樊岳紅

(山西大學(xué) 哲學(xué)社會學(xué)學(xué)院，山西 太原 030006)

維特根斯坦數(shù)學(xué)哲學(xué)意義之辨析

樊岳紅

(山西大學(xué) 哲學(xué)社會學(xué)學(xué)院，山西 太原 030006)

在研究維特根斯坦思想的文獻中存在這樣一種看法，即認為維特根斯坦本人在數(shù)學(xué)方面的造詣遠不及他在邏輯學(xué)方面深厚。達米特及普特南等人甚至認為，維特根斯坦基本上不懂?dāng)?shù)學(xué)，他所表達的許多數(shù)學(xué)思想是不準(zhǔn)確的或者是模棱兩可的。如果這種看法成立的話，那么維特根斯坦關(guān)于數(shù)學(xué)以及邏輯的觀點也就近乎沒有價值了。正是在這種語境之下，文章旨在闡明維特根斯坦的數(shù)學(xué)哲學(xué)并非如此，恰恰相反，他的數(shù)學(xué)哲學(xué)思想正是順應(yīng)了哲學(xué)及自然科學(xué)發(fā)展的潮流。

維特根斯坦；數(shù)學(xué)哲學(xué)；數(shù)學(xué)柏拉圖主義；直覺主義；形式主義

在研究維特根斯坦(以下簡稱維氏)思想的學(xué)者中普遍有這樣一種看法，即與哲學(xué)等其他諸多領(lǐng)域相比，維氏對數(shù)學(xué)哲學(xué)的貢獻是沒有什么價值的?；蛘哒f，學(xué)界也一直不太關(guān)注維氏的數(shù)學(xué)哲學(xué)思想[1]7。例如達米特認為，“維氏的觀點不是一種正確的解釋，而且難以想象數(shù)學(xué)可以采用一種人類學(xué)立場”[2]。普特南等人也認為，維氏基本上不懂?dāng)?shù)學(xué)，他所表達的許多數(shù)學(xué)思想都是不準(zhǔn)確或模糊的[3]?？巳R索爾(G. Kreisel)及安德森(A.R. Anderson)在評論《論數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)》時認為，“在我們看來，這是一個令人驚訝且微不足道的閃光心靈的產(chǎn)物。”雖然這些評論從某種意義上來說也有其合理之處，維氏無法與弗雷格、希爾伯特、布勞威爾等著名數(shù)學(xué)家相提并論。但是，應(yīng)該指出的是，首先他不是一位專業(yè)的數(shù)學(xué)家，而是一位對數(shù)學(xué)哲學(xué)懷有濃厚興趣并對此提出卓越見解的哲學(xué)家；其次，對于數(shù)學(xué)邏輯主義、直覺主義和形式主義這三種不同的數(shù)學(xué)哲學(xué)流派，他都提出了許多相當(dāng)有見解的評論，他是從數(shù)學(xué)哲學(xué)的視角而不是從數(shù)學(xué)的角度提出的。因此，在為維氏的數(shù)學(xué)哲學(xué)思想開宗明義之前，有必要首先來探究一下其數(shù)學(xué)哲學(xué)思想的淵源。

一 維特根斯坦數(shù)學(xué)哲學(xué)思想的淵源

一直以來，數(shù)學(xué)哲學(xué)家們孜孜以求地想為數(shù)學(xué)找一個堅實可靠的基礎(chǔ)。在古希臘，畢達哥拉斯和柏拉圖學(xué)派先后把幾何學(xué)和算術(shù)看作是數(shù)學(xué)的根基。到近代，笛卡爾把解析幾何作為數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，其后萊布尼茨主張把微積分當(dāng)作數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。19世紀之后，康托等人主張把算術(shù)作為數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。但是康托的這種把算術(shù)作為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的觀點，遭到了大部分數(shù)學(xué)家們的質(zhì)疑。到了20世紀初，數(shù)學(xué)哲學(xué)史上又相繼出現(xiàn)了一些不同形式的理論，如邏輯主義、形式主義和直覺主義等，這些理論都立足自身，試圖為數(shù)學(xué)哲學(xué)這片凈土找到一塊堅硬的磐石。

當(dāng)然，數(shù)學(xué)哲學(xué)的基礎(chǔ)問題一直也是維氏所關(guān)注的核心領(lǐng)域之一，無論是其早期的哲學(xué)著作《戰(zhàn)時筆記》及《邏輯哲學(xué)論》，中期的《哲學(xué)評論》及《哲學(xué)語法》，還是后期的《論數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)》和《哲學(xué)研究》等，他都嘗試著探討了許多重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問題，并提出了一系列重要的見解。維氏探索數(shù)學(xué)哲學(xué)的原因就在于他想要了解什么是必然性，如數(shù)學(xué)命題在什么意義上必然為真。在早期的《邏輯哲學(xué)論》中，他曾認為必然性或者確定性是在自身中顯示為重言式，因此，所有必然性都是邏輯必然性。

