王超新，劉興天，張志誼

(1.上海交通大學(xué) 振動(dòng)、沖擊、噪聲研究所,上海 200240； 2.上海交通大學(xué) 機(jī)械系統(tǒng)與振動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,上海 200240;3.上海衛(wèi)星工程研究所,上海 200240)

基于立方體STEWART的微振動(dòng)主動(dòng)控制分析與實(shí)驗(yàn)

王超新1,2，劉興天3，張志誼1,2

(1.上海交通大學(xué) 振動(dòng)、沖擊、噪聲研究所,上海 200240； 2.上海交通大學(xué) 機(jī)械系統(tǒng)與振動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,上海 200240;3.上海衛(wèi)星工程研究所,上海 200240)

采用立方體結(jié)構(gòu)隔振平臺(tái)，它具有各向同性以及軸向運(yùn)動(dòng)解耦等特點(diǎn)。對(duì)立方體Stewart平臺(tái)分別進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)分析，獲得桿長(zhǎng)與平臺(tái)姿態(tài)的雅克比矩陣，揭示平臺(tái)振動(dòng)傳遞特性。采用壓電疊堆為主動(dòng)控制單元，設(shè)計(jì)立方體Stewart主動(dòng)隔振平臺(tái)，并通過實(shí)驗(yàn)測(cè)定平臺(tái)主動(dòng)桿在5～120 Hz頻帶內(nèi)的輸出特性，通過實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)修正理論分析得到的雅克比矩陣。結(jié)合Fx-LMS主動(dòng)控制算法，對(duì)基礎(chǔ)干擾進(jìn)行主動(dòng)抑制，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在5～120 Hz范圍內(nèi)，對(duì)于單頻干擾，平臺(tái)可實(shí)現(xiàn)30 dB抑制效果。

微振動(dòng)；立方體Stewart平臺(tái)；主動(dòng)隔振；雅克比矩陣；Fx-LMS

航天器上的微振動(dòng)對(duì)太空對(duì)地觀測(cè)、激光通信有著重要的影響[1]。六自由度Stewart平臺(tái)廣泛應(yīng)用于精密系統(tǒng)的振動(dòng)隔離，但是平臺(tái)的六桿運(yùn)動(dòng)是耦合的，使Stewart平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)變得比較復(fù)雜。立方體結(jié)構(gòu)的Stewart平臺(tái)不僅可簡(jiǎn)化控制算法、實(shí)現(xiàn)控制器的解耦和載荷平臺(tái)的精確定位，也可簡(jiǎn)化運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)的計(jì)算以及機(jī)械結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)[2]。Stewart平臺(tái)根據(jù)支腿剛度主要分為兩大類，即剛性與柔性。典型的剛性設(shè)計(jì)通常使用壓電陶瓷材料作為作動(dòng)器，而柔性設(shè)計(jì)中，則通常使用音圈線圈并聯(lián)彈簧的設(shè)計(jì)[3]。

