論齊成偉冪比方程作為致密油藏滲流本構(gòu)方程

劉佳楊勝來張楚漢魏建光甘俊奇劉忠華

1.重慶科技學(xué)院化學(xué)化工學(xué)院；2.中國石油大學(xué)（北京）石油工程學(xué)院；3.清華大學(xué)水利水電工程系；4.東北石油大學(xué)石油工程學(xué)院；5.中國石油勘探開發(fā)研究院；6.重慶科技學(xué)院石油與天然氣工程學(xué)院

論齊成偉冪比方程作為致密油藏滲流本構(gòu)方程

劉佳1楊勝來2張楚漢3魏建光4甘俊奇5劉忠華6

1.重慶科技學(xué)院化學(xué)化工學(xué)院；2.中國石油大學(xué)（北京）石油工程學(xué)院；3.清華大學(xué)水利水電工程系；4.東北石油大學(xué)石油工程學(xué)院；5.中國石油勘探開發(fā)研究院；6.重慶科技學(xué)院石油與天然氣工程學(xué)院

巖心滲流測試顯示致密油藏滲流是低速非線性滲流，而描寫低速非線性滲流本構(gòu)關(guān)系的數(shù)學(xué)模型已有很多。對已有低速非線性滲流數(shù)學(xué)模型中引用率較高的姜瑞忠方程、黃延章方程和最新出現(xiàn)的冪比方程進(jìn)行對比分析，發(fā)現(xiàn)：冪比方程為整體可微函數(shù)方程，優(yōu)于兩分段可微函數(shù)方程形式的姜瑞忠方程和黃延章方程；冪比方程令啟動(dòng)壓力梯度似有實(shí)無，巧妙地調(diào)和了存在啟動(dòng)壓力梯度和不存在啟動(dòng)壓力梯度兩種對立觀點(diǎn)，使致密油藏滲流研究不再糾纏于有無啟動(dòng)壓力梯度，而姜瑞忠方程和黃延章方程中存在備受爭議的啟動(dòng)壓力梯度項(xiàng)；冪比方程首次從巖心滲流測試所得數(shù)據(jù)點(diǎn)的平滑線上拐點(diǎn)的存在，揭示出中速近線性滲流的存在并成功對其描述，而姜瑞忠方程和黃延章方程不具備描述中速近線性滲流的能力。因此，齊成偉冪比方程可作為致密油藏滲流本構(gòu)方程。

致密油藏；滲流力學(xué)；冪比方程；低速非線性滲流；中速近線性滲流；啟動(dòng)壓力梯度

1885年，麻省理工學(xué)院的Newell在固結(jié)巖石中發(fā)現(xiàn)了低速滲流“非線性”現(xiàn)象［1］。1924年，H. П. Пyзыpeвcкий首先指出，在某些情況下，只有超過某個(gè)起始的壓強(qiáng)梯度才發(fā)生液體滲流。1945年，Ф. A. Tpeбин提出了“啟動(dòng)壓力梯度”這一概念，并提出了最早的低速非線性滲流數(shù)學(xué)模型［2］。之后的70年里，很多學(xué)者從實(shí)驗(yàn)或理論角度提出了各種各樣的低速非線性滲流數(shù)學(xué)模型［3］，但無一得到公認(rèn)，尤其有無啟動(dòng)壓力梯度之爭［4-7］已經(jīng)持續(xù)了8年。

近5年來，致密油藏的勘探開發(fā)引起國際重視，中國也于2015年發(fā)現(xiàn)了國內(nèi)第1個(gè)億噸級大型致密油田［8］，“水平井+體積壓裂”技術(shù)獲得成功。然而，對致密油藏滲流理論研究的滯后制約了致密油藏的高效開發(fā)。實(shí)現(xiàn)致密油藏的高效開發(fā)需要建立致密油藏滲流力學(xué)，而要建立致密油藏滲流力學(xué)，則必須先要擁有致密油藏滲流本構(gòu)方程。