維氏在研究數(shù)學(xué)哲學(xué)的過程中，對其思想起激發(fā)作用的起初是羅素的著名悖論以及他在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論學(xué)習(xí)中所產(chǎn)生的理論困惑，這激發(fā)了他研究數(shù)理邏輯的興趣。其后在1928年，數(shù)學(xué)家布勞威爾在維也納關(guān)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的講演，促使他在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問題上逐漸從邏輯主義轉(zhuǎn)向了部分贊同直覺主義的觀點，同時也促使他在哲學(xué)觀點上從早期思想轉(zhuǎn)向了中后期思想。

同時，受弗雷格與羅素等人的影響，維氏在撰寫《邏輯哲學(xué)論》時也強調(diào)數(shù)學(xué)與邏輯的密切聯(lián)系，但他并沒有提出，至少沒有明確提出，可以把數(shù)學(xué)還原為邏輯的基本觀點。他認為數(shù)學(xué)是一種邏輯方法。到了后期，維氏在這個問題上發(fā)生了很大的轉(zhuǎn)變，進而對邏輯主義提出了明確的批評。

在20世紀30-40年代，維氏花了大量的時間和精力研究數(shù)學(xué)哲學(xué)問題。從1930年起，他開始在劍橋大學(xué)開設(shè)關(guān)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問題的講座。其講稿于1971年以“關(guān)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的講演”為名出版。此外，他還撰寫了大量關(guān)于數(shù)學(xué)哲學(xué)問題的筆記，這些筆記分別被收入《哲學(xué)評論》《哲學(xué)語法》《劍橋講演集》《論數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)》等著作中。維氏在這些著作中充分表述了自己的前、中、后期數(shù)學(xué)哲學(xué)思想。[4]1-3

二 維特根斯坦的數(shù)學(xué)哲學(xué)觀

在弗雷格和羅素看來，所謂數(shù)學(xué)命題就是邏輯真理；康德則認為數(shù)學(xué)命題是先天綜合判斷；直覺主義者布勞威爾主張，所謂的數(shù)學(xué)無非就是直覺所建構(gòu)的產(chǎn)物。維氏正是在批判和繼承這些理論的基礎(chǔ)之上，提出了自己的數(shù)學(xué)哲學(xué)觀。

在維氏所留下的2萬多頁手稿中，至少有三分之一的內(nèi)容是討論數(shù)學(xué)與邏輯的關(guān)系、數(shù)學(xué)與世界的關(guān)系。在早期的《戰(zhàn)時筆記》和《邏輯哲學(xué)論》等著述中，維氏反思和批評了弗雷格和羅素的相關(guān)思想，并提出了自己的獨特見解。維氏從1930年開始數(shù)學(xué)基礎(chǔ)方面的研究，到1932年，已經(jīng)寫下了大量的評論，其中一些收錄在《大打字稿》中；在1937-1938年間，他又寫了大量關(guān)于數(shù)學(xué)本質(zhì)的評論，這些部分收錄在《哲學(xué)研究》中。

一般認為，他的數(shù)學(xué)哲學(xué)觀有前、中和后期之分。如潘佳妮(C. Panjvani)認為，數(shù)學(xué)的強證實觀點是維氏的早期思想，而在后期維氏又放棄了這一觀點。從1929年至1933年是維氏中期思想時期，從1934年至1944年基本上是維氏的后期思想時期[5]。麥克道爾(J. McDowell)認為，在早期，維氏認為數(shù)學(xué)命題必須要有確定的意義；而在后期，維氏則認為應(yīng)該為數(shù)學(xué)命題提供一個證明，但又不能確定遵循數(shù)學(xué)規(guī)則的正確方法[6]。不管如何構(gòu)思自己的哲學(xué)思想，維氏始終遵循要發(fā)展一種整體論的數(shù)學(xué)哲學(xué)。下面將分別討論維氏早、中和后期的數(shù)學(xué)哲學(xué)思想的具體內(nèi)容。

(一)早期維氏的數(shù)學(xué)哲學(xué)思想

早期維氏支持一種數(shù)學(xué)的強證實的觀點，而在其后期思想中他又放棄了。所謂的強證實觀點是說，一個數(shù)學(xué)命題的意義是由證實的方法所確定的。如果一個數(shù)學(xué)命題不能被證實，或尚未被確定的話，那么它是沒有意義的。嚴格來說，它甚至不能算作是一個命題。因此，數(shù)學(xué)命題強證實主義隱含著“數(shù)學(xué)沒有猜想”的思想，無猜想的論題是強證實的結(jié)果[7]。

因此，強證實使得早期維氏的數(shù)學(xué)哲學(xué)有了意義。對于數(shù)學(xué)的性質(zhì)、對象和任務(wù)，維氏在其早期著作中做過一些簡略的論述。當(dāng)時他著重從數(shù)學(xué)與邏輯密切聯(lián)系的角度來考察這個問題，認為“數(shù)學(xué)是一種邏輯方法”，“數(shù)學(xué)以方程式來表述，邏輯命題是由重言式的世界來顯示的”。數(shù)學(xué)獲得其方程式的方法是置換法，方程式表示兩個表達式的可置換性。他說：“數(shù)學(xué)方法的本質(zhì)特征在于使用方程式，每個數(shù)學(xué)命題之所以就其本身即可被理解，就是由于這種方法。”[8]§6.2,§6.22,§6.2341

