操作：讓學(xué)生學(xué)得更好
——基于數(shù)學(xué)操作的教學(xué)案例研究

靳　穎

一、操作——在活動(dòng)中經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念的形成

弗賴(lài)登塔爾曾說(shuō)過(guò)：“學(xué)習(xí)這一活動(dòng)最好的辦法是做?！眲?dòng)手操作適合小學(xué)生的身心特點(diǎn)，手腦并用，于數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)來(lái)說(shuō)能收到事半功倍的效果。

例如，筆者在教學(xué)《圓錐體積》時(shí)，設(shè)計(jì)了如下的教學(xué)片斷：

活動(dòng)準(zhǔn)備：給每個(gè)小組準(zhǔn)備了若干個(gè)圓柱和圓錐：有等底等高的，有等底不等高，有等高不等底，也有既不等底也不等高的。

活動(dòng)要求：在組長(zhǎng)的帶領(lǐng)下，借助這些圓錐和圓柱做實(shí)驗(yàn)，看看能否發(fā)現(xiàn)圓錐與圓柱體積之間的關(guān)系，并做好記錄填在表格中。學(xué)生通過(guò)分組做實(shí)驗(yàn)后，匯報(bào)實(shí)驗(yàn)結(jié)果。匯報(bào)如下：

生1：我們組做了三次實(shí)驗(yàn)。

生2：我們組做了四次實(shí)驗(yàn)。

……

通過(guò)各小組的匯報(bào)，學(xué)生從中對(duì)比發(fā)現(xiàn)：等底等高的圓柱和圓錐體積之間存在一定的規(guī)律：圓錐的體積=圓柱的體積×。

上述的操作活動(dòng)為學(xué)生提供了自主探究的機(jī)會(huì)和廣闊的思維空間。他們自主選擇學(xué)具，主動(dòng)操作、討論、對(duì)比、概括，發(fā)現(xiàn)了等底等高的圓柱和圓錐的體積之間存在的規(guī)律——圓錐的體積是圓柱體積的三分之一。

二、操作——在活動(dòng)中滲透數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)思想方法蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識(shí)之中，尤其蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過(guò)程中，操作可以幫助學(xué)生經(jīng)歷這樣的過(guò)程，體驗(yàn)蘊(yùn)含其中的數(shù)學(xué)思想。

例如，筆者在教學(xué)《發(fā)現(xiàn)橢圓》時(shí)是這樣設(shè)計(jì)的。

在學(xué)生正確判斷三根小棒能否圍成三角形的基礎(chǔ)上，給出兩根小棒想辦法圍三角形。如果把其中一根剪成兩段（兩段的長(zhǎng)度均是整數(shù)），然后和另一根小棒共同圍成一個(gè)三角形，一共有幾種不同的圍法？例如14厘米長(zhǎng)的小棒可以進(jìn)行拆分如下：

序號(hào)　將14厘米的小棒進(jìn)行拆分　能否圍成13厘米　1厘米　否　1 12厘米　2厘米　能　2 11厘米　3厘米　能　3 10厘米　4厘米　能　4 9厘米　5厘米　能　5 8厘米　6厘米　能　6 7厘米　7厘米　能　7

再用兩根細(xì)繩代替兩根小棒，分別長(zhǎng)為12厘米和14厘米。將12厘米長(zhǎng)的繩子拉直，兩端固定在黑板上。再把14厘米長(zhǎng)的兩端也固定在那兩個(gè)點(diǎn)上，然后找到第三個(gè)頂點(diǎn)，在紙板上畫(huà)下這個(gè)頂點(diǎn)。如圖：

接著問(wèn)∶如果不要求截成整厘米數(shù)，又有多少種不同的圍法呢？

學(xué)生操作學(xué)具并畫(huà)出各點(diǎn)，得到下左圖。

師∶大家想一想，如果我們將所有可能?chē)傻娜切蔚牡谌齻€(gè)頂點(diǎn)都找到并畫(huà)出來(lái)，它的軌跡會(huì)是怎樣的？（學(xué)生想象可能是圓形也可能是橢圓。出示上右圖）

再接著電腦動(dòng)態(tài)演示如下：

經(jīng)過(guò)這一連串的操作和演示，同學(xué)們可以確定這些點(diǎn)的軌跡是一個(gè)橢圓。

數(shù)學(xué)思想是潛隱于數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程中的內(nèi)部之物，不易為學(xué)生直接把握。在上述活動(dòng)中，先把14厘米的小棒截成兩段長(zhǎng)度是整厘米數(shù)的小棒，其方法是有限的，所圍成的三角形的第三個(gè)頂點(diǎn)也是有限的。接著把14厘米的細(xì)繩分成兩段長(zhǎng)度是小數(shù)的小段，此時(shí)出現(xiàn)了無(wú)數(shù)種方法，相應(yīng)圍成的三角形的第三個(gè)頂點(diǎn)也是無(wú)限的。學(xué)生由此親歷了三角形第三個(gè)頂點(diǎn)個(gè)數(shù)由有限到無(wú)限的過(guò)程，感悟了極限思想。