GENG[4]提出了一種基于Stewart平臺(tái)的主動(dòng)隔振方案，采用魯棒自適應(yīng)濾波算法對(duì)單頻振動(dòng)進(jìn)行抑制。RAHMAN[5]提出一種正交六桿結(jié)構(gòu)，采用主動(dòng)控制來抑制空間觀測(cè)系統(tǒng)的振動(dòng)，并對(duì)其姿態(tài)進(jìn)行調(diào)整。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，相對(duì)于被動(dòng)方案，主動(dòng)控制在10～100 Hz可實(shí)現(xiàn)額外的振動(dòng)衰減。COBB等[6]發(fā)明了一種基于混合隔振機(jī)構(gòu)的六桿平臺(tái)來隔離和抑制振動(dòng)。這套方案主要提高被動(dòng)隔振在低頻段的性能并且使載荷平臺(tái)具備調(diào)姿功能。HANIEH等[7]設(shè)計(jì)了一種帶阻尼柔性結(jié)構(gòu)的六自由度Stewart平臺(tái)，實(shí)現(xiàn)隔振和調(diào)姿功能。LI等[8]基于Stewart平臺(tái)提出了一種非線性模型的SHARF算法，并對(duì)部分單頻干擾獲得了30 dB的衰減。MCINROY等[9]提出了一種新的分析算法來計(jì)算正交Gough-Stewart 平臺(tái)(OGSPs)，這種新的算法簡(jiǎn)化了單點(diǎn)OGSP公式對(duì)于平臺(tái)運(yùn)動(dòng)學(xué)的研究有很大幫助。HAN等[10]利用Newton-Euler公式對(duì)立方體結(jié)構(gòu)的六自由度平臺(tái)進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)建模，并給出六自由度混合隔振平臺(tái)的頻域特性。在以上文獻(xiàn)中，運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)建模并不詳細(xì)，而且實(shí)驗(yàn)主要集中在單頻單向振動(dòng)的衰減。在實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ椭?，Stewart平臺(tái)作動(dòng)器的輸出一致性未得到驗(yàn)證，并且計(jì)算雅克比矩陣也未被校正。

本文結(jié)構(gòu)如下：第一節(jié)主要推導(dǎo)立方體Stewart平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)學(xué)并給出雅克比矩陣；第二節(jié)描述了立方體Stewart平臺(tái)的動(dòng)力學(xué)模型；第三節(jié)利用建立的動(dòng)力學(xué)模型對(duì)Stewart平臺(tái)進(jìn)行主動(dòng)隔振仿真；第四節(jié)詳細(xì)描述Stewart平臺(tái)的主動(dòng)控制實(shí)驗(yàn)；第五節(jié)是立方體Stewart平臺(tái)主動(dòng)隔振方案總結(jié)。

1 立方體Stewart平臺(tái)運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

Stewart平臺(tái)運(yùn)動(dòng)學(xué)有兩個(gè)出發(fā)點(diǎn)：正解和反解。運(yùn)動(dòng)學(xué)反解是已知負(fù)載平臺(tái)位姿即位置參量(x,y,z) 和旋轉(zhuǎn)參量(α,β,γ),求解平臺(tái)六個(gè)支腿的長(zhǎng)度，也是本文的出發(fā)點(diǎn)。正解問題是已知六個(gè)腿長(zhǎng)求解負(fù)載平臺(tái)位姿。

Stewart平臺(tái)姿態(tài)描述普遍采用歐拉角，建立在笛卡爾坐標(biāo)系基礎(chǔ)上，按一定順序選取三個(gè)坐標(biāo)軸連續(xù)做三次旋轉(zhuǎn)。歐拉角坐標(biāo)如圖1所示，坐標(biāo)系o-xyz依次逆時(shí)針繞x軸、y′軸和z軸旋轉(zhuǎn)角度α,β和γ，途經(jīng)坐標(biāo)系o-xy′z′和o-x′y′Z，最終到坐標(biāo)系o-XYZ。每一次旋轉(zhuǎn)都可通過二維余弦矩陣計(jì)算坐標(biāo)變換關(guān)系。因此，坐標(biāo)系o-XYZ和o-xyz中的矢量可以通過方向余弦矩陣R計(jì)算。旋轉(zhuǎn)矩陣R為

(1)

由于平臺(tái)轉(zhuǎn)角很小，近似將歐拉角看成是繞x,y和z軸的旋轉(zhuǎn)角度。

圖1 歐拉角坐標(biāo)Fig.1 The Euler angles

如圖2所示，在負(fù)載平臺(tái)和基礎(chǔ)選擇Op和Ob作為參考點(diǎn)，并以其分別建立笛卡爾坐標(biāo)系P和B。B是固定坐標(biāo)系，其它坐標(biāo)都可表示在B下的矢量。t表示從B原點(diǎn)Ob到P原點(diǎn)Op的矢量，t=(x,y,z)，P相對(duì)B的歐拉角θ=(α,β,γ)。設(shè)從Op到負(fù)載平臺(tái)各支腿的連接點(diǎn)矢量為pi,從Ob到基礎(chǔ)各支腿的連接點(diǎn)矢量為bi,Stewart平臺(tái)的六個(gè)支腿軸線方向矢量為Si(i=1,2,3,4,5,6),可由下式表示