考慮維氏在《邏輯哲學(xué)論》中所注釋的兩組命題狀態(tài)，即命題6.02-6.031和6.2-6.241，強證實這一主題仍處于萌芽階段。在《邏輯哲學(xué)論》中，維氏主要探討數(shù)學(xué)命題的地位問題。例如數(shù)學(xué)命題是必然真理嗎?數(shù)學(xué)命題能否完全通過邏輯得到說明？如果不能，又能對它們進行何種論述？同這個問題結(jié)合在一起的還有對于語言與意義、心理學(xué)概念及知識概念的長期探索性研究[9]73。

在早期，維氏表述了一些非常接近柏拉圖實在論的觀點。維氏的邏輯空間或可能事態(tài)，與柏拉圖的“理念世界”這一概念地位相仿。從某種意義上來說，在《邏輯哲學(xué)論》中，維氏的觀點也是某種實在論的，即命題都是論述相關(guān)事實的；數(shù)學(xué)命題必須是可證明的：“數(shù)學(xué)命題是可被證明的，即我們不需要與相關(guān)正確的事實進行比較，就可以認識到數(shù)學(xué)命題本身的正確性?！盵10]255

因此，如果數(shù)學(xué)命題是可以被證明的，那么這說明數(shù)學(xué)命題的真理性不是來自于經(jīng)驗，而是數(shù)學(xué)命題本性使然。在《邏輯哲學(xué)論》中，維氏對于數(shù)學(xué)和邏輯所持的主要觀點是：(1)數(shù)學(xué)和邏輯具有不變性和永恒性，這就如柏拉圖的“理念”和康德的“范疇”；(2)數(shù)學(xué)和邏輯的發(fā)現(xiàn)獨立于我們對語言的實際使用。數(shù)學(xué)與邏輯的存在外在于時空。因此，語言在數(shù)學(xué)和邏輯中的作用是次要的。當(dāng)然，后期的維氏明顯拒斥這樣一種理想化形式觀。據(jù)此，我們可以把數(shù)學(xué)當(dāng)作是先驗的，或者當(dāng)作初始數(shù)據(jù)來建立一個更強的先驗數(shù)學(xué)。同樣，在這種意義下，我們可以把數(shù)學(xué)命題當(dāng)作是絕對必然的，因為它們無論在什么情況下都是真實的。

維氏明確表示，究其本質(zhì)，數(shù)學(xué)和邏輯本身就是自然語言的形而上學(xué)基礎(chǔ)。一方面，語言必須要符合于邏輯原則；另一方面，語言易于受到環(huán)境變化的影響。因此，雖然邏輯與數(shù)學(xué)都是永真命題，但它們本身不存在于永恒事物之中。

(二)中期維氏的數(shù)學(xué)哲學(xué)思想

在1929年至1933年期間，中期的維氏持強有限論觀點。中期的維氏認為，沒有可以無限擴展的事物集，也沒有無限擴展的數(shù)學(xué)領(lǐng)域；量化無限的數(shù)學(xué)表達式是沒有意義的，如量化哥德巴赫猜想(Goldbach's Conjecture)、費馬大定理(Fermat's Last Theorem)等，都是沒有意義的。正如維氏在《哲學(xué)評論》中寫道：“目前來看，對數(shù)學(xué)進行的一般性描述似乎是沒有意義的，如果命題不是通過任何有限的結(jié)果而成其為真的話，那么這等于說它不通過任何結(jié)果而成為真的。因而它不是一個邏輯的結(jié)果……”[11]17§126

只有在一個給定的算式中，一個數(shù)學(xué)命題才是有意義的表達式，當(dāng)且僅當(dāng)我們可以知道一種適用的、有效的判定過程是我們可以決定的，因為“這里的數(shù)學(xué)命題只有一種解決方法。命題必然通過其意義來表明，我們應(yīng)該如何證明這個命題是真實的還是虛假的？”[11]20只有包含可判定的算術(shù)謂詞的結(jié)果才是有意義的，因為它們是算法可判定的，亦即我們的知識有一種適當(dāng)?shù)呐卸ㄟ^程。但是所謂的無限邏輯的總和或結(jié)果并不是有意義的數(shù)學(xué)命題，它們在算法上不可判定，因此，它們也不是真正有限邏輯的總數(shù)或結(jié)果。如數(shù)學(xué)命題“(?π)4 +n= 7”就不是一個有限的邏輯結(jié)果，因為表達式“(?x)x”不能被預(yù)設(shè)為全部數(shù)字。類似地，在量化全稱域的情況時，你不能說，因為所有自然數(shù)并不是一個有限的概念。因此，維氏認為，我們可以在“所有”和“有”之間形成一種形式良好的原則或規(guī)則，這是錯誤的想法，這個公理或原則是與這個命題相關(guān)的，因為我們知道公理與命題的唯一相關(guān)方式是了解適合的判定過程[12]37。“你馬上會看到，追問數(shù)的對象是沒有意義的。尤其是不可能存在無限多的對象。‘存在無限多的沙發(fā)’=‘在空間里存在無限多的可能沙發(fā)’。但一旦對象是一個描繪要素，那么它就是不可能的。”[13]12

