朱澤飛,涂俐蘭,吳澤虎

(武漢科技大學(xué)理學(xué)院,湖北 武漢 430065)

異維混沌動(dòng)力系統(tǒng)的有限時(shí)間廣義同步

朱澤飛,涂俐蘭,吳澤虎

(武漢科技大學(xué)理學(xué)院,湖北 武漢 430065)

本文研究了異維混沌動(dòng)力系統(tǒng)的有限時(shí)間廣義同步的問(wèn)題.利用有限時(shí)間 Lyapunov 穩(wěn)定性定理、Jensen 不等式等理論方法, 通過(guò)設(shè)置不同的控制器,從理論上提出了一般的異維驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的有限時(shí)間廣義同步的兩種方案,并且對(duì)方案二中的影響同步時(shí)間因素做了理論分析和證明.最后,數(shù)值模擬驗(yàn)證了提出理論的正確性和可行性.

異維混沌系統(tǒng);有限時(shí)間 Lyapunov 穩(wěn)定性定理;有限時(shí)間廣義同步;同步時(shí)間

1引言

混沌同步由于在人類大腦[1]、流體混合[2]、無(wú)線電通訊[3]等領(lǐng)域中的廣泛應(yīng)用, 而成為非線性科學(xué)研究領(lǐng)域中的熱點(diǎn)課題之一.早期人們?cè)谖锢韺W(xué)、生物學(xué)、氣象學(xué)、工程學(xué)等眾多領(lǐng)域中對(duì)混沌同步進(jìn)行了深入地研究,得到了一系列實(shí)現(xiàn)混沌系統(tǒng)同步的方法,譬如,PC 同步法[4]、脈沖控制同步法[5]、廣義同步法[6]等. 這些方法又可以歸納為兩大類同步 – 完全同步和廣義同步.完全同步的最終目標(biāo)是兩個(gè)混沌系統(tǒng)的同步態(tài)完全相同,而廣義同步的同步態(tài)不同,往往呈現(xiàn)出某種函數(shù)關(guān)系.實(shí)際上,現(xiàn)實(shí)中的系統(tǒng)很難做到動(dòng)力學(xué)完全相同.

近年來(lái),混沌系統(tǒng)的同步主要集中在研究同維同結(jié)構(gòu)或同維異結(jié)構(gòu)混沌系統(tǒng)之間的漸近同步[4?9]. 然而到目前為止, 對(duì)異維異結(jié)構(gòu)混沌系統(tǒng)之間的理論研究結(jié)果還比較少[10?11]. 一方面,當(dāng)兩個(gè)混沌系統(tǒng)的維數(shù)不同時(shí),則它們之間的結(jié)構(gòu)必然大相徑庭,而且在相空間中,它們的吸引域也有很大的差異性;另一方面,混沌系統(tǒng)對(duì)初值條件極端的敏感,初值條件的任何微小改變,最終必將導(dǎo)致系統(tǒng)之間動(dòng)力學(xué)行為的巨大變化.所以,相比較同維同結(jié)構(gòu)或同維異結(jié)構(gòu)的混沌系統(tǒng)而言,實(shí)現(xiàn)異維異結(jié)構(gòu)混沌系統(tǒng)間的廣義同步就具有更大的挑戰(zhàn)性.

同時(shí),現(xiàn)有的文獻(xiàn)研究的漸近同步是指同步時(shí)間趨于無(wú)窮大時(shí),混沌系統(tǒng)能否趨于同步狀態(tài).這一要求在實(shí)踐中有時(shí)候并不現(xiàn)實(shí),譬如,在保密通信中,如果混沌振子在有限時(shí)間里不能達(dá)到同步,加密信息不能在有限時(shí)間里被成功地恢復(fù)或發(fā)送,都將造成無(wú)法挽回的損失[12].

基于以上所述,本文將探討一般的異維混沌系統(tǒng)的有限時(shí)間廣義同步.文獻(xiàn) [10]研究了異維混沌系統(tǒng)的廣義同步問(wèn)題, 但是同步時(shí)間仍然是趨于無(wú)窮大時(shí)的情形; 文獻(xiàn) [13] 研究了隨機(jī)擾動(dòng)下統(tǒng)一混沌系統(tǒng)的有限時(shí)間同步,但是討論的混沌系統(tǒng)仍然是同維混沌系統(tǒng);文獻(xiàn)[11] 研究了異維混沌系統(tǒng)的有限時(shí)間廣義同步, 提出了一種控制器的設(shè)計(jì)方案, 但是設(shè)計(jì)方案還有待提高,而且文中并沒有給出同步時(shí)間影響因素的結(jié)論證明. 本文在文獻(xiàn) [11]的基礎(chǔ)之上給出了控制器的兩種設(shè)計(jì)方案,其中方案一提出了與文獻(xiàn) [11]的控制器完全不同的設(shè)計(jì)思路,而方案二把文獻(xiàn) [11]中定理 1 中的控制器推廣到更一般的情形. 另外,本文把文獻(xiàn) [11]中作者給出的同步時(shí)間影響因素的結(jié)論修改得更加合理,而且給出了理論證明.

