曹辰

摘 要：對于初中生而言，幾何推理的學(xué)習(xí)存在一定的難度。利用幾何直觀，可以幫助學(xué)生把復(fù)雜的幾何問題變得簡明形象，有助于學(xué)生進行幾何推理的學(xué)習(xí)。針對如何在課堂教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力和推理能力進行了一些探索。通過尺規(guī)作圖，引導(dǎo)學(xué)生運用“先直觀，再推理”的分析方法，提高學(xué)生解決幾何問題的能力。

關(guān)鍵詞：幾何直觀能力；推理能力；尺規(guī)作圖

一、研究背景

按照《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的規(guī)定，幾何直觀主要是指利用圖形來分析問題。恰當(dāng)?shù)乩脦缀沃庇^，可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，特別是抽象的數(shù)學(xué)內(nèi)容；同時，借助幾何直觀還可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明形象，有助于提高學(xué)生解決問題的能力。在中學(xué)數(shù)學(xué)階段，教師不僅要關(guān)注基礎(chǔ)知識和基本技能的培養(yǎng)，也要關(guān)注學(xué)生高層次能力的培養(yǎng)。其中，培養(yǎng)學(xué)生的幾何推理和幾何直觀能力是新課程標(biāo)準(zhǔn)的重要目標(biāo)。

“尺規(guī)作圖”一直是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)幾何推理和幾何直觀能力的陣地之一。在初中數(shù)學(xué)教材中，與“尺規(guī)作圖”相關(guān)的內(nèi)容主要有：（1）作一條線段等于已知線段；（2）作一個角等于已知角；（3）作一個角的平分線；（4）作一條線段的垂直平分線；（5）過一點作已知直線的垂線；（6）利用三邊、兩邊及其夾角、兩角及其夾邊作三角形；（7）已知底邊及底邊上的高線作等腰三角形；（8）已知一直角邊和斜邊作直角三角形。

在教師的實際教學(xué)中，幾何直觀和幾何推理常常難以調(diào)和。前者注重直觀形象，后者注重嚴(yán)密邏輯。在許多教師眼中，“尺規(guī)作圖”常常被視為學(xué)生動手實踐和操作的載體，而忽視作圖中的幾何推理部分。本文采用引導(dǎo)學(xué)生先通過尺規(guī)作圖，直觀感受幾何圖形的變化規(guī)律，再通過幾何推理證明規(guī)律，最后在具體情境中應(yīng)用規(guī)律的方式，對尺規(guī)作圖在初中數(shù)學(xué)幾何直觀與推理能力培養(yǎng)上的應(yīng)用進行了探索。

二、問題提出

問題：如圖1，平面上存在三條互相平行的直線m，n，i，點A為平面上的直線i上確定的一點。以A為頂點，利尺規(guī)作圖畫出等邊△ABC，使得頂點B在直線m上，頂點C在直線n上。

在此題中，點A的位置已經(jīng)確定。為了構(gòu)造等邊三角形，隨著點B在直線m上運動，點C的位置也會隨之改變。因此，直接確定點A，點B，點C分別在三條平行線上的具體位置會有很大的難度。那么，當(dāng)點B在直線m上運動時，點C的運動規(guī)律是什么呢？為了更好地研究點C的運動情況，筆者將原有問題進行了改變。

三、問題轉(zhuǎn)化

問題：如圖2，平面上存在兩條互相平行的直線i，m，點A為直線i上一點。點B在直線m上運動。以A、B為頂點，利用尺規(guī)作圖畫出等邊△ABC。探究點C的運動規(guī)律。

在改變后的問題中，可以先在直線m上確定點B的位置，再通過作圖去確定點C的位置。因此，需要在直線m上至少選取三個點B1，B2，B3（圖3），各自完成等邊三角形的作圖，再根據(jù)點C1，C2，C3的位置（圖4），通過幾何直觀去判斷點C的運動規(guī)律。

在教學(xué)過程中，當(dāng)筆者完成作圖后，學(xué)生得到的初步判斷是：根據(jù)幾何直觀，點C1，C2，C3的位置在同一條直線上。在通過推理對猜想進行證明，可以先將圖4中的等邊三角形△AB2C2忽略，將問題轉(zhuǎn)化為兩個等邊三角形公共頂點的旋轉(zhuǎn)問題，如圖5。