因此，維氏認為，對所有數(shù)的描述不是通過命題來表征的，而是由歸納來表征的。然而，如費馬大定理這樣一種陳述并不是一個命題或算法，而是對應(yīng)于歸納的證明：“除了費馬規(guī)則不起作用的數(shù)字以外，p以一種規(guī)則窮盡了全體數(shù)的序列。這一定律對實數(shù)起決定作用嗎？數(shù)F要利用螺線……而且按照這種原則來選擇這一螺線的圈數(shù)。但是這一原則卻不屬于螺線。已經(jīng)有一個規(guī)則在那里，但是這與數(shù)沒有直接關(guān)系。數(shù)就像是規(guī)則的一個不規(guī)則的副產(chǎn)品。”[11]27§189

因此，中期維氏寫道：“正如布勞威爾所言，(x)·f1x=f2x的真或假也存在不可判定性的情況，這意味著(x)……是外延性的，我們可以說在所有x中，恰巧有一種屬性。但事實上，討論這種情況是不可能的，即在所有的算法中，(x)不能是外延性的?！盵14]§17

維氏認為，命題的不可判定性預(yù)設(shè)了雙方之間存在一個隱式的連接，這是不能用符號來進行連接的。符號之間已經(jīng)存在的連接也不能由符號的轉(zhuǎn)換來表征，因為符號是一種思維的產(chǎn)物，其本身不能被思考。如果真有這種連接的話……必須能夠看出這種連接。維氏強調(diào)，算法的可判定性在于，我們可以主張任何事物可以在實踐中得到檢驗，因為這是一個檢驗可能性問題。如果一個表達式是不可判定的，那么它既不是真的也不是假的。在一些實際演算中，如果一種表達式不可判定的話，那么它就不是一個有意義的數(shù)學(xué)命題，因為每種數(shù)學(xué)命題必須屬于一個數(shù)學(xué)演算式。

(三)后期維氏的數(shù)學(xué)哲學(xué)思想

在后期，維氏對于數(shù)學(xué)的性質(zhì)、對象和任務(wù)等問題做了更為深入的研究和更多的論述。他承認數(shù)學(xué)不是一個有嚴格界定的概念，但他仍然力求對數(shù)學(xué)的性質(zhì)、對象和方法提出一些明確的看法。簡言之，他認為數(shù)學(xué)是知識的一個分支，是各種各樣證明技巧的混合體；數(shù)學(xué)這種活動不是發(fā)現(xiàn)，而是發(fā)明；數(shù)學(xué)的研究對象并非數(shù)字，而是數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)的任務(wù)是提供一些用以進行描述的框架。

后期維氏徹底否定了部分早期的觀點，即他不認可在哲學(xué)研究中數(shù)學(xué)與邏輯的重要作用，同時他否定了邏輯的至高無上的地位，否認把哲學(xué)的全部任務(wù)看成邏輯分析這種觀點。維氏認為：“哲學(xué)的任務(wù)不是借助于數(shù)學(xué)或者邏輯發(fā)現(xiàn)來解決矛盾，而是讓我們弄清楚那種令我們感到困惑的各種狀況，即弄清楚在矛盾解決之前的那種事態(tài)。同時，哲學(xué)也讓數(shù)學(xué)保持現(xiàn)狀，任何數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)也不能推進哲學(xué)。并且在我們看來，歸根到底‘?dāng)?shù)理邏輯的主要問題’與其他問題一樣，只不過是一個數(shù)學(xué)問題?！盵15]71§124

當(dāng)然，后期維氏的最終目的，是想測試在研究哲學(xué)時理想邏輯概念的界限。他批判這種把形式邏輯作為闡釋明晰性的首要目標(biāo)的觀點，也批判把邏輯作為語言運作的基本模式，同時還批判了把邏輯作為解釋哲學(xué)問題的關(guān)鍵工具，這些觀點與早期的邏輯原子論明顯是背道而馳的。在數(shù)學(xué)的對象上，后期維氏的觀點與古典實在論或數(shù)學(xué)柏拉圖主義者的觀點是截然相反的。在維氏看來，所謂的數(shù)學(xué)并不具有實在性，而只是一種語義上的約定，這種語義約定是人們在相互交往的日常生活中建構(gòu)起來的，而且也是人們通過相關(guān)訓(xùn)練、生活實踐而習(xí)得的。因此，哲學(xué)家們應(yīng)當(dāng)以這種語義約定為出發(fā)點，來考察數(shù)學(xué)哲學(xué)問題，從而去理解數(shù)學(xué)家的研究成果[16]233-234。

