陳小霞

【摘 要】小數(shù)的再認識學習以前需要了解學生對于小數(shù)初步認識的掌握情況。運用網(wǎng)絡，通過前測與分析，發(fā)現(xiàn)了學生存在著的許多問題。建議：基于學生的已有經(jīng)驗組織教學；教學過程中要凸顯“整體1”；讓學生經(jīng)歷十等分、百等分及單位累加的過程；利用數(shù)線的無限分割，加強小數(shù)稠密性概念的教學；借助多元情境，培養(yǎng)小數(shù)的估測能力。

【關鍵詞】小數(shù)的意義 網(wǎng)絡 學前調(diào)查

目前正在使用的北師大版教材將“小數(shù)的認識”分為兩個階段來學習。“小數(shù)的初步認識”安排在三年級上冊第八單元，主要是聯(lián)系兒童的現(xiàn)實生活，以元、角、分和常用的長度單位為背景，讓學生初步認識小數(shù)?！靶?shù)的意義”安排在四年級下冊第一單元，這一階段教科書將在學生認識小數(shù)現(xiàn)實模型的基礎上，借助面積模型和線段模型，與十進分數(shù)之間建立聯(lián)系，進一步促進學生對小數(shù)的理解。即將學習“小數(shù)的意義”的四年級學生，有多少能正確建立小數(shù)與分數(shù)的聯(lián)結(jié)？有多少能用面積模型和線段模型表征小數(shù)？對于小數(shù)序列、小數(shù)稠密性和小數(shù)估測的能力又如何？沒有形成這些能力的學生存在哪些主要類型的錯誤想法？為了解以上問題，筆者精心設計了問卷，借助相關系統(tǒng)的測評功能和數(shù)據(jù)搜集分析功能開展了學前調(diào)查，并在此基礎上提出了教學建議。

一、測試問卷、對象及過程

2017年1月13日，筆者選擇了所在縣市的三個學校的871名三年級學生參加測試。測試問卷包括小數(shù)與分數(shù)的聯(lián)系、小數(shù)圖形表征、小數(shù)序列、小數(shù)稠密性和小數(shù)估測五類共11道選擇題。每道題目的各選項根據(jù)三年級上冊“小數(shù)的初步認識”后測搜集到的學生可能出現(xiàn)的答案設置而成。（具體題目見“測試結(jié)果及分析”）

測試前先委托任課教師向參加測試的班級說明測試要求，并將要求以校訊通短信的形式告知家長。當日晚6：00，將問卷鏈接發(fā)送至參加測評班級的微信群，學生點開鏈接進行答題。整個過程要求他人不得提供任何幫助，學生覺得作答完畢，點擊提交問卷。2017年1月14日，根據(jù)學生的答題情況，電話通知了三個學校的各6名學生返回學校進行面對面訪談，所有訪談由筆者親自完成。

二、測試結(jié)果及分析

（一）各題正確率統(tǒng)計及分析

從圖1可以看出，對于小數(shù)與分數(shù)的聯(lián)系、用面積模型和線段模型表征小數(shù)、小數(shù)序列、小數(shù)稠密性和小數(shù)估測等知識有接近半數(shù)或超過半數(shù)的學生已經(jīng)了解。其中第9題關于小數(shù)序列的題目正確率最高，第2題、第4題關于兩位小數(shù)和分數(shù)的互化正確率最低。

（二）小數(shù)與分數(shù)的聯(lián)系答題情況統(tǒng)計及分析

（由于“問卷網(wǎng)”中不支持分數(shù)的輸入，所以所有分數(shù)采取文字的形式輸入）

從表1可以看出，像（1）（2）這樣的題目主要的錯誤類型是將[a].[b]或[a].0[b]看成[ba]或[ab]（對于[a].0[b]，他們忽視0的存在，將0.05與0.2一樣處理），其中看成[ba]的占多數(shù)。將0.2與零分之二對等的學生占了33.41%，將0.05與零分之五對等的學生占了33.30%。這部分學生直接將小數(shù)表面的數(shù)字認為就是分數(shù)的分子和分母，而沒有明白[a]和[b]表示的意義。