幾乎所有實(shí)驗(yàn)室給出的實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致顯示，致密油藏滲流是低速非線性滲流。2015年，齊成偉為通過室內(nèi)巖心滲流模擬以檢測地下低速滲流是否存在“非線性”而提出了“冪比方程”［1］。冪比方程與已有相關(guān)數(shù)學(xué)模型有何區(qū)別，能否更有效地描述低速非達(dá)西滲流規(guī)律，能否為有無啟動(dòng)壓力梯度之爭畫上句號，能否有益于創(chuàng)建致密油藏滲流力學(xué)？筆者針對這些問題進(jìn)行了探索和研究。

1 低速非線性滲流本構(gòu)關(guān)系

Constitutive relation of low-velocity nonlinear flow in porous media

1.1 弗洛林方程

Florin’s equation

1951年，前蘇聯(lián)學(xué)者B. A. Флopин于研究水在致密泥巖和硬黏土內(nèi)流動(dòng)期間提出了帶啟動(dòng)壓力梯度的低速非線性滲流數(shù)學(xué)模型［9］

式中，v為宏觀流速，即滲流速率，m/s；k為多孔介質(zhì)滲透率，m2；μ為流體動(dòng)力黏度，Pa·s；p為流體壓強(qiáng)，Pa；x為Descartes坐標(biāo)系的橫坐標(biāo)（作為角標(biāo)，示意方向），m；i0為啟動(dòng)壓力梯度，Pa/m。

如圖1所示，弗洛林方程是描述低速非線性滲流的最粗糙的兩分段可微函數(shù)方程。之后出現(xiàn)的由不流動(dòng)段、非線性彎曲段和擬線性段（斜線段）連接而成的各種三分段可微函數(shù)方程［3］雖能更精確地?cái)M合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，但無疑會(huì)使后續(xù)的公式推演和數(shù)值計(jì)算陷入困境。

圖1 弗洛林滲流數(shù)學(xué)模型Fig. 1 Florin’s mathematical model of fluid flowing in porous media

1.2 姜瑞忠方程

Ruizhong Jiang’ s equation

2011年，中國石油大學(xué)（華東）姜瑞忠等根據(jù)毛細(xì)管理論和邊界層理論推導(dǎo)出具有一定理論基礎(chǔ)的低速非線性滲流數(shù)學(xué)模型［10］式中，c1反映了流體的屈服應(yīng)力和邊界層對滲流的共同影響，Pa/m；c2主要反映了邊界層對滲流的影響，Pa/m。

若c1=0，則姜瑞忠方程退化為達(dá)西方程；若c2=0且c1≠0，則c1?i0，姜瑞忠方程退化為弗洛林方程。啟動(dòng)壓力梯度為c1+c2，且c1+c2≥0。如圖2所示，姜瑞忠方程的漸近線方程為弗洛林方程。

圖2 姜瑞忠-黃延章滲流數(shù)學(xué)模型Fig. 2 Ruizhong Jiang & Yanzhang Huang’s mathematical model of fluid flowing in porous media

姜瑞忠方程仍為具有C0連接點(diǎn)的兩分段可微函數(shù)方程。C0連接點(diǎn)是連續(xù)但不可導(dǎo)的坐標(biāo)點(diǎn)，如圖1中的坐標(biāo)點(diǎn)（i0，0）和圖2中c1+c2＞0情況下的坐標(biāo)點(diǎn)（c1+c2，0）。

1.3 黃延章方程

Yanzhang Huang’s equation

2013年，中國科學(xué)院滲流流體力學(xué)研究所黃延章等在已有數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)上，提出了具有一定實(shí)驗(yàn)依據(jù)的低速非線性滲流數(shù)學(xué)模型［11］

式中，k/μ為“擬線性斜率”，m2/（Pa·s）；λa為啟動(dòng)壓力梯度，Pa/m；λc為擬啟動(dòng)壓力梯度，Pa/m。

若λc=0，則黃延章方程退化為達(dá)西方程；若λa=λc≠0，則λc?i0，黃延章方程退化為弗洛林方程。λc等同于姜瑞忠方程中的c1，λa-λc等同于姜瑞忠方程中的c2。因而，黃延章方程對-vx～?p/?x關(guān)系的描寫與姜瑞忠方程相同。然而，與姜瑞忠方程相比，黃延章方程中每個(gè)參數(shù)都有了明確的物理意義，是理論認(rèn)識和實(shí)驗(yàn)結(jié)果的統(tǒng)一［3］，是兩分段低速非線性滲流數(shù)學(xué)模型的極致。