根據(jù)古典實在論的觀點，數(shù)學(xué)的對象早已先驗地、觀念性地自存著，而數(shù)學(xué)家們的任務(wù)就是去發(fā)現(xiàn)這種先驗存在的公式、公理、定理等并證明它們的存在。與這種古典實在論觀點相左，維氏認為，數(shù)學(xué)家們的任務(wù)不是發(fā)現(xiàn)早已存在的數(shù)學(xué)對象，而是去發(fā)明某些數(shù)學(xué)規(guī)則，發(fā)明某些計算技巧，甚至發(fā)明某種新的數(shù)學(xué)。維氏在《關(guān)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的演講》《哲學(xué)研究》《哲學(xué)語法》及《論數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)》等著作中，都對“數(shù)學(xué)客觀性”這一觀點進行了反駁。他明確提出，“數(shù)學(xué)家是發(fā)明者而不是發(fā)現(xiàn)者。數(shù)學(xué)是各種思想創(chuàng)造的，概念方法形成的和證明技巧所摻和而成的一種大雜燴”。他反復(fù)強調(diào)“數(shù)學(xué)是發(fā)明，而不是發(fā)現(xiàn)……數(shù)學(xué)完全像任何一門學(xué)科一樣，必須被發(fā)明出來?！盵17]Ⅴ§16,Ⅰ§168

與早期十分強調(diào)數(shù)學(xué)和邏輯在哲學(xué)研究中的重要作用所不同，后期維氏則徹底拋棄了這種觀點，他認為數(shù)學(xué)中的任何發(fā)現(xiàn)都不能推動哲學(xué)的進步。因為數(shù)理邏輯的主要問題是數(shù)學(xué)問題，數(shù)學(xué)問題就像其他問題一樣，是與哲學(xué)問題無關(guān)的。因此，維氏才說，哲學(xué)的任務(wù)不是借助于數(shù)學(xué)或者數(shù)理邏輯的發(fā)現(xiàn)去解決矛盾，而是使我們看清楚那種使我們感到困惑的狀況。他在評論數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)時也強調(diào)說，我們所需要的是描述，而不是說明。數(shù)學(xué)證明并不是一種理解活動，而是一種決定行動。

綜上所述，維氏數(shù)學(xué)哲學(xué)思想的合理之處在于他堅持數(shù)學(xué)證明和發(fā)明的創(chuàng)造性，認為數(shù)學(xué)證明和發(fā)明是一種遵循規(guī)則的實踐活動。數(shù)學(xué)證明過程需要諸多方面的參與，既要講解證明過程，又得理解證明過程，等等。所以從通常意義上來說，數(shù)學(xué)證明本質(zhì)上其實就是一種社會活動(生活形式)，它不可能是私人語言的，因為數(shù)學(xué)證明的過程需要參與者的認可和接受。

三 維特根斯坦對其他學(xué)派的批判

從1900年至1930年的這段時間內(nèi)，以羅素集合悖論、哥德爾不完備性定理等為導(dǎo)火索，數(shù)學(xué)界陷入了重重危機之中，這次危機沖擊了數(shù)學(xué)的根本之所在，使得數(shù)學(xué)家們不得不重新來嚴密考察數(shù)學(xué)的哲學(xué)基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)哲學(xué)家們對這次數(shù)學(xué)危機的討論，使得原本并不顯著的理論分歧被上升為學(xué)派之爭。在這種背景之下，以羅素為代表的邏輯主義、布勞威爾為代表的直覺主義，及希爾伯特為代表的形式主義等就應(yīng)運而生了。下面分別討論維氏對各主要數(shù)學(xué)哲學(xué)理論的批判與繼承。

(一)維氏對柏拉圖主義的批判

哲學(xué)傳統(tǒng)上將命題再分類為先驗知識及后驗知識，后驗知識就是常說的經(jīng)驗知識。一般來說，使用感官知覺系統(tǒng)獲得的知覺知識、透過觀察實驗等方法建立起來的科學(xué)知識，例如物理學(xué)、天文學(xué)、生物學(xué)、地質(zhì)學(xué)……，都屬于經(jīng)驗知識。數(shù)學(xué)和邏輯所提供的，則屬于先驗知識。如柏拉圖認為所有知識都是先天和先驗的，數(shù)學(xué)知識自然也不例外。

“數(shù)學(xué)柏拉圖主義”這一稱謂源于貝爾奈斯(P. I. Bernays)對數(shù)學(xué)哲學(xué)實在論的稱呼。柏拉圖主義者認為，數(shù)學(xué)是關(guān)于數(shù)學(xué)對象的知識體系，數(shù)學(xué)命題的作用就是描述數(shù)學(xué)對象的事實。數(shù)學(xué)所研究的對象都是獨立自存的實體，并且各個對象之間有著客觀的關(guān)系，而我們所需要做的就是去發(fā)現(xiàn)這些對象及其彼此之間的關(guān)系。數(shù)學(xué)命題對于數(shù)學(xué)對象所構(gòu)成的實體做出了實際的論斷，并且我們可以用語詞來指稱這些數(shù)學(xué)實體。數(shù)學(xué)命題的意義在于它可以根據(jù)真理條件來加以解釋，數(shù)學(xué)命題根據(jù)數(shù)學(xué)對象是否精確地反映了數(shù)學(xué)世界中的事態(tài)而可判定為真或為假，即可對數(shù)學(xué)實體做出為真或為假的判定。