圖2 負(fù)載平臺(tái)和基礎(chǔ)坐標(biāo)建立Fig.2 The coordinate systems of the base and payload

Si=Rpi+t-bi

(2)

式中支腿長(zhǎng)度

(3)

各支腿的單位矢量可寫成

(4)

(5)

各支腿滑動(dòng)速度[11]為

(6)

雅克比矩陣可寫為

(7)

立方體平臺(tái)俯視圖如圖3所示，圖中建立和實(shí)驗(yàn)相同的坐標(biāo)系，垂直于紙面方向?yàn)閦軸，x和y軸在圖中標(biāo)出，同時(shí)標(biāo)出6個(gè)桿的位置和標(biāo)號(hào)。

圖3 立方體平臺(tái)結(jié)構(gòu)俯視圖Fig.3 Top view of Stewart

分別以基礎(chǔ)和負(fù)載平臺(tái)的幾何中心為原點(diǎn)，建立靜坐標(biāo)系Ob-xyz和動(dòng)坐標(biāo)系Op-xyz，其中Ob-xyz的x和y軸方向與Op-xyz一致。這樣，旋轉(zhuǎn)矩陣R為單位矩陣，t=(0,0,Zr)。Zr為上下平臺(tái)在z軸上的距離。b12，b34，b56為支腿下端在Ob-xyz的坐標(biāo)，p16，p23，p45為支腿上端在Op-xyz的坐標(biāo)。根據(jù)式(7)可得立方體Stewart的雅克比矩陣

圖4 結(jié)構(gòu)實(shí)物圖Fig.4 The experimenatal model of Stewart

(8)

2 立方體Stewart平臺(tái)動(dòng)力學(xué)分析

Stewart平臺(tái)隔振中各桿位移微小，動(dòng)力學(xué)建模時(shí)可假設(shè)雅克比矩陣J不變。主動(dòng)桿與負(fù)載平臺(tái)、基礎(chǔ)的力主要集中在桿的軸線方向，可不考慮垂直于桿的力。

假設(shè)負(fù)載平臺(tái)和基礎(chǔ)為剛體，根據(jù)虛功原理，主動(dòng)桿虛功為

W=fTδq=fTJδχ

(9)

式中:f表示負(fù)載平臺(tái)對(duì)主動(dòng)桿的力;δq為主動(dòng)桿虛位移;W表示虛功。載荷虛功為

(10)

式中:F為負(fù)載平臺(tái)所受力;T為負(fù)載平臺(tái)所受扭矩;δχ為負(fù)載平臺(tái)廣義虛位移。進(jìn)一步可得負(fù)載平臺(tái)所受廣義力和主動(dòng)桿對(duì)負(fù)載平臺(tái)作用力的關(guān)系：

(11)

根據(jù)Newton-Euler公式可得：

(12)

式(12)揭示6桿主動(dòng)控制力和負(fù)載平臺(tái)姿態(tài)的關(guān)系。其中，Mp為質(zhì)量矩陣，Ip為轉(zhuǎn)動(dòng)方向的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，w×IPw很小，可忽略不計(jì)。式(12)可以寫為

(13)

u=Jχ

(14)

式中:u是基礎(chǔ)固定，負(fù)載平臺(tái)自由時(shí)，主動(dòng)桿長(zhǎng)度變化六維向量。χ是負(fù)載平臺(tái)的姿態(tài)描述向量，J是負(fù)載平臺(tái)的雅克比矩陣。同理可寫出六桿和基礎(chǔ)的運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系，即

d=J′χ′

(15)