2預(yù)備定義和引理

考察一般混沌系統(tǒng)的驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)為

響應(yīng)系統(tǒng)為

其中 x=(x1,x2,···,xn)T∈ Rn是驅(qū)動(dòng)系統(tǒng) (2.1) 的狀態(tài)變量,aij∈ R 是不全為零的常數(shù), fi(x):Rn?→ R(i=1,2,···,n) 是 非 線 性連續(xù)函數(shù);y=(y1,y2,···,ym)T∈ Rm是響應(yīng)系統(tǒng)(2.2) 的 狀態(tài)變量,bij∈ R 是不全為 零 的常數(shù),gj(y):Rm?→ R(j=1,2,···,m) 是非線性連續(xù)函數(shù).

對(duì)于響應(yīng)系統(tǒng) (2.2) 式,若施加控制器, 則有

其中 u=(u1,u2,···,um)T∈ Rm是待設(shè)計(jì)的控制器.

下面給出有限時(shí)間廣義同步的相關(guān)定義以及文中需要用到的引理.

定義1對(duì)于驅(qū)動(dòng)系統(tǒng) (2.1) 和響應(yīng)系統(tǒng) (2.3) 中的狀態(tài)變量, 設(shè) E(t)=y(t) ? φ(x(t)),稱 E(t) 為 驅(qū) 動(dòng) 系 統(tǒng) (2.1) 和 響 應(yīng) 系 統(tǒng) (2.3) 的 廣 義 同 步 誤 差, 其 中 φ(x):Rn?→ Rm, 即φ(x)=(φ1(x),φ2(x),···,φm(x))T∈ Rm是任意一個(gè)給定的連續(xù)可微的向量函數(shù).

定義2對(duì)于定義 1 中定義的廣義同步誤差 E(t), 如果存在一個(gè)時(shí)間常量 T ＞ 0, 使得t?→limT?||E(t)||=0, 且當(dāng) t ≥ T 時(shí)有 ||E(t)||≡ 0, 則稱驅(qū)動(dòng)系統(tǒng) (2.1) 和響應(yīng)系統(tǒng) (2.3) 在控制器 u 的作用下關(guān)于向量函數(shù) φ(x) 在 T 時(shí)刻達(dá)到有限時(shí)間廣義同步,其中 T 稱為同步時(shí)間, ||.|| 是 2- 范數(shù).

定義3[14]考察下面的非線性動(dòng)力系統(tǒng)

其中 x ∈ Rn是 系統(tǒng)的狀 態(tài)變量,f(x):Rn?→ Rn是光滑 的 非線性函 數(shù). 如果存在 一 個(gè)常數(shù)T ＞ 0(T 依賴于初始條件 x(0) 的值) 使得

且當(dāng) t ≥ T 時(shí)有 ||x(t)||≡ 0, 則稱系統(tǒng) (2.4) 是有限時(shí)間穩(wěn)定的.

引理1[14](有限時(shí)間 Lyapunov 穩(wěn)定性定理) 假設(shè)存在連續(xù)、正定的函數(shù) V(t) 滿足如下微分不等式

其中 c ＞ 0,0 ＜ η＜ 1 為正常數(shù). 那么對(duì)于任意給定的 t0,都有

其中

引理2[15](Jensen 不等式) 對(duì)于任意的實(shí)數(shù) ai(i=1,2,···,n) 以及 0 ＜ p ＜ 1, 有

注1本文的主要目標(biāo)是設(shè)計(jì)合適的控制器 u, 在定義 2 的意義下使得驅(qū)動(dòng)系統(tǒng) (2.1) 和響應(yīng)系統(tǒng) (2.3) 達(dá)到有限時(shí)間廣義同步.

