)換成金融資產(chǎn)收益率的方差，結(jié)合本論文選取的計(jì)算方法，就可以計(jì)算出未來(lái)一段時(shí)期內(nèi)風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值VaR預(yù)測(cè)值。

2.VaR回測(cè)檢驗(yàn)?；販y(cè)檢驗(yàn)最常用的方法就是失敗率檢驗(yàn)法。該方法就是對(duì)比超過(guò)計(jì)算出的VaR實(shí)際損失的概率與一定置信水平下的上限值是否接近或相等。若通過(guò)模型模擬的失敗率等于或接近等于預(yù)先設(shè)定的VaR的置信水平，則說(shuō)明模型有效；若模擬的失敗率與預(yù)設(shè)置信水平相差太大，則說(shuō)明模型不恰當(dāng)。假定置信水平為C，實(shí)際考察天數(shù)為T(mén)，失敗天數(shù)為N，由二項(xiàng)式過(guò)程可以得到在T個(gè)樣本中發(fā)生N次失敗的概率為：（1-α）N-TαN[3]。似然比率的計(jì)算為：

三、數(shù)據(jù)處理及檢驗(yàn)

本文選取2013年3月25日至2016年4月21日滬深300指數(shù)ETF基金每日收盤(pán)價(jià)數(shù)據(jù)，剔除節(jié)假日等無(wú)效數(shù)據(jù)，共計(jì)749個(gè)樣本點(diǎn)。數(shù)據(jù)來(lái)源于wind，為了減少誤差，在這里，我們定義yt為日收益率（%），對(duì)數(shù)函數(shù)的取值范圍為全體實(shí)數(shù)，更適合用于金融建模。因此，本文選取對(duì)數(shù)收益率來(lái)處理：

（一）正態(tài)性檢檢

本文以Matlab為分析工具，利用頻數(shù)分布直方圖來(lái)分析滬深300指數(shù)ETF基金的日收益率（如圖1）。分別對(duì)峰度，偏度及Jecque—Bera檢驗(yàn)三個(gè)指標(biāo)進(jìn)行檢驗(yàn)。由Matlab處理的結(jié)果知，偏度（skewness）為-0.6548，小于0，表明收益率的分布具有左側(cè)長(zhǎng)尾特征，實(shí)際收益率小于平均收益率的情況較多。峰度（kurtosis）為7.2631，大于3，故其峰度高于正態(tài)分布，該分布的尾部要比正態(tài)分布尾部要厚，說(shuō)明存在金融時(shí)間序列中“尖峰厚尾”特征。JB檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為1512.344，拒絕原假設(shè)，故yt不屬于正態(tài)分布。

（二）ADF單位根檢驗(yàn)[4]

運(yùn)用GARCH模型的前提條件之一是要求數(shù)據(jù)平穩(wěn)。因此，接下來(lái)使用ADF檢驗(yàn)法對(duì)滬深300ETF基金數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性進(jìn)行檢驗(yàn)。原假設(shè)收益率序列存在單位根，運(yùn)行Matlab可知：ADF檢驗(yàn)值為-12.62，小于零界值，拒絕原假設(shè)，表明數(shù)據(jù)不存在單位根。即收益率序列平穩(wěn)。

（三）相關(guān)性檢驗(yàn)

利用自相關(guān)函數(shù)（ACF）和偏自相關(guān)函數(shù)（PACF）對(duì)ETF基金收益率進(jìn)行檢驗(yàn)，并采用Q檢驗(yàn)來(lái)檢驗(yàn)其相關(guān)性。原假設(shè)是數(shù)據(jù)不存在序列相關(guān)性。利用Eviews8.0軟件來(lái)處理收益率序列，其輸出結(jié)果（如圖2）。

由圖2可知，收益率序列存在高階的自相關(guān)性，因此建立AR（1）模型、MA（1）模型，ARMA（2，2）模型，AR（2）模型，MA（2）模型，A RMA（2，2）模型，AR（3）模型，MA（3）模型，ARMA（3，3）模型，AR（4）模型，MA（4）模型，ARMA（4，4）模型等，經(jīng)過(guò)多次檢驗(yàn)，并根據(jù)AIC準(zhǔn)則和SC準(zhǔn)則，發(fā)現(xiàn)建立AR（4）模型較好。

3）通過(guò)分析可以得到，AR（3）和AR（4）項(xiàng)的系數(shù)的t值分別為-0.110507和0.160045；p值分別為0.0023和0，均通過(guò)t檢驗(yàn)。DW值接近于2，比較顯著，無(wú)序列相關(guān)性；又AIC和CS值比較小，故AR（4）模型更好。

再對(duì)其殘差序列進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)殘差存在波動(dòng)的群集現(xiàn)象，由此推斷殘差存在條件異方差性，需要進(jìn)行條件異方差檢驗(yàn)。

F值與LM值的伴隨概率在5%的置信水平下拒絕原假設(shè)，即殘差序列存在異方差性。

再對(duì)殘差平方的自相關(guān)（AC）與偏自相關(guān)（PAC）系數(shù)進(jìn)行分析，結(jié)果如下圖所示。

由圖可知，滯后3階后的伴隨概率明顯小于顯著性水平0.05。因此，殘差序列存在三階ARCH效應(yīng)，因此在AR（4）的基礎(chǔ)上建立ARCH模型[5]。在條件異方差的情況下往往用GARCH模型替代ARCH模型。