當(dāng)然，后期的維氏則是猛烈地抨擊了這種數(shù)學(xué)柏拉圖主義，他拒斥任何這種數(shù)學(xué)實體或數(shù)學(xué)對象先驗存在的觀點。早在1915年的《戰(zhàn)時筆記》中，他就寫道：“如果有數(shù)學(xué)對象——邏輯常項——的話，那么命題‘我吃了李子’就會是一個數(shù)學(xué)命題了，而且它甚至也不是一個應(yīng)用數(shù)學(xué)的命題?！盵10]104在《論數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)》中，維氏則進一步說道：“數(shù)學(xué)命題被用來陳述數(shù)學(xué)對象，并且數(shù)學(xué)也是探究這些對象的，這難道不是數(shù)學(xué)中的煉金術(shù)嗎？”[17]Ⅴ§16

傳統(tǒng)上，哲學(xué)家習(xí)慣于認為，數(shù)學(xué)知識是先天的、必然的或分析的。我們熟悉的許多簡單數(shù)學(xué)命題，無論是在它們的先驗和必然性上都是獨立于經(jīng)驗的。此外，數(shù)學(xué)知識是不可能出錯的，出錯的可能性是在我們自己失誤或是不適用的情況下，因為數(shù)學(xué)知識是先天的、分析的。強形式的柏拉圖實在論立場與邏輯實證主義之間是相關(guān)的。柏拉圖主義被認為缺乏透明性，而邏輯實證主義又不能令人信服地表明數(shù)學(xué)確實是分析，尤其是像“概念”和“分析”意味著兩種極端的立場。

(二)維氏對邏輯主義的批判

邏輯主義是由弗雷格、羅素和懷特海等人所提倡的觀點。他們認為，每一個個別的數(shù)，既不是物質(zhì)世界的對象，也不是人們心理世界的表象；它們既不在時間中存在，也不在空間中存在；這些數(shù)是確定的、永恒的；它們是客觀的抽象對象。概言之，數(shù)學(xué)邏輯主義主要觀點有：(1)每一個個別的數(shù)都是數(shù)學(xué)的對象，而不只是一個概念；(2)數(shù)學(xué)的對象是客觀和抽象的；(3)數(shù)詞具有指稱功能，其指稱對象是數(shù)。反過來，數(shù)又是對概念的表達，經(jīng)過一系列的技術(shù)性語言和方法(包括邏輯分析和語言分析方法)，概念可以實現(xiàn)客觀化的人工語言。在哲學(xué)中，分析哲學(xué)的基本預(yù)設(shè)即是對概念進行客觀化分析。

早期的維氏在撰寫《邏輯哲學(xué)論》時受弗雷格、羅素等人的影響，也強調(diào)數(shù)學(xué)與邏輯的密切聯(lián)系。他承認數(shù)學(xué)是一種邏輯的方法，但他并沒有提出可以把數(shù)學(xué)還原于邏輯這種基礎(chǔ)的邏輯主義觀點。到了后期，維氏在這個問題上有了一個轉(zhuǎn)向，他對邏輯主義提出了明確的批評。維氏一再重申，他不認可羅素關(guān)于邏輯是數(shù)學(xué)的基本觀點。他說：“有人認為，有一門被稱為邏輯的科學(xué)，數(shù)學(xué)就立足于這門科學(xué)之上。但我要說明的是，數(shù)學(xué)絕不是立足于邏輯之上，邏輯公式與數(shù)學(xué)形式相一致，但這個事實絕沒有表明數(shù)學(xué)立足于邏輯之上?！盵18]45

到了40年代，維氏仍然堅決反對邏輯主義的立場，在這一點上，他與布勞威爾的觀點相似。布勞威爾也主張，邏輯主義者只是把有限領(lǐng)域的相關(guān)經(jīng)驗事實，或以經(jīng)驗為依據(jù)而形成的邏輯規(guī)律毫無根據(jù)地應(yīng)用到一切領(lǐng)域，從而導(dǎo)致第三次數(shù)學(xué)危機的出現(xiàn)。

后期維氏認為，邏輯不僅不能成為數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，而且對于數(shù)學(xué)活動來說，邏輯技術(shù)是有害無益的。他在《論數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)》中說道：“邏輯對數(shù)學(xué)的‘災(zāi)難性入侵’……邏輯技術(shù)的害處是，它使我們忘記特別的數(shù)學(xué)技術(shù)，因此邏輯技術(shù)只是數(shù)學(xué)中的輔助性技術(shù)?！薄斑壿嬘浱柾虥]了結(jié)構(gòu)?！薄啊?dāng)?shù)理邏輯’完全曲解了數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家的思想?！盵17]Ⅴ§24，§25，§48

后期維氏批判了邏輯主義對于邏輯至高無上地位的信奉，他認為，邏輯只是我們認識世界的一種方法，并不是全部。如果邏輯主義者將邏輯的方法推廣到數(shù)學(xué)的一切領(lǐng)域，這在維氏看來，是絕對不可能的，也是毫無意義的。數(shù)學(xué)命題是一種規(guī)范性的命題，這種命題在我們的生活中具有堅不可摧的地位，具有最高的確定性，但這種確定性歸根結(jié)底是來自于給定我們的東西——生活形式。