三、操作——在活動(dòng)中發(fā)展空間觀念

對(duì)于小學(xué)生而言，操作及其經(jīng)驗(yàn)是他們發(fā)展空間觀念的基礎(chǔ)。

筆者在教學(xué)《長(zhǎng)方體和正方體的認(rèn)識(shí)》時(shí)，設(shè)計(jì)了如下活動(dòng)：

課前給每個(gè)小組準(zhǔn)備了土豆和小刀，讓學(xué)生通過(guò)切土豆，經(jīng)歷了如下的操作過(guò)程：

1.切之前先讓學(xué)生觀察土豆的形狀，摸摸表面。在腦中想象切一刀之后土豆會(huì)有怎樣的變化？先切一刀，摸一摸新切出的面，比較和切之前有什么變化。學(xué)生發(fā)現(xiàn)新出現(xiàn)的面是平平的。揭示面：簡(jiǎn)稱(chēng)“平面”（板書(shū)：面）。

2.想一想：如果再切一刀，土豆會(huì)發(fā)生什么變化？學(xué)生先想象，接著再切一刀，觀察土豆此時(shí)又發(fā)生了什么變化？學(xué)生發(fā)現(xiàn)又新增了一個(gè)面，而且第二次切出的面與第一次切出的面相交于一條線(xiàn)，學(xué)生用手摸摸新增的線(xiàn)。揭示：兩個(gè)面相交的線(xiàn)叫做棱（板書(shū)：棱）。

3.想一想：如果再切一刀呢？又會(huì)有什么變化呢？學(xué)生先在腦中想象。接著切第三刀，觀察又發(fā)生了怎樣的變化？發(fā)現(xiàn)切三刀之后，三條棱相交于一點(diǎn)，再次用手摸摸，感覺(jué)尖尖的。此時(shí)指出三條棱相交的點(diǎn)叫做頂點(diǎn)（板書(shū)：頂點(diǎn)）。

4.接著讓學(xué)生想一想如果繼續(xù)切下去，怎樣才能把土豆切成一個(gè)長(zhǎng)方體呢？

在操作之前，應(yīng)該讓學(xué)生先考慮如何操作，以及操作后土豆的形狀。學(xué)生在操作之前就先想好了一定的步驟，但是這種想法還只是想象，需要實(shí)際操作來(lái)進(jìn)行驗(yàn)證。對(duì)比土豆被切前后的變化，并用手摸一摸、看一看，直觀感知長(zhǎng)方體的面、棱、點(diǎn)，逐步建立表象，充分感知長(zhǎng)方體的特征。在操作中學(xué)生經(jīng)歷了長(zhǎng)方體特征形成的過(guò)程，學(xué)生的思維由形象上升到抽象，空間想象能力得到發(fā)展，為后續(xù)學(xué)習(xí)立體幾何奠定基礎(chǔ)。

四、操作——在活動(dòng)中激發(fā)學(xué)習(xí)興趣

教學(xué)中，我們要對(duì)教材進(jìn)行適度的改編，化靜為動(dòng)，使學(xué)生在操作中產(chǎn)生學(xué)習(xí)的興趣。

筆者在教學(xué)《厘米的認(rèn)識(shí)》時(shí)，是這樣設(shè)計(jì)的：

活動(dòng)一：找出1厘米

學(xué)具袋里有四根小棒（長(zhǎng)度分別是10厘米、5厘米、1厘米和0.5厘米），其中有一根長(zhǎng)度是1厘米。你能把它找出來(lái)嗎？

活動(dòng)二：尺子驗(yàn)證

師：你們找到的這根小棒，長(zhǎng)度到底是不是1厘米呢？（學(xué)生想到了可以用尺子量）通過(guò)量這根小棒，證明它的長(zhǎng)度就是1厘米。且在量小棒的過(guò)程中認(rèn)識(shí)了刻度尺，明確從0到1之間的線(xiàn)段長(zhǎng)，就是1厘米。學(xué)生知道直尺上“0到1”之間這樣長(zhǎng)的一大格就是1厘米。進(jìn)而明確：尺子上相鄰的兩個(gè)刻度數(shù)之間的長(zhǎng)度就是1厘米。

活動(dòng)三：找生活中的1厘米

學(xué)生紛紛找出身邊的1厘米（有的學(xué)生還發(fā)現(xiàn)食指的寬度、紐扣的寬度正好也是1厘米……)

活動(dòng)四：挑出1厘米

給出三條長(zhǎng)度不同的線(xiàn)段（只有1條長(zhǎng)度是1厘米），要求不用尺子，在三條中選出1厘米長(zhǎng)的那條線(xiàn)段描出來(lái)。

活動(dòng)五：估計(jì)1厘米

給出學(xué)生熟悉的物品（如橡皮、骰子、一元硬幣等），要求先估一估誰(shuí)的厚度大約是1厘米，并想辦法驗(yàn)證它是不是1厘米。

在操作活動(dòng)中，學(xué)生的眼、耳、口、手、腦多種感官處于一種積極活動(dòng)的狀態(tài)，通過(guò)找、量、描、估等操作活動(dòng)，選取了學(xué)生熟悉的素材，架起了學(xué)習(xí)內(nèi)容與生活實(shí)際之間的橋梁，使枯燥的概念變得鮮活起來(lái)，使乏味的課堂變得讓人回味。學(xué)生通過(guò)找到“1厘米長(zhǎng)的小棒”獲得了成功的喜悅，用尺子量找到的1厘米長(zhǎng)的小棒，驗(yàn)證了自己找的是正確的，獲得了自信。親歷“1厘米”的形成過(guò)程，讓學(xué)生真正感受到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的必要性，產(chǎn)生我愛(ài)學(xué)的強(qiáng)烈欲望。