3主要結(jié)果

3.1控制器的設(shè)計(jì)方案

由定義 1,可以給出驅(qū)動(dòng)系統(tǒng) (2.1) 和響應(yīng)系統(tǒng) (2.3) 的廣義同步誤差為 E=y ? φ(x) 且

其中 Dφ(x) 是 φ(x) 的 Jacobi矩陣,即

把 (2.1),(2.3),(3.2) 式代入 (3.1) 式中, 得到驅(qū)動(dòng)系統(tǒng) (2.1) 和響應(yīng)系統(tǒng) (2.3) 的誤差系統(tǒng)為

其中 E=(e1,e2,···,em)T∈ Rm,

根據(jù)定義 3, 對(duì)于驅(qū)動(dòng)系統(tǒng) (2.1) 和響應(yīng)系統(tǒng) (2.3) 的有限時(shí)間廣義同步問(wèn)題的研究, 可以等價(jià)地轉(zhuǎn)換為研究誤差系統(tǒng) (3.3) 在零點(diǎn)的有限時(shí)間穩(wěn)定性問(wèn)題. 接下來(lái)的目標(biāo)是設(shè)計(jì)合適的控制器在定義 3 的意義下,誤差系統(tǒng) (3.3) 能夠達(dá)到有限時(shí)間穩(wěn)定. 本文設(shè)計(jì)了兩種方案來(lái)施加控制器u.

注2以下設(shè)文中的 α=qp是合適的有理數(shù),p,q 為正奇數(shù)且 p ＞ q.

方案一分 m 個(gè)步驟依次地設(shè)置控制器 u=(u1,u2,···,um)T∈ Rm中的 m 個(gè)分量.

第1步對(duì) (3.3) 式的第一個(gè)方程設(shè)置控制器

其中 c1,d1為任意給定的正常數(shù).

將 (3.5) 式代入誤差系統(tǒng) (3.3) 中的第一個(gè)方程中得

構(gòu)造 Lyapunov 函數(shù)為

對(duì) (3.7) 式關(guān)于時(shí)間 t 求導(dǎo)數(shù)得

把 (3.6) 式代入 (3.8) 式得

由引理 1 可知在某個(gè) T1時(shí)刻,誤差 e1趨于零,且當(dāng) t≥ T1時(shí),有 e1≡ 0.

第2步類似地, 當(dāng) t ≥ T1時(shí), 由第一步可知 e1≡ 0,于是誤差系統(tǒng) (3.3) 的子系統(tǒng)變?yōu)?/p>

對(duì) (3.10) 式的第一個(gè)方程設(shè)置控制器

其中 c2,d2為任意給定的正常數(shù). 將 (3.11) 式代入誤差子系統(tǒng) (3.10) 式中的第一個(gè)方程得

類似地,構(gòu)造一個(gè) Lyapunov 函數(shù)為

仍然可以得到

由引理 1 可知在某個(gè) T2＞ T1時(shí)刻, 誤差 e2趨于零, 且當(dāng) t ≥ T2時(shí), 有 e2≡ 0.

如此類似地,在上一步的基礎(chǔ)之上,一步一步地設(shè)置控制器 u=(u1,u2,···,um)T∈ Rm中剩下的 m ? 2 個(gè)分量 u3,u4,···,um?1,um, 其中

其中 cj,dj(j=3,4,···,m) 為任意給定的正常數(shù). 仍然由引理 1 可知分別在某個(gè) T3＜ T4＜···＜ Tm?1＜ Tm時(shí)刻,誤差 ej趨于零,且當(dāng) t≥ Tj時(shí),有 ej≡ 0(j=3,4,···,m). 從而在最后的 Tm時(shí)刻有 ‖E(t) ‖ 趨于零, 且當(dāng) t ≥ Tm時(shí)有 ‖ E(t) ‖≡ 0. 即誤差系統(tǒng) (3.3) 是有限時(shí)間穩(wěn)定的. 也就是說(shuō)在控制器 u=(u1,u2,···,um)T∈ Rm的作用下,其中驅(qū)動(dòng)系統(tǒng) (2.1) 和響應(yīng)系統(tǒng) (2.3) 關(guān)于向量函數(shù) φ(x) 在 Tm時(shí)刻達(dá)到有限時(shí)間廣義同步.

方案二一次性地把控制器 u=(u1,u2,···,um)T∈ Rm中的 m 個(gè)分量 u1,u2,···,um同時(shí)施加上去,只求最后的同步時(shí)間.

考察誤差系統(tǒng) (3.3), 若設(shè)施加的控制器 u=(u1,u2,···,um)T∈ Rm中的分量滿足如下條件

其中 pi(i=1,2,···,m) 為任意給定的正常數(shù),那么誤差系統(tǒng) (3.3) 是有限時(shí)間穩(wěn)定的.

