陳志軍

拓展教學(xué)思路，優(yōu)化思維品質(zhì)
——以一道經(jīng)典力學(xué)題的多種教學(xué)思路為例

陳志軍

（安徽省績溪中學(xué)，安徽宣城 245300）

對一道關(guān)于均質(zhì)鏈條平衡的經(jīng)典力學(xué)問題，提出利用數(shù)列和極限、分割與積累、虛功原理、積分、三力交匯原理、定軸轉(zhuǎn)動物體的平衡6種分析思路與方法，并利用質(zhì)心運(yùn)動定律和巴普斯定理對鏈條的質(zhì)心求解進(jìn)行了分析研究，以拓展學(xué)生的分析思路，優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)．

均質(zhì)鏈條；分析思路；思維品質(zhì)

在中學(xué)物理教學(xué)中，有意識地安排多角度分析問題的訓(xùn)練，啟發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生展開聯(lián)想、進(jìn)行思考，努力挖掘問題中豐富的內(nèi)涵，從不同的角度、不同的思路，用不同的方法多方位地去分析、解決問題，充分調(diào)動學(xué)生思維的積極性，在多思和多解中領(lǐng)悟真諦，可以有效培養(yǎng)學(xué)生的想象力、思維能力和創(chuàng)造能力，鍛煉學(xué)生思維的靈活性，優(yōu)化思維品質(zhì)．本文結(jié)合一道經(jīng)典力學(xué)問題的多種分析思路談問題分析思路的拓展和思維品質(zhì)的優(yōu)化．光滑圓柱面放置在水平面上，柱面上放置一線密度為λ的光滑均質(zhì)鐵鏈，其一端固定在柱面頂端A，另一端B恰與水平面相切，試求鐵鏈A端所受的拉力．

圖1

1 利用數(shù)列和極限

本題由于鏈條彎曲重心位置難以確定，直接用平衡條件或力矩平衡不易求解，考慮到鏈條的質(zhì)量分布均勻，可以引導(dǎo)學(xué)生嘗試用微元法，將鏈條無限分割，再通過極限和數(shù)列求和等數(shù)學(xué)知識進(jìn)行處理．

原題．如圖1所示，一

個半徑為R的

采用微元法，從A點(diǎn)開始將鐵鏈均勻分為n個微元，n→∞，如圖2所示，每一段微元對應(yīng)的圓心角，則每一段微元長Δl＝RΔθ＝，質(zhì)量，任取第i段微元受力分析如圖1所示，角度θi＝i·Δθ，該微元處于靜止?fàn)顟B(tài)，沿切線方向根據(jù)平衡條件有

拓展到整個鏈條可以得到

利用三角函數(shù)數(shù)列an＝sin（nθ）前n項之和

則

2 利用分割與積累

分割與積累的思想起源于生產(chǎn)實踐，為研究自然界中普遍存在的宏觀問題提供了極其重要的思維方法，在物理學(xué)中對突破變量研究的困難、物質(zhì)結(jié)構(gòu)的認(rèn)識、建立科學(xué)的度量體系、提供設(shè)計實驗的依據(jù)、升華對微觀世界的認(rèn)識提供了重要的研究方法，也是中學(xué)物理教學(xué)中分析問題和解決問題的一種基本方法，分割與積累思想方法的應(yīng)用可有效促進(jìn)學(xué)生解題思路的發(fā)散和思維品質(zhì)的提高．同樣本題由于鏈條重心位置難以確定、平衡條件或力矩平衡不易求解等因素，可以引導(dǎo)學(xué)生將鏈條無限分割，考查分割以后，每一段拉力在宏觀上的積累效應(yīng)．

圖3

如圖3，在鏈條上傾角為θ處取微元Δl，該微元所受重力為Δmg＝λΔlg，該微元受力分析如圖所示，微元Δl受到的拉力與微元中點(diǎn)的切線方向夾角，該微元處于平

由于微元的選取是任意的，任一微元受到的沿切線方向向上的拉力都比沿切線方向向下的拉力大ΔT，按照對整個鏈條分割后的積累效應(yīng)，A點(diǎn)的拉力應(yīng)等于每個微元沿切線方向的拉力之差ΔT的總和，即