1.4 冪比方程

Power-Quotient Equation

2015年，重慶科技學(xué)院齊成偉將Darcy定律中的壓強(qiáng)梯度分量寫為冪比形式，然后在分母中添加同指數(shù)干擾項(xiàng)使之不可約分，得到了能描述低速滲流“非線性”現(xiàn)象的本構(gòu)方程［1］

式中，n為非線性指數(shù)；?為漸近線截距，Pa/m。

如圖3所示，若?=0，則式（4）退化為線性形式；若n=1，則式（4）退化為雙曲“非線性”形式，即“雙飛燕方程”，其漸近線過點(diǎn)（?，0）且斜率為k/μ；若n＞1，則式（4）曲線呈勺形，其漸近線過點(diǎn)（0，0）且斜率仍為k/μ，“漸近切點(diǎn)”對應(yīng)?p/?x=?/（n-1）1/n，拐點(diǎn)對應(yīng)?p/?x=?［（n+1）/（n-1）］1/n。齊成偉稱過點(diǎn)（?，0）的漸近線為“單向漸近線”，稱過點(diǎn)（0，0）的漸近線為“雙向漸近線”。

圖3 低速“非線性”滲流本構(gòu)方程Fig. 3 Constitutive equation for fluid flowing through tight reservoirs

冪比方程為整體可微函數(shù)方程。與姜瑞忠-黃延章滲流數(shù)學(xué)模型相比，冪比方程的代數(shù)形式簡潔，便于公式推演，例如“正交冪比連續(xù)方程” （文獻(xiàn)［12］式（4））的輕松推得。

齊成偉為什么創(chuàng)造不含啟動(dòng)壓力梯度的低速非線性滲流數(shù)學(xué)模型呢？因?yàn)辇R成偉認(rèn)為“如果油水地下滲流存在啟動(dòng)壓力梯度，那么對于無限大等厚均質(zhì)水平低滲儲(chǔ)層內(nèi)一口上下貫通的鉛垂直井而言，必然存在一個(gè)等啟動(dòng)壓力梯度模圓柱面，圓柱面內(nèi)原油向井底匯流而圓柱面外原油不流動(dòng)，圓柱面上只有源源不斷地憑空產(chǎn)生原油才能維持圓柱面內(nèi)的徑向匯流，這顯然十分荒謬?！背皢?dòng)壓力梯度并不存在”的首倡者西南石油大學(xué)李傳亮教授和冪比方程的創(chuàng)造者齊成偉外的相關(guān)科研工作者一致認(rèn)為啟動(dòng)壓力梯度真實(shí)存在，僅國內(nèi)篇名中、關(guān)鍵詞中有“啟動(dòng)壓力梯度”一詞的論文就分別有233篇、1688篇。未經(jīng)考察研究，本文不予置評。

2 冪比方程的實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)

Experimental test for Power-Quotient Equation

筆者所在單位不具備實(shí)驗(yàn)條件，因而本文將采用他人已經(jīng)發(fā)表的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。查閱國內(nèi)外相關(guān)文獻(xiàn)后發(fā)現(xiàn)李永壽的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)平滑線呈勺形［13］（圖4，文獻(xiàn)［13］圖2），非常適合檢驗(yàn)冪比方程。

圖4 李永壽巖心滲流測試結(jié)果［13］Fig. 4 Core flow test results by Yongshou Li［13］

右數(shù)第1點(diǎn)：0.012 5×108Pa/m，1.70×10-7m/s；右數(shù)第3點(diǎn)：0.008 0×108Pa/m，0.92×10-7m/s；右數(shù)第5點(diǎn)：0.004 0×108Pa/m，0.18×10-7m/s。將這3組數(shù)據(jù)代入冪比方程，聯(lián)立為非線性方程組，數(shù)值法求解，得：k/μ≈1.444 4×10-13m2/（Pa·s），?≈5.3×105Pa/m，n≈3.5。