構(gòu)造 Lyapunov 函數(shù)為

對(duì) (3.18) 式沿著軌線 (3.3) 對(duì)時(shí)間 t 求導(dǎo)數(shù)得

把 (3.17) 式代入 (3.19) 式中得

由引理2可知

從而

結(jié)合 (3.19)–(3.22) 式可知

由引理 1 可知存在 T ＞ 0 使得在 T 時(shí)刻有 ‖ E(t)‖ 趨于零,且當(dāng) t≥ T 時(shí)有 ‖E(t) ‖≡ 0.即誤差系統(tǒng) (3.3) 是有限時(shí)間穩(wěn)定的. 所以驅(qū)動(dòng)系統(tǒng) (2.1) 和響應(yīng)系統(tǒng) (2.3) 關(guān)于向量函數(shù)φ(x) 在 T 時(shí)刻達(dá)到有限時(shí)間廣義同步.

注3顯然, 利用方案一在進(jìn)行控制器的設(shè)計(jì)時(shí), 誤差系統(tǒng) (3.3) 的子系統(tǒng)變得更加簡(jiǎn)單,而且其復(fù)雜程度是低于方案二的.

注4特別地,在方案二的控制器的分量 (3.17) 式中,當(dāng) p1=p2= ···=pm=1 時(shí),此時(shí)的控制器就是文獻(xiàn) [11]中定理 1 的結(jié)果. 也就是說(shuō), 文獻(xiàn) [11] 中的定理 1 只是本文方案二中(3.17) 式的特殊情形.

3.2同步時(shí)間的影響因素分析

在上一節(jié)中用兩種方案設(shè)計(jì)出了達(dá)到有限時(shí)間廣義同步的控制器,在這一節(jié)中本文將分析方案二中達(dá)到廣義同步所需時(shí)間的影響因素.

對(duì)于 (3.23) 式,結(jié)合引理 1 可知

把 (3.24) 式代入引理 1 中的 (2.7) 式,整理得

其中 E(t0)=y(t0) ? φ(x(t0)),t0∈ [0,+∞),α ∈ (0,1).

由 (3.25) 式可知驅(qū)動(dòng)系統(tǒng) (2.1) 和響應(yīng)系統(tǒng) (2.3) 關(guān)于向量函數(shù) φ(x) 的同步時(shí)間 T, 可以通過(guò)控制初始誤差狀態(tài) E(t0) 和參數(shù) α ∈ (0,1) 來(lái)實(shí)現(xiàn). 下面討論 E(t0) 與參數(shù) α 分別變化時(shí),對(duì)同步時(shí)間T 的影響結(jié)果.

注5下文中的e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

定理1假設(shè)給定初始狀態(tài) E(t0),

(1) 若 0 ＜ ||E(t0)||≤ e, 則 T 為 α ∈ (0,1) 上的嚴(yán)格遞增函數(shù);

(2) 若 ||E(t0)||＞ e,

證(1) 由題設(shè)可知 t0和 ||E(t0)|| 都是已知的, 則 T 是關(guān)于 α ∈ (0,1) 上的一元函數(shù),對(duì)T關(guān)于α求導(dǎo)數(shù)得

(ii) 若 ?∞ ＜ ln ‖ E(t0) ‖＜ 0, 則從而于是所以 T 為 α ∈ (0,1) 上的嚴(yán)格遞增函數(shù);

綜上 (i),(ii),(iii) 所述,T 為 α ∈ (0,1) 上的嚴(yán)格遞增函數(shù).

上的嚴(yán)格遞增函數(shù);

定理2假設(shè)給定參數(shù) α,則 T 為關(guān)于初始狀態(tài)上的嚴(yán)格遞增函數(shù).

該定理顯然成立,證明從略.

注6定理1從理論上嚴(yán)格地證明了同步時(shí)間T和參數(shù) α 之間的關(guān)系.

4數(shù)值模擬

為了證明本文提出方案的有效性和正確性,本節(jié)將對(duì)上節(jié)方案二的結(jié)果做數(shù)值模擬,并且只討論驅(qū)動(dòng)系統(tǒng) (2.1) 的維數(shù) n 大于響應(yīng)系統(tǒng) (2.3) 的維數(shù) m 時(shí)的情形.