式中∑Δlcosθ表示所有微元在豎直方向上的投影距離之和，由圖可知總的投影距離為R，所以

3 利用虛功原理

虛功原理是拉格朗日提出來用于研究一般質(zhì)點(diǎn)系平衡的普遍原理，是靜力學(xué)的普適定理．虛功是力在虛位移上所做的功，由于物體是處于平衡態(tài)，位移是假想的，不是真實的位移，因此虛功也是假想的，不是真實的功，虛功的應(yīng)用往往先取微元，以功能原理為基本物理規(guī)律求解物理問題的方法，在力學(xué)中用得比較普遍，用于處理平衡問題時尤為有效，往往使過程變得比較簡單．在教學(xué)中正確引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用它，能抓住習(xí)題教學(xué)的主要內(nèi)容，突出重點(diǎn)，使學(xué)生高效掌握知識內(nèi)容、拓展思維方法和提高推理能力．

圖4

如圖4所示，假設(shè)在A點(diǎn)的作用力TA非常緩慢地將鏈條拉走一段無限小的位移 Δx，Δx→0，該位移為虛位移，A點(diǎn)的作用力TA所做的功為虛功．由于支持力不做功，根據(jù)功能原理，拉力TA所做的功就等于鏈條重力勢能的增加，重力勢能的增加可以等效為處于鏈條B端長度為Δx的鏈條移動到A端重力勢能的增加，長度為Δx的鏈條上升的高度為R，其余部分的重力勢能保持不變，因此有

由此解得TA＝λgR．

4 利用積分思想方法

定積分是函數(shù)在區(qū)間上的積分和的極限，其本質(zhì)是把函數(shù)圖像無限細(xì)分，再累加起來，也是微元法應(yīng)用的體現(xiàn)，與前述極限、分割與積累的本質(zhì)是相同的．積分雖然在高中不做要求，但積分思想貫穿于整個高中物理，積分思想的運(yùn)用可以豐富學(xué)生處理問題的手段，拓展學(xué)生的思維能力．

鏈條放在光滑圓柱面上處于靜止?fàn)顟B(tài)，其各部分兩側(cè)的張力不同，需要該部分重力的分力來平衡，由于鏈條的質(zhì)量是連續(xù)分布的，求解A處的拉力時，可以選取鏈條上的一小段來分析其受力，列出動力學(xué)方程，采用積分的方法求解．

在鏈條上傾角為θ處取微元，該微元對應(yīng)的圓心角為dθ，微元所受重力為（dm）g＝λ（dl）g＝λ（R· dθ）g，平衡時受力如圖5所示，該微元沿切線方向根據(jù)牛頓定律有dT＝T（θ＋dθ）－T（θ）＝（dm）gcosθ＝λ（R· dθ）gcosθ，兩邊積分得

5 利用三力交匯原理

對整個鏈條受力分析，可知該鏈條僅受到3個力，分別是重力、支持力和A點(diǎn)的拉力，根據(jù)3力交匯原理，如果知道了該鏈條的質(zhì)心位置，就可以利用平衡條件等方法確定A點(diǎn)的拉力，問題就轉(zhuǎn)化為求鏈條的質(zhì)心位置，雖然鏈條彎曲重心位置難以確定，但確定質(zhì)心、另辟蹊徑尋找解決問題的辦法，可以極大地豐富和鍛煉學(xué)生的思維和創(chuàng)造力．考慮到鏈條的質(zhì)量分布均勻，鏈條的質(zhì)心位置的求解可以運(yùn)用微元法結(jié)合質(zhì)心運(yùn)動定律求解，也可以運(yùn)用巴普斯定理求解．

5．1 質(zhì)心位置的確定

圖6

5．1．1 利用質(zhì)心運(yùn)動定律如圖6所示，現(xiàn)假設(shè)有一張角為θ，線密度為λ的均質(zhì)圓環(huán)形鏈條，半徑為R．如果該鏈條以角速度ω繞圖示豎直軸勻速轉(zhuǎn)動，在圓環(huán)形鏈條上取一段微元，其對應(yīng)的圓心角為Δθ，質(zhì)量為Δm＝λRΔθ，由于該微元隨鏈條一起做勻速圓周運(yùn)動，其兩端由于轉(zhuǎn)動增加的張力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓定律有