(三)維氏對直覺主義的批判

直覺主義是布勞威爾、韋爾(H.Weyl)等人所倡導(dǎo)的觀點。布勞威爾等人認為，邏輯并不是發(fā)現(xiàn)真理的絕對可靠的方法，也并不存在非經(jīng)驗性的真理。直覺主義者堅決反對邏輯主義的觀點，他們認為，邏輯是語言的一種規(guī)則，數(shù)學(xué)卻是一種超語言的活動，即數(shù)學(xué)是獨立于語言的活動，因此，邏輯不可能成為數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。在直覺主義者看來，我們只需要在每一次計算中都運用直覺方法，在每一個點上都能提出一條新規(guī)則。直覺主義認為，決定概念正確性的是直覺，而不是邏輯。

對于這種觀點，維氏既沒有一概排斥，也沒有完全接受。他一方面承認數(shù)學(xué)中需要直覺，另一方面反對直覺主義者無限夸大直覺在數(shù)學(xué)中的作用。維氏拒斥直覺主義的理由在于，直覺主義過分強調(diào)了內(nèi)在的思維作用，沒有看出數(shù)學(xué)思想公共的、主體間表達的重要性。“不過也可以說推理準(zhǔn)則強制著我們；說這句話的意思等同于其他的準(zhǔn)則在人類社會中的作用……如果你另行推理的話，就會受罰；如果你得出不同的結(jié)論，結(jié)論卻與(譬如說)社會發(fā)生沖突，那么也會與其他實際后果發(fā)生沖突?！盵17]Ⅱ§5

在《關(guān)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的講演》中，維氏認為：“我們也可以說，我們所需要的不是在每一步上都要有一種直覺，而是在每一步上都要做出決斷。直覺主義是一派胡言，完全是胡說八道。除非它意指一種啟示。”[19]82

維氏認為，直覺主義過分夸大了直覺在數(shù)學(xué)推理中的作用，而直接違背了數(shù)學(xué)的精確性和嚴謹性。但值得注意的是，布勞威爾的直覺主義觀點對后期維氏的數(shù)學(xué)哲學(xué)觀影響甚大。布勞威爾以其創(chuàng)新性的數(shù)學(xué)直覺主義觀點動搖了早期維氏的哲學(xué)觀，從而使維氏從《邏輯哲學(xué)論》中的“邏輯原子論”轉(zhuǎn)向了后期《哲學(xué)研究》一書所表述的“語言游戲”的使用哲學(xué)觀。

(四)維氏對形式主義的批判

形式主義是由希爾伯特和克里(H.B.Cury)等人先后加以提倡和發(fā)展的。形式主義者希爾伯特主張，我們僅從形式上來研究數(shù)學(xué)，而無須關(guān)注數(shù)學(xué)研究的具體內(nèi)容。他認為數(shù)學(xué)本質(zhì)上是一種由公理系統(tǒng)所規(guī)定的形式演繹體系，數(shù)學(xué)研究的對象只是符號本身。后來，克里在希爾伯特觀點的基礎(chǔ)上進一步提出，數(shù)學(xué)是一種純粹的符號游戲，而沒有實質(zhì)性的意義，對這種游戲的唯一要求是推理過程中的無矛盾性。維氏對此提出異議，認為形式主義過分強調(diào)數(shù)學(xué)是一種關(guān)于字符和表達式的機械程序，沒有看到數(shù)學(xué)的最終意義在于人類對于這些數(shù)學(xué)符號的應(yīng)用，人類對于數(shù)學(xué)符號的應(yīng)用才是數(shù)學(xué)推理的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)符號的意義在數(shù)學(xué)系統(tǒng)之外，也即在我們的具體生活實踐之中。

雖然形式主義支持數(shù)學(xué)定理的形式化，但它也不會拒斥經(jīng)典邏輯的論述。因為在任何特定的領(lǐng)域內(nèi)，只要數(shù)學(xué)公理成立的話，那么命題就可以用真或假來表述。但維氏認為，關(guān)于數(shù)論我們既沒有證據(jù)來證明，也沒有證明來反駁它。對此，形式主義是沒有任何優(yōu)勢可言的，它只是從一種數(shù)學(xué)形式轉(zhuǎn)換到另一種形式的證明而已。

因此，維氏認為這種形式主義的觀點是極其錯誤的，形式主義主張數(shù)學(xué)的本質(zhì)是對符號的操作，或者把數(shù)學(xué)實踐比喻成一個玩弄語言字符的游戲?！拔乙f：對數(shù)學(xué)至關(guān)重要的是，它的符號是著便服加以使用的。這是在數(shù)學(xué)之外的使用，符號的意義也是如此，這種意義使得數(shù)學(xué)做起了關(guān)于符號的游戲?！盵17]Ⅴ§2因為數(shù)學(xué)不是無意義的關(guān)于符號的游戲，而是有著非常重要應(yīng)用的語言游戲。數(shù)學(xué)的推理也好證明也好，都必須經(jīng)過數(shù)學(xué)家共同體的實踐加以檢驗，否則就不是真正的推理和證明。

當(dāng)然維氏對這種形式主義的觀點也做了一定的肯定：“形式主義中有些東西是正確的，有些則是錯誤的。把每一種句法理解為一種游戲規(guī)則系統(tǒng)，這是形式主義正確的方面”[13]67，但他不贊同希爾伯特過分夸大矛盾性。形式主義者認為矛盾無處不在，最初可能是隱藏在公理之中，只是人們沒有看出來而已。而維氏認為這種看法是一種出于迷信的恐懼。因為即便兩種規(guī)則有矛盾，我們還可以制定新的規(guī)則。

