復矩陣方程組的Hermite解

胡志增,楊春花

(湘潭大學 數(shù)學與計算科學學院，湖南 湘潭 411105)

復矩陣方程組的Hermite解

胡志增,楊春花

(湘潭大學 數(shù)學與計算科學學院，湖南 湘潭 411105)

復矩陣方程；有限迭代算法；共軛；Hermite解

線性系統(tǒng)理論中出現(xiàn)大量的矩陣方程，所以對于怎樣求解矩陣方程的研究是十分必要的，也是必須的。對矩陣方程的求解方法也已經(jīng)有了許多研究，其中Kronecker積是一個重要的方法。但是在求解大型矩陣時會對內(nèi)存有較高的要求，舍入誤差也可能更大，所以迭代求解法在求解矩陣方程中開始出現(xiàn)。很多工作者用迭代法求解矩陣方程[1-7],但是還有很多的問題需要進一步研究。

對于矩陣A,B∈Cm×n，如果〈A,B〉=0，就說A和B正交。如果對于矩陣序列A1,A2,A3,…,Ak成立〈Ai,Aj〉=0 (i≠j)，就稱這個矩陣序列是正交的。

問題1：對于給定的矩陣A1,A2∈Cp×m，B1,B2∈Cm×q，C1,C2∈Cp×m，D1,D2∈Cm×q，M1,M2∈Cp×q，求矩陣X∈HCm×m，使得

(1)

下面，建立一種迭代算法，求解矩陣方程組(1)的Hermite解。

1 預備知識

首先給出一個從復數(shù)空間到實數(shù)域R的內(nèi)積，所定義的這個內(nèi)積在本文中是十分重要的。而實數(shù)域內(nèi)積的定義參看文獻[8]。

定理1.1 定義從空間Cm×n到實數(shù)域R的內(nèi)積為〈A,B〉=Re[tr(AHB)]，其中A,B∈Cm×n，則所定義的內(nèi)積是一個內(nèi)積空間。下面用(Cm×n,R,〈·,·〉)表示這個內(nèi)積空間。

(2)對任意實數(shù)α，矩陣A,B,C∈Cm×n，很容易得到下列結(jié)果

〈αA,B〉=Re[tr((αA)HB)]=Re[tr(αAHB)]=Re[αtr(AHB)]=αRe[tr(AHB)]=α〈A,B〉。

〈A+B,C〉=Re[tr((A+B)HC)]=Re[tr(AH+BH)C)]=〈A,C〉+〈B,C〉。

(3)顯然tr(AHA)>0，當A≠0時。所以〈A,A〉=Re[tr(AHA)]>0對所有A≠0均成立。

上述定理中的證明說明從空間Cm×n到實數(shù)域R的所定義的內(nèi)積滿足內(nèi)積空間的條件，所以說(Cm×n,R,〈·,·〉)是一個內(nèi)積空間。

2 求Hermite解方程組的迭代算法

算法2.1

第1步：輸入矩陣A1,A2∈Cp×m，B1,B2∈Cm×q，C1,C2∈Cp×m，D1,D2∈Cm×q，M1,M2∈Cp×q以及任意初始矩陣X1∈HCm×m

第2步：計算

第3步：計算

第4步：計算

如果Rk+1=0或者Rk+1≠0,Qk+1=0,則停止，否則，令k:=k+1，回到第2步繼續(xù)計算。

為了證明算法2.1的收斂性，首先驗證以下一些基本的性質(zhì)。

引理2.1 對于由算法2.1所產(chǎn)生的矩陣序列{Ri},{Pi},{Qi}，有下列等式成立：

(2)

證明：由算法2.1可知

(3)

同理有

(4)

由此

(5)

而

(6)

所以

(7)

因此結(jié)論成立。

引理2.2 對于由算法2.1所產(chǎn)生的矩陣序列{Ri}、{Pi}、{Qi}，當k≥2時有下列等式成立：

〈Ri,Rj〉=0，〈Qi,Qj〉=0 (i,j=1,2,3,…,k)。

(8)

證明：當k=2時，而Q1H=Q1,由引理2.1以及迭代算法可知

(9)

即有〈R2,R1〉=0成立，同理可證〈Q2,Q1〉=0成立。

假設(shè)式(8)對所有k=s成立，注意到QsH=Qs,〈Qs,Qs-1〉=0，由引理2.1可知

=‖Rs‖2-‖Rs‖2=0。

(10)

同理可證

〈Qs+1,Qs〉=0。

(11)