將k/μ、?、n的數(shù)值代入冪比方程，繪得-vx～?p/?x曲線，即滲流速度與壓強(qiáng)梯度關(guān)系曲線（圖5）。MATLAB繪圖程序代碼為：ezplot('1.4444*10^(-13)*pd^(3.5+1)/(pd^3.5+(5.3*10^5)^3.5)',[0,0.0125 *10^8])。

圖5 冪比方程的擬合曲線Fig. 5 Fitted curve plotted from Power-Quotient Equation

將擬合曲線蒙到原始數(shù)據(jù)點(diǎn)上進(jìn)行對比（圖6），可以看出擬合效果非常如意，臆想而來的冪比方程竟逆襲成功！

冪比方程對0～4×105Pa/m之間數(shù)據(jù)點(diǎn)的擬合效果不如對（4～12.5）×105Pa/m之間數(shù)據(jù)點(diǎn)的擬合效果好，是因?yàn)榈土魉俚臏y量誤差大于中高流速的測量誤差，數(shù)據(jù)點(diǎn)本身就不太精確。文獻(xiàn)［4］圖5、文獻(xiàn)［6］圖7、文獻(xiàn)［10］圖1中的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)平滑線均呈勺形，只能采用冪比方程描繪，因?yàn)榻鹬?黃延章滲流數(shù)學(xué)模型以及其他模型均不具備描繪勺形實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)平滑線的能力。

圖6 冪比方程（2015年）對實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)（2012年）的擬合效果Fig. 6 Fitting effect of Power-Quotient Equation (2015) to core flow test results (2012)

3 冪比方程帶來的新認(rèn)識

New understandings from Power-Quotient Equation

3.1 啟動(dòng)壓力梯度的歸宿

Ending of starting pressure gradient

在n≥2的情況下，冪比方程滲流速度與壓強(qiáng)梯度關(guān)系曲線的低速段非常貼近壓強(qiáng)梯度軸，看起來就像方程中存在啟動(dòng)壓力梯度（項(xiàng)）一樣。而實(shí)際上，冪比方程的代數(shù)形式?jīng)Q定了只有在壓強(qiáng)梯度等于0的情況下滲流速度才能等于0，即方程中沒有啟動(dòng)壓力梯度（項(xiàng)）。如圖5所示，2×104Pa/m對應(yīng)的3.015 45 ×10-14m/s，是1×105Pa/m對應(yīng)的4.202 01×10-11m/s的0.717 622‰；1×105Pa/m對應(yīng)的4.202 01×10-11m/s，是5×105Pa/m對應(yīng)的3.244 06×10-8m/s的1.295 29‰。“令啟動(dòng)壓力梯度似有實(shí)無”的冪比方程，可謂神來之筆，可令竇宏恩與李傳亮間的油水地下滲流有無啟動(dòng)壓力梯度之爭［14-15］暫時(shí)告一段落。強(qiáng)調(diào)“暫時(shí)”是因?yàn)辇R成偉只是從幾何形態(tài)上隱去了啟動(dòng)壓力梯度，而不是從物理本質(zhì)上證偽了啟動(dòng)壓力梯度。

比較姜瑞忠-黃延章滲流數(shù)學(xué)模型與冪比方程的滲流速度與壓強(qiáng)梯度關(guān)系曲線，不難發(fā)現(xiàn)臨近壓強(qiáng)梯度軸的那幾個(gè)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)至關(guān)重要。如果那幾個(gè)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)的平滑線與壓強(qiáng)梯度軸呈“相交”趨勢，則室內(nèi)滲流測試中出現(xiàn)了啟動(dòng)壓力梯度（現(xiàn)象），故應(yīng)采用姜瑞忠-黃延章滲流數(shù)學(xué)模型；如果那幾個(gè)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)的平滑線與壓強(qiáng)梯度軸呈“相切”趨勢，則室內(nèi)滲流測試中未出現(xiàn)啟動(dòng)壓力梯度（現(xiàn)象），故應(yīng)采用冪比方程。中國石油大學(xué)（華東）、中國石油大學(xué)（北京）、中國石油長慶油田分公司勘探開發(fā)研究院的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)［16-18］均顯示了相切趨勢，因此冪比方程是最為真實(shí)地描寫了低速非線性滲流本構(gòu)關(guān)系且暫時(shí)平息了油水地下滲流有無啟動(dòng)壓力梯度之爭的數(shù)學(xué)模型。