式中:d是負(fù)載平臺(tái)固定，基礎(chǔ)自由時(shí)，主動(dòng)桿長(zhǎng)度的變化向量，χ′是基礎(chǔ)的姿態(tài)描述向量，J′是基礎(chǔ)的雅克比矩陣。

考慮到系統(tǒng)的剛度和阻尼，可得：

(16)

式中：f是控制力，k為單根桿軸線方向的剛度，c為單根桿軸線方向的阻尼，由于采用立方體結(jié)構(gòu)，每個(gè)桿布置是一致的，所以每根桿的剛度和阻尼是一樣。

綜合前式可得：

(17)

3 立方體Stewart平臺(tái)控制仿真

(18)

圖5 周期干擾的自適應(yīng)控制原理圖Fig.5 The adaptive control diagram

仿真Stewart平臺(tái)對(duì)單頻激勵(lì)的隔振性能。Stewart結(jié)構(gòu)和仿真參數(shù)如下，負(fù)載平臺(tái)質(zhì)量m是3.5 kg，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Ix,Iy和Iz分別為0.89 kg·m2，0.89 kg·m2和0.27 kg·m2, 每個(gè)壓電棒的剛度為1×107N/m，阻尼比為0.008。根據(jù)動(dòng)力學(xué)式可知，壓電棒到負(fù)載平臺(tái)力和速度的頻響函數(shù)，基礎(chǔ)到負(fù)載平臺(tái)速度和速度的頻響函數(shù)。單頻干擾頻率為50 Hz，激勵(lì)速度幅值為2 mm/s,自適應(yīng)權(quán)值數(shù)4個(gè)，無控制時(shí)負(fù)載平臺(tái)響應(yīng)1.3 mm/s, 有控制為3.35×10-2mm/s,有無控制結(jié)果,如圖6所示。

圖6 單頻干擾有無控制對(duì)比Fig.6 Responses of Stewart under tonal disturbances

掃頻激勵(lì)干擾頻率范圍為25～30 Hz，幅值為1 mm/s,有200個(gè)權(quán)值，控制系統(tǒng)的采樣頻率為400 Hz。無控制時(shí)負(fù)載平臺(tái)響應(yīng)為0.675 mm/s,有控制時(shí)為0.116 mm/s，有無控制結(jié)果如圖7所示[14]。

4 立方體Stewart平臺(tái)實(shí)驗(yàn)

測(cè)試立方體Stewart平臺(tái)對(duì)微振動(dòng)的主動(dòng)隔振性能，首先進(jìn)行背景振動(dòng)測(cè)試，確實(shí)其是否適合進(jìn)行微振動(dòng)實(shí)驗(yàn)，然后測(cè)試隔振平臺(tái)6個(gè)壓電棒的增益，接著通過壓電棒控制輸入來校正壓電棒與隔振平臺(tái)雅克比矩陣，最后測(cè)試隔振平臺(tái)在單頻激勵(lì)干擾下主動(dòng)控制性能。

圖7 掃頻干擾有無控制對(duì)比Fig.7 Responses of Stewart under random disturbances

4.1 實(shí)驗(yàn)原理與背景振動(dòng)

實(shí)驗(yàn)原理如圖8所示，數(shù)據(jù)采集儀器(LMS)主要用于采集平臺(tái)各方向的振動(dòng)信號(hào)，同時(shí)也用于微振動(dòng)干擾源的信號(hào)頻率和幅值的控制。加速度計(jì)信號(hào)先通過電荷放大器調(diào)理，然后分別由數(shù)據(jù)采集儀器和上位機(jī)接受，上位機(jī)對(duì)控制目標(biāo)信號(hào)進(jìn)行處理，并通過NI控制板卡發(fā)出控制信號(hào)，經(jīng)過濾波器和功率放大器，控制隔振平臺(tái)6個(gè)壓電棒產(chǎn)生動(dòng)作。為了更好地隔離來自地面的振動(dòng)，整個(gè)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)放到一個(gè)裝滿細(xì)沙的長(zhǎng)方體玻璃容器中，同時(shí)在容器下端放置了橡膠減震器。