從表2可以看出，這兩題的主要錯誤和小數(shù)化分數(shù)的主要錯誤是相對應的，將[ba]看成[a].[b]或[b].[a]，看成[a].[b]的居多。將十分之三看成10.3的占了38.81%，將一百分之七看成100.7的占了39.72%。這兩類學生從分數(shù)表面有的數(shù)字來拼湊答案，直接把分子、分母添上小數(shù)點變成小數(shù)的形式，認為就化成小數(shù)了，同樣也沒有明白各個數(shù)字表示的意義。

（三）小數(shù)的圖形表征答題情況統(tǒng)計及分析

本次測查中圖形表征的題目采取了兩種表示連續(xù)量的圖形，分別是一維線段模型和二維的面積模型。從表3中可以看出，不管是面積模型還是線段模型，主要的錯誤都是選擇了表示0.01的圖示，錯誤率分別是24%和18.25%。這些學生潛意識里有十等分的概念，但錯認為0.1是表示均分成100份中的一份，說明他們并沒有形成正確的位值概念。

從表4中可以看出，對于兩位小數(shù)的圖形表征，兩種模型的主要錯誤剛好和一位小數(shù)的圖形表征相反，最主要的錯誤是選擇了表示0.1的圖。面積模型和線段模型的錯誤率分別是19.40%和29.05%，這又一次說明部分學生對于小數(shù)部分位值的理解有困難。

（四）小數(shù)序列答題情況統(tǒng)計及分析

該題選11.0、11、11.00這三個答案都是正確的，正確率是79.6%。主要錯誤是10.10，占了19.29%。這部分學生是將小數(shù)的整數(shù)部分和純小數(shù)部分割裂開來處理，這也說明他們對小數(shù)部分的位值概念缺乏理解。

（五）小數(shù)的稠密性答題情況統(tǒng)計及分析

這道題的主要錯誤是認為7.3和7.4之間沒有小數(shù)，占了30.42%，說明這些學生不知道數(shù)與數(shù)之間可以繼續(xù)被分割。認為7.3和7.4之間有1個、9個、10個小數(shù)的學生分別占了7.12%、6.43%、3.44%，這些學生知道小數(shù)可以再進行等分，但似乎沒有體會到可以經(jīng)過無數(shù)次均分。本題選擇錯誤的學生都沒有形成小數(shù)稠密性的概念。

（六）小數(shù)的估測能力答題情況統(tǒng)計及分析

本題有53.50%的答案是正確的，但從訪談中了解到，他們中的大多數(shù)并不能從“將整體1進行十等分”的角度去思考比1多的部分，而是通過1.5這個中間數(shù)找到的。主要錯誤是選擇1.9元，占了24.11%，這些學生能夠判斷大括號括著的部分比1.5大，比2小，但只局限在知道大概的區(qū)間。本題不管是從正確答案的訪談還是錯誤答案的分析都說明學生將整體1進行十等分的意識非常薄弱。

三、對教學的啟示

（一）基于學生的已有經(jīng)驗組織教學

從已有經(jīng)驗向科學概念的運動過程就是教學。測查結(jié)果顯示，通過“小數(shù)的初步認識”的學習以及平時生活經(jīng)驗的積累，上述五個知識點已經(jīng)有接近半數(shù)或超過半數(shù)的學生有正確經(jīng)驗，其他學生也有自己的想法。教學時建議教師搜集學生生成的正確素材和錯誤素材，組織學生對生成的素材進行分析、歸類和歸因，從而實現(xiàn)有效教學。

（二）教學過程中要凸顯“整體1”