將?p/?x=?代入冪比方程得vx=-k?/（2μ）。齊成偉認(rèn)為“假設(shè)等于αk?/（2μ）的滲流速率因低于高精度流速測量儀器的分辨率而無法測得，則αk?/（2μ）對應(yīng)的壓強(qiáng)梯度便是室內(nèi)滲流測試中出現(xiàn)的所謂‘啟動(dòng)壓力梯度’。”于是，將?p/?x視為未知函數(shù)，解方程

便得因滲流速度低于流速測量儀器的分辨率而產(chǎn)生的所謂啟動(dòng)壓力梯度

若n是除1，2，3外的不小于1的實(shí)數(shù)，則應(yīng)采用數(shù)值方法求方程（5）的解。α為流速測量儀器分辨率與k?/（2μ）的商，0＜α＜1，無因次。統(tǒng)稱式（6）和分辨率方程（5）的數(shù)值解為“幽靈啟動(dòng)壓力梯度”，以切合“似有實(shí)無”之精義。

令啟動(dòng)壓力梯度似有實(shí)無是務(wù)實(shí)的選擇，采用整體可微函數(shù)取代分段可微函數(shù)，從而還原了真實(shí)而簡單的本構(gòu)關(guān)系，為建立致密油藏滲流力學(xué)降低了公式推演上的難度。令啟動(dòng)壓力梯度似有實(shí)無是睿智的思想，從流速測量儀器分辨率和代數(shù)形式兩方面，巧妙地調(diào)和了油水地下滲流存在啟動(dòng)壓力梯度和不存在啟動(dòng)壓力梯度兩種對立觀點(diǎn)。

3.2 擬啟動(dòng)壓力梯度的消亡

Wilting of quasi starting pressure gradient

國內(nèi)最早的注水啟動(dòng)壓差研究始于1981年的大慶油田科學(xué)研究設(shè)計(jì)院［19］。國內(nèi)最早的低速非線性滲流的滲流速度與壓強(qiáng)梯度關(guān)系示意圖由黃延章于1997年根據(jù)大量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)繪制（圖7），顯示：“當(dāng)壓強(qiáng)梯度在較低的范圍時(shí)，滲流速度的增加呈上凹型非線性曲線，反之滲流速度呈直線增加；該直線段（斜線段）的延伸線與壓強(qiáng)梯度軸的交點(diǎn)（不經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)）為啟動(dòng)壓力梯度［20］。”1998年，鄧英爾將該啟動(dòng)壓力梯度更名為擬啟動(dòng)壓力梯度［21］，以區(qū)分流速為0情況下最大的壓強(qiáng)梯度。于是現(xiàn)在普遍稱剛剛開始流動(dòng)的A點(diǎn)對應(yīng)的壓強(qiáng)梯度λa為啟動(dòng)壓力梯度，稱C點(diǎn)對應(yīng)的壓強(qiáng)梯度λc為擬啟動(dòng)壓力梯度或“名義啟動(dòng)壓力梯度［4］”，如式（3）。

圖7 低滲透油藏滲流速度與壓強(qiáng)梯度關(guān)系示意圖Fig. 7 Diagram of relationship between pressure gradient and macroscopic flow velocity in reservoirs with low permeability

隨著實(shí)驗(yàn)精度的提高，近幾年的實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示斜線段并不存在，真實(shí)存在的是隨著壓強(qiáng)梯度增大而曲率減小的曲線段，通過延長斜線段交于壓強(qiáng)梯度軸來確定擬啟動(dòng)壓力梯度的數(shù)值已經(jīng)不可行。斜線段不存在，顯然意味著擬啟動(dòng)壓力梯度也不存在。