四 維特根斯坦數(shù)學(xué)哲學(xué)的意義

針對數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)問題，前后期的維氏都進行了認真細致的研究工作，并寫下了大量關(guān)于數(shù)學(xué)和邏輯學(xué)的筆記。通過文本分析，從維氏數(shù)學(xué)哲學(xué)的理論內(nèi)容看，主要有這幾個方面的影響：

1.反邏輯主義。后期維氏主張，邏輯不是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，而只是數(shù)學(xué)的一部分?！?數(shù)學(xué))為什么要追求邏輯？邏輯僅是輔助數(shù)學(xué)的一種工具，或者說，邏輯是與數(shù)學(xué)相關(guān)的一種語言游戲，當(dāng)把邏輯作為數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)時，就像把刷乳膠漆當(dāng)作制造家具的主體方法一樣，是不可取的?！盵18]146因此，后期維氏不僅反對將數(shù)學(xué)劃歸為邏輯的一部分，而且他還要求放棄那種將數(shù)學(xué)當(dāng)作一勞永逸的、絕對基礎(chǔ)的思維方式。

2.反柏拉圖主義。當(dāng)然，在早期和后期維氏的觀點之間，有一種轉(zhuǎn)向。事實上，早期維氏主張所謂的“邏輯原子論”或“語言圖像論”，認為語言是世界的圖像，圖像所表達的就是一種客觀事實，并且命題的意義是與世界的客觀存在物相對應(yīng)的，這一看法極具有柏拉圖主義色彩。后期維氏則反對“語言圖像論”，轉(zhuǎn)而支持“語言游戲說”和“意義在于使用”。因為在維氏看來，語言只不過是人們所發(fā)明的一種游戲，數(shù)學(xué)家就是這種語言游戲的發(fā)明者，而不是發(fā)現(xiàn)者。

3.反對實無窮，主張潛無窮。在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究中存在著“潛無窮”和“實無窮”兩種不同的觀點。潛無窮論者把數(shù)論或自然序列的無限性當(dāng)作一種不斷推進的過程，而實無窮論者則將數(shù)學(xué)或自然序列的無限性看成是早已先驗存在的。維氏在中后期哲學(xué)中，明確否認實無窮，認為實無窮是沒有意義的。一個命題的意義在于其可證明性和可判定性。

4.引入了實踐因素的考量。數(shù)學(xué)并不是一種“標(biāo)準(zhǔn)”意義上的社會規(guī)則，而是一種“理想”意義下的社會規(guī)范。因此，一種法則只有在人類實踐中才存在。維氏把必然性與社會習(xí)俗和社會行動等聯(lián)系起來,指出數(shù)學(xué)公式和定理的意義在于“我們使用它的方式”[20] 161-163。

5.認為數(shù)學(xué)是一種人類學(xué)現(xiàn)象。在后期，維氏認為，數(shù)學(xué)畢竟是一種人類學(xué)的現(xiàn)象，我們可以用數(shù)學(xué)著作來進行一種人類學(xué)研究?！白袷匾粭l規(guī)則是一種人類活動”[21]343§150。當(dāng)然，這不是說像自然數(shù)的序列只是一個經(jīng)驗性描述，而是說，自然數(shù)位于人類計算的時間之內(nèi)而不是之外。此外，維氏把數(shù)學(xué)完全看作是關(guān)于符號求解的語言游戲。根據(jù)歐內(nèi)斯特的說法，后期維氏提出了一種對于數(shù)學(xué)哲學(xué)具有革命性意義的社會建構(gòu)方法，這對數(shù)學(xué)哲學(xué)的貢獻是更為意義深遠的。

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(責(zé)任編輯 郭慶華)

ReconsideringtheSignificanceofWittgenstein’sPhilosophyofMathematics

FAN Yue-hong

(SchoolofPhilosophyandSociology，ShanxiUniversity,Taiyuan030006,China)

In the literature of studying Wittgenstein’s thought,there is such a view as Wittgenstein’s achievement in mathematics is far less than what he attained in logic. Most philosophers, such as Dummett and Putnam, believe that Wittgenstein didn't understand mathematics.Therefore, many mathematical ideas he expressed are inaccurate or ambiguous.If it is the case,then Wittgenstein's views on mathematics and logic are almost worthless. The purpose of this paper is to illustrate that Wittgenstein's philosophy of mathematics is the trend of the development of philosophy and natural science, but the potential impact of his mathematical philosophy is worthy of reconsideration.

Wittgenstein;philosophy of mathematics; Platonism;intuitionism;formalism

2017-07-05

教育部人文社會科學(xué)青年基金項目“后期維特根斯坦數(shù)學(xué)哲學(xué)之比較研究”(15YJC720006)

樊岳紅(1981-),女，湖南岳陽人，博士，山西大學(xué)哲學(xué)社會學(xué)學(xué)院副教授，主要從事科學(xué)哲學(xué)與認知科學(xué)哲學(xué)研究。

10.13451/j.cnki.shanxi.univ(phil.soc.).2017.06.002

N031

A

1000-5935(2017)06-0007-07