本節(jié)以三維 Lorenz 系統(tǒng)和二維 Duffi ng 系統(tǒng)分別作為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)進(jìn)行驗(yàn)證. 驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)為

響應(yīng)系統(tǒng)為

由于 φ(x):R3→ R2是任意給定的連續(xù)可微的向量函數(shù),所以為了簡(jiǎn)便起見不妨設(shè)

那么

且廣義同步誤差為

由公式 (3.3) 可得誤差系統(tǒng)為

根據(jù) (3.17) 式可得所求的控制器為

因?yàn)?p1,p2是任意給定的正常數(shù),所以為了簡(jiǎn)便起見,不妨取 p1=p2=1, 那么 (4.7) 式可化為

取驅(qū)動(dòng)系統(tǒng) (4.1) 和響應(yīng)系統(tǒng) (4.2) 的初始狀態(tài)分別為

下面對(duì)參數(shù) α 分別取57和35時(shí)做數(shù)值模擬.

利用 MATLAB,可獲得驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)、響應(yīng)系統(tǒng)以及誤差系統(tǒng)的軌跡圖. 圖 1 是驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(4.1) 的軌跡 圖, 圖 2 是 響 應(yīng)系統(tǒng) (4.2) 的軌 跡 圖, 圖 3 是 當(dāng)參數(shù) α =57時(shí) 在控制器 (4.8) 作用下的誤差系統(tǒng)軌跡圖,圖4是當(dāng)參數(shù) α=35時(shí)在控制器 (4.8) 作用下的誤差系統(tǒng)軌跡圖.

從模擬圖中可以發(fā)現(xiàn)圖 3 與圖 4 顯示了誤差系統(tǒng)在有限時(shí)間收斂到零,也就是說(shuō),驅(qū)動(dòng)系統(tǒng) (4.1) 和響應(yīng)系統(tǒng) (4.2) 在控制器 (4.8) 的作用下, 在有限時(shí)間里達(dá)到了廣義同步, 而且圖 3的同步時(shí)間比圖 4的同步時(shí)間要長(zhǎng)一些,這與定理 1的理論結(jié)果是一致的.事實(shí)上, 經(jīng) 過(guò)計(jì)算可知,而又 因 為所以, 于是由定理 1 中的結(jié)論①可知同步時(shí)間 T 是關(guān)于參數(shù) α 的嚴(yán)格遞增函數(shù),所以圖3的同步時(shí)間比圖4的同步時(shí)間要長(zhǎng)一些.

5結(jié)論

本文通過(guò)設(shè)置不同的控制器,從理論上提出了一般的異維驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)的有限時(shí)間廣義同步的兩種方案,其中方案一給出了與文獻(xiàn) [11]完全不同的設(shè)計(jì)思路,方案二把文獻(xiàn)[11]中的結(jié)論推廣到一般情形. 進(jìn)一步地,本文給出了方案二中的參數(shù)和誤差系統(tǒng)的初始狀態(tài)對(duì)同步時(shí)間影響的理論分析和證明,從而可以通過(guò)適當(dāng)?shù)馗淖儏?shù)和系統(tǒng)的初始狀態(tài)來(lái)控制同 步速度. 最 后, 利用 三維 的 Lorenz 系 統(tǒng) 和二 維的 Duffi ng 系 統(tǒng) 進(jìn)行 了數(shù)值 仿真 實(shí) 驗(yàn), 驗(yàn)證了文中理論的有效性和正確性.

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FINITE-TIME GENERALIZED SYNCHRONIZATION OF CHAOTIC DYNAMICAL SYSTEMS WITH DIFFERENT DIMENSIONS

ZHU Ze-fei,TU Li-lan,WU Ze-hu
(School of Science,Wuhan University of Science and Technology,Wuhan 430065,China)

In this paper,fi nite-time generalized synchronization of chaotic dynamical systems with diff erent dimensions is investigated.Based on the theoretical approaches of fi nite-time Lyapunov stability theorem and Jensen inequality etc.,and by means of setting up diff erent controllers,two kinds of schemes are proposed in theory so as to achieve fi nite-time generalized synchronization between general drive system and response system with diff erent dimensions. Furthermore,the factors in the second scheme have been theoretically analyzed and proved which have an impact on the synchronization time.Finally,some numerical simulations are presented to verify that the proposed theories are correct and feasible.

chaotic system with diff erent dimensions;fi nite-time Lyapunov stability theorem;finite-time generalized synchronization;synchronization time

tion:93C15;93D99

3C15;93D99

O231.2

A

0255-7797(2017)02-0365-11

2015-11-16 接收日期:2016-02-26

國(guó)家自然科學(xué)基金資助 (61473338);國(guó)家自然科學(xué)基金資助 (61304164).

朱澤飛 (1989–), 男, 湖北十堰,碩士, 主要研究方向: 非線性分析與控制