冪比方程認(rèn)同斜線段實(shí)為曲率隨著壓強(qiáng)梯度增大而減小的曲線段，并暗含兩條相互平行的漸近線將滲流速度與壓強(qiáng)梯度關(guān)系曲線鎖定在中間（圖3）。滲透率k從此有了正確的幾何解釋——k/μ的數(shù)值為漸近線（紅虛線：雙向漸近線；藍(lán)虛線：單向漸近線）的斜率，而非楊正明所謂“擬線性斜率”。單向漸近線與壓強(qiáng)梯度軸的交點(diǎn)為?，被定名為漸近線截距。若?趨近于0，則單向漸近線移動(dòng)到與雙向漸近線重合，進(jìn)而不管n取值如何，滲流速度與壓強(qiáng)梯度關(guān)系曲線都被兩條漸近線夾縮成直線，即低速非線性滲流退化為達(dá)西線性滲流。齊成偉擯棄擬啟動(dòng)壓力梯度而采用漸近線截距，其寓意之深遠(yuǎn)，可見一斑。

3.3 中速近線性滲流的重生

Rebirth of near-linear flow at medium velocities in porous media

中國石油大學(xué)（華東）、中國石油大學(xué)（北京）、中國石油長慶油田分公司勘探開發(fā)研究院的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)平滑線［16-18］顯示了拐點(diǎn)的存在，而只有冪比方程具備描繪拐點(diǎn)的能力。齊成偉認(rèn)為“拐點(diǎn)的存在從理論上是可以解釋的，因?yàn)闆]有拐點(diǎn)就無法從低速非線性滲流平滑地過渡到‘中速近線性滲流’。沒有拐點(diǎn)就沒有‘漸近切點(diǎn)’，沒有漸近切點(diǎn)就無法趨近于線性滲流?！睂?shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)平滑連接線上拐點(diǎn)的存在暗示中速近線性滲流的存在，但被忽視了70年，直到冪比方程出現(xiàn)并首次揭示出“低速非線性滲流在大于拐點(diǎn)對應(yīng)的壓強(qiáng)梯度后平滑地過渡到中速近線性滲流”這一事實(shí)。

需要強(qiáng)調(diào)的是，線性關(guān)系的顯著特征是關(guān)系曲線為一過原點(diǎn)的直線（如雙向漸近線），而關(guān)系曲線為一不過原點(diǎn)的直線（如單向漸近線）則稱為直線關(guān)系，切勿混淆。線性關(guān)系是直線關(guān)系的特例［22］。

冪比方程顯示：非線性指數(shù)n取值為1，中速滲流并非趨近于線性滲流；n取值稍微大于1，如1.1，1.01，1.001，…，中速滲流就趨近于線性滲流。在擬合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)方面，n=1與n=1.0…01差別微乎其微；但是在描述物理本質(zhì)方面，n的取值是否大于1，決定了中速滲流能否向線性滲流逼近。齊成偉認(rèn)為“冪比方程中非線性指數(shù)能否等于1，或者說滲流速度與壓強(qiáng)梯度關(guān)系曲線能否呈雙曲形，成為非線性滲流力學(xué)最為本質(zhì)的問題之一”，值得進(jìn)行深入研究。

4 未來研究方向

Future research directions

代數(shù)形式方面：式如其名，簡約優(yōu)美；采用整體可微函數(shù)取代分段可微函數(shù)，降低了后續(xù)公式推演上的難度。幾何形態(tài)方面：不再有水平段（不流動(dòng)段）、曲線段和斜線段的不光滑銜接而渾然一線，“水平段”實(shí)為非常貼近壓強(qiáng)梯度軸且曲率漸大的曲線段，“斜線段”實(shí)為曲率漸小的曲線段；“雙曲形”（雙飛燕方程）、“勺形”、“直線形（達(dá)西方程）”三種形態(tài)隨意變換。物理含義方面：用兩條相互平行的漸近線的斜率表征滲透率與黏度的比值；非線性指數(shù)越大則非線性越強(qiáng)。工程精度方面：是已有非線性滲流數(shù)學(xué)模型中最精確的；是唯一能描繪勺形實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)平滑線的數(shù)學(xué)模型。因此，齊成偉冪比方程可作為致密油藏滲流本構(gòu)方程。于是，正交冪比連續(xù)方程可作為“正交低速非線性滲流控制方程”。