圖5中，在連接C1C3后，易證明△AB1B3≌△AC1C3與∠AB3B1=∠AC3C1，進而可以證明直線C1C3與直線m的夾角是60°。同理，若忽略等邊三角形AB3C3的存在（圖6），也可以證明直線C1C2與直線m的夾角是60°。因此，直線C1C3、直線C1C2與直線m的夾角都是60°，所以點C1，C2，C3共線。這個結(jié)論說明，當(dāng)點B在直線m上運動時，點C的運動軌跡即為圖5、6中的直線C1C3。

四、深層探究

難道每次分析問題時都要畫出兩個等邊三角形后才能確定點C的運動軌跡？能不能在確定點A的位置后，直接作出點C所在的直線？筆者帶領(lǐng)學(xué)生在原來的基礎(chǔ)上繼續(xù)探究：

在圖7中，設(shè)直線C1C3與直線m的交于點M，與直線i交于點N。作AD⊥直線m，AE⊥直線C1C3。在證明△AB1B3≌△AC1C3后，可得兩個三角形的面積相等且底邊B1B3=C1C3，因此垂線段AD=AE。

在圖7中連接線段AM，根據(jù)角平分線逆定理，AM平分∠B1MC3；因此∠B1MC3=60°。再根據(jù)直線m∥i，可證明△AMN為等邊三角形。

因此，在確定了點A的位置后，只要以點A為頂點，在平行直線m與直線i間構(gòu)造等邊△AMN即可。為了構(gòu)造該等邊三角形，需要先構(gòu)造∠MAN=60°。作圖過程如圖8所示。圖8中新出現(xiàn)的直線即為點C的運動軌跡。

最后，筆者帶領(lǐng)學(xué)生重新審視最開始問題，根據(jù)上面的研究，可以根據(jù)點A與直線m的位置，直接作出點C的軌跡直線，如圖9。再結(jié)合原題，可以得到如下結(jié)論：點C既會出現(xiàn)在直線n上，又會出現(xiàn)在軌跡直線上。因此，點C位于軌跡直線與直線n的交點上。

在確定了點C的位置后，線段AC即為等邊三角形的邊長。之后再利用圓規(guī)，以點A為圓心，AC長為半徑畫弧。其與直線m的交點即為點B的位置。順次連接線段，即得到符合題目要求的等邊△ABC，如圖10。

五、研究反思

在幾何教學(xué)過程中，教師往往對于幾何直觀缺乏應(yīng)有的重視。教師習(xí)慣于關(guān)注推理的方法和結(jié)論，而對學(xué)生推理的思考過程有所忽視。對于一個完整的思考過程而言，往往是從對事物的初始認識開始的。尤其對初中生而言，正在經(jīng)歷從“算術(shù)”到“數(shù)學(xué)”，從具體到抽象的過渡。受學(xué)生邏輯思維能力的限制，很多學(xué)生在幾何推理的學(xué)習(xí)上是有一定困難的。因此，在教師的幾何教學(xué)過程中，借助于幾何直觀、幾何解釋，讓學(xué)生通過“眼見為實”，幫助學(xué)生更好地理解和接受抽象的內(nèi)容和方法，通過“圖象語言，符號語言，數(shù)學(xué)語言”三結(jié)合的方式去學(xué)習(xí)幾何，尤其是進行幾何推理的學(xué)習(xí)。在探究教學(xué)過程中，可以讓學(xué)生根據(jù)作圖，先對結(jié)論進行直觀判斷，再對結(jié)論進行嚴(yán)格證明。這樣的學(xué)習(xí)過程對于培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力和借助幾何直觀進行推理論證的能力有很大的促進作用。使用這種“先直觀，后推理”的方式，我們可以解決很多類似的尺規(guī)作圖問題。例如，在平面內(nèi)任意三條直線上各取一個點，利用尺規(guī)作圖使得這三個點為等邊三角形、直角等腰三角形的頂點；或者在平面內(nèi)的三個圓上各取一個點，尺規(guī)作圖使得這三個點為等邊三角形、等腰直角三角形的頂點。希望有興趣的老師可以和筆者一起研究。

參考文獻：

[1]秦德生，孔凡哲.關(guān)于幾何直觀的思考[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2005.

[2]劉曉玫.對“幾何直觀”及其培養(yǎng)的認識與分析[J].中國數(shù)學(xué)教育，2012.