圖8 Stewart平臺(tái)實(shí)驗(yàn)原理圖與實(shí)驗(yàn)圖Fig.8 The experimental platform

平臺(tái)上的背景振動(dòng)小于10 ug，如圖9所示，振動(dòng)加速度RMS最大值為4.11 ug。PSD最大值出現(xiàn)在12 Hz，為57.3 ug2/Hz。實(shí)驗(yàn)中的振動(dòng)量級(jí)為mg，微振動(dòng)實(shí)驗(yàn)有足夠的信噪比。

圖9 背景振動(dòng)時(shí)域與PSD測(cè)試結(jié)果Fig.9 The test results of background vibration

4.2 隔振平臺(tái)6個(gè)壓電棒的增益與雅克比矩陣修正

主動(dòng)控制需要測(cè)試每個(gè)壓電棒到負(fù)載平臺(tái)的頻響函數(shù)。由于采用立方體Stewart平臺(tái)，每個(gè)主動(dòng)桿桿長(zhǎng)相同，到負(fù)載平臺(tái)中心距離相同，因此，在負(fù)載平臺(tái)中心處放置一個(gè)加速度傳感器，測(cè)試每個(gè)桿到此加速度傳感器的各向特性，以此來獲得各主動(dòng)桿和其輸入電壓的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

對(duì)6個(gè)壓電棒進(jìn)行頻響函數(shù)測(cè)試，以有效值為0.3 V、頻帶為1～128 Hz的電壓信號(hào)作為控制輸入和參考。如圖10所示，圖中6條頻響函數(shù)曲線從20～120 Hz范圍內(nèi)具有良好的相似性，唯一的差別是增益，但是從120 Hz開始，頻響函數(shù)的一致性較差，主要原因是壓電棒聯(lián)接或者平臺(tái)空間結(jié)構(gòu)非嚴(yán)格對(duì)稱導(dǎo)致6個(gè)壓電棒的作用力并不完全一致，高頻特性尤其如此。

圖10 6個(gè)壓電棒到上平臺(tái)中心處的頻響函數(shù)Fig.10 The FRF of each strut

桿的伸長(zhǎng)量和上平臺(tái)6個(gè)方向的運(yùn)動(dòng)關(guān)系的如式7所示，但是此式為理論計(jì)算，由于實(shí)際系統(tǒng)參數(shù)和結(jié)構(gòu)不嚴(yán)格一致或?qū)ΨQ，理論上的單一方向運(yùn)動(dòng)參數(shù)需要修正。這里單一方向運(yùn)動(dòng)定義為主方向振動(dòng)遠(yuǎn)高于其它方向振動(dòng)，有15 dB以上的差別。以有效值為0.1 V的電壓信號(hào)作為輸入和參考，偏置電壓取8 V。由圖11可見，在20～120 Hz范圍內(nèi)，z方向的運(yùn)動(dòng)比較顯著，但系統(tǒng)在66 Hz處有個(gè)小模態(tài)，導(dǎo)致各個(gè)方向運(yùn)動(dòng)的區(qū)分度降低。參考值為1 m/s-2/V，表1給出了三個(gè)平動(dòng)和一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)方向的Jacobi矩陣的修正。

圖11 z方向的純運(yùn)動(dòng)Fig.11 Pure vibration in the z directions

表1 修正的Jacobi矩陣Tab.1 Refined Jacobi matrix

4.3 隔振平臺(tái)對(duì)z方向振動(dòng)控制實(shí)驗(yàn)

對(duì)于立方體Stewart隔振平臺(tái)的主動(dòng)控制實(shí)驗(yàn)，本文著重描述對(duì)于z方向在單頻干擾下的控制效果。選取代表性的單頻激勵(lì)下控制端有無控制對(duì)比結(jié)果說明主動(dòng)控制的有效性。如圖12所示:20 Hz對(duì)應(yīng)的有無控制對(duì)比圖，從圖上可明顯看出對(duì)于單一頻率主峰，有很好的抑制效果，同時(shí)在全頻帶范圍內(nèi)對(duì)于其他峰值并無明顯放大，具體數(shù)值如表2所示。從表中可以看到，對(duì)于低頻5 Hz處，該平臺(tái)也有一定的控制效果，但是由于6個(gè)桿在低頻輸出一致性的差別，導(dǎo)致控制性能下降。