（1）必須清醒地認(rèn)識到冪比方程在理論基礎(chǔ)上的不足。嘗試從流體力學(xué)、滲流機(jī)理等更基礎(chǔ)更微觀的層面推導(dǎo)出冪比方程，得到低滲、超低滲、致密油藏漸近線截距和非線性指數(shù)的函數(shù)表達(dá)式，這個(gè)類似于從熱力學(xué)精細(xì)到統(tǒng)計(jì)熱力學(xué)的愿景，是未來長期且艱難的研究方向。郁伯銘建議將姜瑞忠的毛細(xì)管束幾何模型更換為如絲瓜絡(luò)一般三維延展的更加逼真的毛細(xì)管網(wǎng)或類Sierpiński海綿幾何模型，運(yùn)用分形幾何學(xué)結(jié)合流體力學(xué)重新推導(dǎo)，以期在非線性指數(shù)與分形維數(shù)之間建立函數(shù)關(guān)系，進(jìn)而推得與冪比方程形式相似的準(zhǔn)確方程。

（2）確定了致密油藏滲流本構(gòu)方程為冪比方程，后續(xù)問題便是如何基于冪比方程創(chuàng)建致密油藏滲流動(dòng)力學(xué)，以追逐致密油藏的開發(fā)步伐。齊成偉指出“冪比方程中非線性指數(shù)為1和2兩種情況下如何獲取無限大等厚均質(zhì)水平致密油藏內(nèi)鉛垂貫穿油藏的有限長直裂縫、兩口等流量注采井、兩口等流量聯(lián)采井激發(fā)的滲流壓強(qiáng)場函數(shù)是創(chuàng)建致密油藏滲流動(dòng)力學(xué)的六則關(guān)鍵數(shù)學(xué)難題。”期待數(shù)學(xué)、物理學(xué)識深厚或理論研究經(jīng)驗(yàn)豐富或?qū)Α胺蔷€性滲流動(dòng)力學(xué)難題”感興趣的業(yè)內(nèi)或業(yè)外科研工作者為創(chuàng)建致密油藏滲流動(dòng)力學(xué)做出卓越貢獻(xiàn)。

（3）齊成偉運(yùn)用復(fù)變函數(shù)論和張量分析理論創(chuàng)建了“平面穩(wěn)態(tài)流速場運(yùn)動(dòng)學(xué)通式”，為流體運(yùn)動(dòng)學(xué)Lagrange描述時(shí)位顯函數(shù)的成功獲得提供了通用公式從而彌補(bǔ)了流體力學(xué)基礎(chǔ)理論的不足，為R. D. Wyckoff的注采舌進(jìn)圖（1933）提供了理論基礎(chǔ)從而完善了流體力學(xué)和滲流力學(xué)教科書。低速非線性滲流場內(nèi)，忽略油水流度、密度差異的條件下，水驅(qū)油水界面的移動(dòng)變形圖像會(huì)隨著冪比方程中漸近線截距或非線性指數(shù)的變化產(chǎn)生怎樣的變化呢？歡迎有志之士獻(xiàn)身致密油藏滲流運(yùn)動(dòng)學(xué)研究，譜寫致密油藏水驅(qū)油理論的不朽篇章。

致謝：四川儲(chǔ)備物資管理局范兆廷首次指出“姜瑞忠方程、黃延章方程均為具有C0連接點(diǎn)的兩分段可微函數(shù)方程”，從而引發(fā)筆者探尋描寫低速非線性滲流本構(gòu)關(guān)系的整體可微函數(shù)方程。

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（修改稿收到日期 2017-01-10）

〔編輯 朱 偉〕

Constitutive equation for fluid flowing through tight reservoirs

LIU Jia1, YANG Shenglai2, ZHANG Chuhan3, WEI Jianguang4, GAN Junqi5, LIU Zhonghua6