從表1、表2中看出，很多學生將[a].[b]、[a].0[b]看成[ba]或[ab]，將[ba]看成[a].[b]或[b.a]。從表5中看出部分學生認為10.9+0.1是10.10。這些錯誤表明學生還不明白小數(shù)點左右兩邊所表示的意義、小數(shù)點的作用以及小數(shù)點兩邊數(shù)之間的關系，他們將小數(shù)點左右兩邊的數(shù)當作兩個獨立的整數(shù)看待。要讓學生明白小數(shù)點左右兩邊的數(shù)所表示的意義，筆者認為首先要強調(diào)小數(shù)的“整體1”，如2.3元，“整體1”是1元，整數(shù)部分的2表示有兩個1元，小數(shù)部分的3表示將“整體1”平均分成10份，每份是0.1元，3份是0.3元。除了借助教材中提供的連續(xù)量的情境強調(diào)“整體1”外，建議加入一些離散量的情境，如一串冰糖葫蘆有10顆，3.5串有幾顆。在多元情境中讓學生理解小數(shù)中的“整體1”就是分數(shù)中的“整體1”。

（三）讓學生經(jīng)歷十等分、百等分及單位累加的過程

為了消除學生將小數(shù)點左右兩邊的數(shù)當作兩個獨立整數(shù)來看待的錯誤想法，除了凸顯“整體1”，在教學中還要強調(diào)讓學生經(jīng)歷十等分、百等分的過程，在動手中加深印象。北師大版四下“小數(shù)的意義”教材編排非常重視純小數(shù)與十進分數(shù)之間的聯(lián)系，然而教材只是要求學生用數(shù)表示陰影部分，并沒有設計十等分的活動，筆者覺得這樣做學生可能只會關注涂色的那一份或幾份，卻忽視了“整體1”被等分成幾份。所以建議，教學中只提供空白的正方形，讓學生經(jīng)歷十等分、百等分的過程，積累基本經(jīng)驗，加深印象。此外，為了讓學生理解“小數(shù)序列”這一概念，當學生經(jīng)歷十等分、百等分產(chǎn)生小數(shù)的計數(shù)單位后，可結(jié)合面積模型或者是計數(shù)器，采用單位累加的形式進行其他小數(shù)的學習，如3個0.1就是0.3。這樣的視覺表征可讓學生輕松地掌握像0.9進位至1.0、0.99進位至1.00這樣的小數(shù)序列概念。

（四）利用數(shù)線的無限分割，加強小數(shù)稠密性概念的教學

從表6中我們發(fā)現(xiàn)，有51.66%的學生不能理解小數(shù)的稠密性概念。小數(shù)的稠密性與整數(shù)的離散性有區(qū)別，與分數(shù)的稠密性相類似，雖然這個特性不屬于小學數(shù)學的學習范圍，但筆者覺得在教學中教師應該采取相應的措施讓學生有所理解。比如，學生有直尺畫線的經(jīng)驗，且直尺又具有十等分的屬性，教師可從直尺中引入數(shù)線的學習，不僅可以激發(fā)學生的興趣，還能讓學生感受到0和1之間、1和2之間……還藏著很多數(shù)。借助直尺抽象出數(shù)線后，再借助課件分步展示將數(shù)射線十等分再十等分，讓學生不斷感受細分的過程，逐漸體會兩個小數(shù)之間還存在著無數(shù)個小數(shù)。

（五）借助多元情境，培養(yǎng)小數(shù)的估測能力

估測實際上是對小數(shù)基本概念的應用，學生必須明確地知道“整體1”是什么，并明白各計數(shù)單位之間十等分的關系才能進行估測。如果按照上面的四條建議實施教學，學生的估測能力定會有提高。但除上述建議，筆者覺得教師還應創(chuàng)設多元化的情境讓學生經(jīng)歷估測的過程。如提供長度的情境、面積的情境、容量的情境等，在各種不同的情境中經(jīng)歷估測，使學生進一步感知比較隱性的“整體1”，體會小數(shù)部分所對應的大小，會用小數(shù)表示對應的數(shù)量。

參考文獻：

[1]鮑建生，周超.數(shù)學學習的心理基礎與過程[M].上海：上海教育出版社，2009.

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（浙江省江山市教師進修學校 324100）