圖12 20 Hz激勵(lì)下控制端有無控制振動(dòng)

Fig.12 Comparison of velocity response under 20 Hz with and w/o control

表2 不同頻率激勵(lì)下基礎(chǔ)和控制端振動(dòng)衰減

Tab.2 Comparison of velocity response under tonal disturbances with and w/o control

頻率/Hz57206090無控制-97.19-90.95-78.69-77.55-78.38有控制-110.03-105.93-109.22-109.481-109.15衰減/dB12.8414.9830.5331.9330.77

4.4 隔振平臺(tái)對(duì)轉(zhuǎn)角方向振動(dòng)控制實(shí)驗(yàn)

對(duì)于轉(zhuǎn)角方向振動(dòng)測(cè)試，主要是通過圖8中4號(hào)加速度傳感器。掃頻設(shè)置采樣頻帶為0～128 Hz，頻帶線譜數(shù)量4 096根，總掃頻時(shí)間32 s。第一組掃頻激勵(lì)的頻率為25～30 Hz，每一個(gè)整數(shù)頻率點(diǎn)的停留時(shí)間大約為6.4 s，整個(gè)時(shí)間弦軸上控制效果RMS值衰減為7.5 dB的衰減，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖13(a)所示；第二組掃頻激勵(lì)頻率60～65 Hz，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖13(b)所示，控制后時(shí)域RMS值衰減10.43 dB。

(a)

(b)

5 總 結(jié)

本文對(duì)立方體Stewart平臺(tái)運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)進(jìn)行了建模和分析，并采用基于自適應(yīng)主動(dòng)控制算法對(duì)隔振平臺(tái)進(jìn)行仿真。通過立方體Stewart平臺(tái)實(shí)驗(yàn)，獲得了6個(gè)壓電棒輸出特性并對(duì)理論雅可比矩陣進(jìn)行修正，在此基礎(chǔ)上，對(duì)平臺(tái)主振方向的單頻和掃頻干擾施加主動(dòng)控制，取得了良好的控制效果，與控制仿真結(jié)果一致。

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Micro-vibration active control for a Stewart platform with a cubic configuration

WANG Chaoxin1,2, LIU Xingtian3, ZHANG Zhiyi1,2

(1.Institute of Vibration, Shock and Noise, Shanghai Jiao Tong University, Shanghai 200240, China;2.State Key Laboratory of Mechanical Systems and Vibration, Shanghai Jiao Tong University, Shanghai 200240, China; 3.Institute of Satellite Engineering in Shanghai, Shanghai, 200240, China)

A Stewart platform with a cubic configuration was developed having uniformity of stiffness and a control capability in all directions, and a simplified mechanical design.Its kinematic and dynamic analyses were conducted to obtain Jacobian matrix relating the extension of the piezo actuator to 6-DOF of the top plate and to reveal its characteristics of vibration transmissibility.Taking a piezoelectric stack as an active control element, the platform was designed.Tests were performed to measure the output characteristics of the active bar of the platform within the frequency band of 5 Hz to 120 Hz and Jacobian matrix obtained with theoretical analysis was modified with test data.Fx-LMS algorithm was adopted to actively suppress the foundation disturbances.The results showed that within the range of 5 Hz to 120 Hz, the platform is able to achieve 30 dB attenuation effect under a single frequency disturbance.

micro-vibration; Stewart platform with a cubic configuration; active isolation; Jacobian matrix; Fx-LMS

2015-07-23 修改稿收到日期：2016-02-19

王新超 男,博士生,1989年8月生

張志誼 男,博士,教授,1970年11月生

TH535.1

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.05.033