當j=1時，容易通過引理2.1驗證〈Rs+1,Rj〉=0。對于j=2,3,…,s-1,由假設(shè)〈Rs,Rj〉=0,〈Qs,Qj〉=0,〈Qs,Qj-1〉=0，由引理2.1和迭代算法，可以證得：

(12)

和

(13)

(14)

也就是說式(10)對k=s+1也成立，所以由歸納法可知引理3.2成立。

引理3.3 假設(shè)方程組(1)是相容的，X*是方程組的任意一個解，則

〈X*-Xk,Qk〉=‖Rk‖2,k=1,2,3,…

(15)

證明：當k=1時，注意到(X*-X1)H=X*-X1,所以

(16)

所以〈X*-X1,Q1〉=‖R1‖2,假設(shè)當k=s時成立〈X*-Xs,Qs〉=‖Rs‖2，

易證

(17)

=〈Us+1,Us+1〉+〈Vs+1,Vs+1〉=‖Rs+1‖2。

(18)

由歸納法可知結(jié)論成立。

定理1 假設(shè)方程組(1)相容，對任意初始矩陣X1∈HCm×m，則通過所建立的算法最多迭代2pq+1步即可求出方程組的解。

證明：假設(shè)Ri≠0，i=1,2,…,2pq，通過引理2.3可知Qi≠0,i=1,2,…,2pq，所以可以通過所建立的算法得到X2pq+1,R2pq+1，且由引理2.2可知〈Ri,Rj〉=0i,j=1,2,…,2pqi≠j，也就是說{Ri}i=1,2,…,2pq對于定義在復數(shù)域上的內(nèi)積空間(Cm×n,R,〈·,·〉)是正交矩陣列。由引理2.3可知〈R2pq+1,Ri〉=0i=1,2,…,2pq，由所定義內(nèi)積空間的維數(shù)可知必有R2pq+1=0，所以X2pq+1就是方程組(1)的解。證畢。

3 數(shù)值舉例

在這一部分，將給出兩個例子來驗證所給算法的有效性，試驗中都采用MATLAB R2012a進行計算。由于計算誤差的影響，當‖T‖<ε=10-2時，就認為T=0。但是隨著問題計算規(guī)模的不同，可以適當取的更大或更小。

例：對于問題1，給定矩陣A1,A2,B1,B2,C1,C2,D1,D2,M1,M2如下

4 結(jié) 語

[1]LiangK,LiuJ.Iterativealgorithmsfortheminimum-normsolutionandtheleast-squaressolutionofthelinearmatrixequationsA1XB1+C1XTD1=M1,A2XB2+C2XTD2= M2[J].AppliedMathematicsandComputation,2011,218:3166-3175.

[2]WuAG,FengG,DuanGR,etal.Finiteiterativesolutionstoaclassofcomplexmatrixequationswithconjugateandtransposeoftheunknowns[J].MathematicalandComputerModelling,2010,52:1463-1478.

[3]PengYX,HuXY,ZhangL.AniterativemethodforsymmetricsolutionsandoptimalapproximationsolutionofthesystemofmatrixequationsA1XB1=C1,A2XB2=C2[J].AppliedMathematicsandComputation,2006,183:1127-1137.

[4]PengYX,HuXY,ZhangL.AniterationmethodforthesymmetricsolutionsandtheoptimalapproximationsolutionofthematrixequationAXB=C[J].AppliedMathematicsandComputation,2005,160:763-777.

[5]WangMH,ChengXH,WeiMS.IterativealgorithmsforsolvingthematrixequationAXB+CXTD=E[J].AppliedMathematicsandComputation,2007,187:622-629.

[6]PengZY.AniterativemethodfortheleastsquaressymmetricsolutionofthelinearmatrixequationAXB=C[J].AppliedMathematicsandComputation,2005,170:711-723.

[7]WuAG,ZengXL,DuanGR,etal.IterativesolutionstotheextendedSylvester-conjugatematrixequations[J].AppliedMathematicsandComputation,2010,217:130-142.

[8] 張賢達,矩陣分析與應用[M].北京:清華大學出版社,2004:23-35.

HermiteSolutionstoClassofComplexMatrixEquations

HUZhizeng,YANGChunhua

(XiangtanUniversity,Xiangtan411105,China)

complexmatrixequations;finiteiterativealgorithms;conjugate;hermitesolution.

2016-09-14

胡志增(1991-),男,河南安陽人，在讀碩士研究生，主要從事最優(yōu)控制理論與計算方面的研究.

10.3969/i.issn.1674-5403.2017.01.022

O151.24

A

1674-5403(2017)01-0084-05