四、實(shí)證分析

（一）GARCH（1，1）模型參數(shù)估計(jì)與檢驗(yàn)

在AR（4）模型的基礎(chǔ)上建立GARCH（1，1）模型，得到參數(shù)估計(jì)及檢驗(yàn)結(jié)果（見(jiàn)下表1）

其中，GARCH（-1）表示GARCH（1，1）模型中的β1項(xiàng)，RESID（-1）^2表示GARCH（1，1）模型中α1項(xiàng)，數(shù)據(jù)顯示GARCH（-1）+RESID（-1）^2<1，滿足了GARCH模型的平穩(wěn)性條件要求β1+α1<1，α0>0以及α1和β1非負(fù)，確保了σ2>0。再對(duì)該模型滯后一階進(jìn)行ARCH效應(yīng)檢驗(yàn)，結(jié)果如表2：

F值與LM值的伴隨概率在5%的置信水平下接受原假設(shè)，即殘差序列存在同方差性，糾正了異方差性，消除了ARCH 效應(yīng)。因此，GARCH（1，1）模型的方程為：

Yt=0.000701-0.073479yt-3+0.091753yt-4

z統(tǒng)計(jì)值（1.265436） （-1.986991） （2.247929）

σ2t=0.00000449+0.086214μ2t-1+0.905075σ2t-1

z統(tǒng)計(jì)值 （4.576802） （7.896524） （103.1921）

綜上分析，GARCH（1，1）可以更有效地控制風(fēng)險(xiǎn)，并且方法簡(jiǎn)單有效，對(duì)滬深300ETF基金的收益率波動(dòng)有較好的分析能力。

（二）VaR的計(jì)算與回測(cè)

采用GARCH模型擬合收益率波動(dòng)方程計(jì)算出的VaR值，通過(guò)了失敗率檢驗(yàn)法的回測(cè)檢驗(yàn)，表明擬合效果較好。

五、結(jié)論

與參考文獻(xiàn)不同，本文在GARCH模型建立的過(guò)程中，不僅檢驗(yàn)出滬深300基金收益率存在顯著異方差，而且存在高階自相關(guān)，即使使用GARCH模型仍不能完全消除收益率的自相關(guān)。因此本文首先對(duì)滬深300開(kāi)放式指數(shù)基金建立高階AR模型利用赤池信息準(zhǔn)則和施瓦茨信息準(zhǔn)則判斷出AR（4）模型的效果最好，然后建立AR（4）-GARCH（1，1），再次檢驗(yàn)殘差，發(fā)現(xiàn)信息已將被完全提取，說(shuō)明了滬深300指數(shù)基金的收益率序列已經(jīng)被完全刻畫(huà)，因此利用所建模型計(jì)算VaR，并使用LR（似然估計(jì)值）進(jìn)行VaR的預(yù)測(cè)檢驗(yàn)，結(jié)果顯示AR（4）—GARCH（1，1）模型對(duì)于VaR預(yù)測(cè)效果良好。

一般來(lái)說(shuō)，GARCH模型只能用來(lái)消除收益率序列的異方差，即收益率平方的自相關(guān)，但是無(wú)法消除收益率本身存在的自相關(guān)。所以，僅僅采取GARCH模型對(duì)收益率建模并不能完全提取數(shù)據(jù)中所給信息，也就無(wú)法準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)未來(lái)VaR，而收益率之間的自相關(guān)只能通過(guò)ARMA建模進(jìn)行處理，因此在進(jìn)GARCH建模之前一定要確保收益率本身是獨(dú)立的。只有這樣VaR才能被更加準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)。

參考文獻(xiàn)

[1]劉志永.上證50ETF的風(fēng)險(xiǎn)度量與管理[D].遼寧，遼寧大學(xué)，2012年5月.

[2]張成思.金融計(jì)量學(xué)[M].北京：中國(guó)人民大學(xué)出版社，2015年4月.

[3]李之好，周海林.兩種風(fēng)險(xiǎn)度量方法的研究[J].雞西大學(xué)學(xué)報(bào)第16卷第4期，2016年4月.

[4]周昭雄，王劍.基于GARCH-VaR模型的ETF基金市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)的實(shí)證分析[J].工業(yè)技術(shù)經(jīng)濟(jì)第29卷第1期，2010年1月.

[5]黃燦.基于GARCH-M模型的中國(guó)創(chuàng)業(yè)板收益率的實(shí)證分析[J].嘉興學(xué)院學(xué)報(bào)第26卷第6期，2014年11月.

[6]侯敏.我國(guó)股指期貨的風(fēng)險(xiǎn)度量研究[D].天津，天津財(cái)經(jīng)大學(xué)，2011年6月.

作者簡(jiǎn)介：曾國(guó)慶（1994-），男，漢族，安徽蕪湖人，安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)金融學(xué)院，研究方向：金融工程。