1. School of Chemistry and Chemical Engineering, Chongqing University of Science and Technology, Chongqing 401331, China; 2. College of Petroleum Engineering, China University of Petroleum, Beijing 102249, China; 3. Department of Hydraulic Engineering, Tsinghua University, Beijing 100084, China; 4. School of Petroleum Engineering, Northeast Petroleum University, Daqing 163318, Heilongjiang, China; 5. Research Institute of Petroleum Exploration and Development, Beijing 100083, China; 6. School of Petroleum Engineering, Chongqing University of Science and Technology, Chongqing 401331, China

To realize efficient development of tight reservoirs, mechanics of fluids in tight reservoirs should be established. In order to establish it, constitutive equation for fluid flowing through tight reservoirs must be available first. Core flow test suggests that fluid flowing through tight reservoirs belongs to low-velocity nonlinear flow in porous media, and there exist many mathematical models which describe the constitutive relation of low-velocity nonlinear flow in porous media, so constitutive equation for fluid flowing through tight reservoirs should be selected properly among all. Compare frequently referenced Ruizhong Jiang’s equation and Yanzhang Huang’s equation with newly appeared Power-Quotient Equation among those mathematical models, discovering that: Power-Quotient Equationis global differentiable functional equation, which is simpler than two-piecewise differentiable functional equations such as Ruizhong Jiang’s equation and Yanzhang Huang’s equation; Power-Quotient Equation makes starting pressure gradient seem to exist but actually not, and reconciles two contrasting views about whether starting pressure gradient exist or not, then leads the research of fluid flowing through tight reservoirs will not intertwine in whether starting pressure gradient exist or not any more, however there exists controversial starting pressure gradient term in Ruizhong Jiang’s equation and Yanzhang Huang’s equation; Power-Quotient Equation first reveals that near-linear flow at medium velocities in porous media exists and describes it successfully according to the existent inflection point on a smooth curve of the data points from core flow test, while Ruizhong Jiang’s equation and Yanzhang Huang’s equation failed to describe the near-linear flow at medium velocities in porous media. Thus, Chengwei Qi’s Power-Quotient Equation can be used as constitutive equation for fluid flowing through tight reservoirs.

tight reservoir; mechanics of fluids in porous media; Power-Quotient Equation; low-velocity nonlinear flow in porous media; near-linear flow at medium velocities in porous media; starting pressure gradient

劉佳，楊勝來，張楚漢，魏建光，甘俊奇，劉忠華.論齊成偉冪比方程作為致密油藏滲流本構(gòu)方程［J］.石油鉆采工藝，2017，39（1）：112-118．

TE312

A

1000 – 7393（ 2017 ） 01 – 0112 – 07

10.13639/j.odpt.2017.01.022

:LIU Jia, YANG Shenglai, ZHANG Chuhan, WEI Jianguang, GAN Junqi, LIU Zhonghua. Constitutive equation for fluid flowing through tight reservoirs［J］. Oil Drilling & Production Technology, 2017, 39(1): 112-118.

重慶科技學(xué)院校內(nèi)科研基金項(xiàng)目“基于流體質(zhì)點(diǎn)位時(shí)顯函數(shù)的水驅(qū)油水界面的移動(dòng)變形描述”（編號：CK2015Z34）資助。

劉佳（1985-），2008年畢業(yè)于重慶科技學(xué)院化學(xué)工程與工藝專業(yè)，2013年獲西南石油大學(xué)油氣井工程碩士學(xué)位，現(xiàn)從事油田化學(xué)研究，實(shí)驗(yàn)師。 通訊地址：（401331）重慶市沙坪壩區(qū)大學(xué)城東路20號。E-mail：42966338@qq.com

劉忠華（1982-），2005年畢業(yè)于長江大學(xué)石油工程專業(yè)，2012年獲成都理工大學(xué)油氣田開發(fā)工程碩士學(xué)位，現(xiàn)從事非常規(guī)油氣田開發(fā)理論與實(shí)驗(yàn)研究，實(shí)驗(yàn)師。通訊地址：（401331）重慶市沙坪壩區(qū)大學(xué)城東路20號。E-mail：loyal_to_china@163.com