T·Δθ＝ Δmω2R ＝（λRΔθ）ω2R，即T＝λω2R2，該力是鏈條內(nèi)由于轉(zhuǎn)動引起的張力增量，由于這一微元是任意選取，所以鏈條內(nèi)任意位置由于轉(zhuǎn)動引起的張力增量均為T．

圖7

由對稱性可知，該均質(zhì)鏈條的質(zhì)心一定在過圓心O，且在鏈條兩端對稱的軸線上，假設(shè)質(zhì)心在對稱軸上的C點(diǎn)，質(zhì)心到O點(diǎn)的距離為xC，對整個環(huán)線受力分析，如圖7所示，由于轉(zhuǎn)動引起的張力增量為T，在指向圓周運(yùn)動圓心的方向，由質(zhì)心運(yùn)動定律有

將T＝λω2R2代入上式，可解得

圖8

5．1．2 利用巴普斯定理

巴普斯定理表述為：一條質(zhì)量分布均勻的平面曲線，其上各點(diǎn)沿垂直于曲線平面方向運(yùn)動，在空間掃過一曲面，則此曲面面積等于質(zhì)心在運(yùn)動中所經(jīng)路程與曲線長度的乘積．巴普斯定理的介紹和應(yīng)用可以有效拓展學(xué)生的知識面、解題能力、學(xué)科綜合能力、空間思維能力和學(xué)習(xí)品質(zhì)．

如圖8所示，假設(shè)本題中的鏈條以O(shè)A為軸旋轉(zhuǎn)一周，該鏈條在空間轉(zhuǎn)動掃過的曲面為一個半徑為R的半球面，仍然假設(shè)質(zhì)心到O點(diǎn)的距離為xc，則質(zhì)心運(yùn)動軌跡為一半徑為的圓，根據(jù)巴普斯定理有

5．2 利用三力交匯原理求拉力

如圖8所示，鏈條質(zhì)心位于C點(diǎn)，對整個鏈條受力分析，鏈條受到重力、支持力和A點(diǎn)的拉力，并且3力交匯于一點(diǎn)H，這3個力組成的矢量三角形與圖形中△OEH相似，有解得

6 利用定軸轉(zhuǎn)動物體的平衡條件

前面已經(jīng)通過質(zhì)心運(yùn)動定律或巴普斯定理求出了鏈條的質(zhì)心位置，質(zhì)心位于C點(diǎn)，質(zhì)心到O點(diǎn)的距離受力分析仍然如圖8所示，該鏈條處于平衡狀態(tài)，但不是質(zhì)點(diǎn)的平衡，可以看做是繞固定軸O的轉(zhuǎn)動平衡．支持力垂直接觸面，必然通過轉(zhuǎn)軸O，因此支持力相對轉(zhuǎn)軸的力矩為0，重力力矩的效果是使鏈條順時針轉(zhuǎn)動，而A點(diǎn)拉力力矩的效果是使鏈條逆時針轉(zhuǎn)動．根據(jù)定軸轉(zhuǎn)動物體的平衡條件（作用在物體上各力對轉(zhuǎn)軸的力矩代數(shù)和等于0）知重力相對轉(zhuǎn)軸的力矩等于拉力TA相對轉(zhuǎn)軸的力矩，故

對均質(zhì)鏈條在光滑圓柱面上平衡這一經(jīng)典力學(xué)問題的分析，在習(xí)題教學(xué)中，有意識地拓展分析的思路與方法，不局限于某一種方法，舉一反三，在教學(xué)中拓展、引申如質(zhì)心運(yùn)動定律和巴普斯定理等重要物理規(guī)律和方法輔助分析，可高效拓展學(xué)生的分析思維，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，優(yōu)化創(chuàng)造性思維品質(zhì)，提高綜合運(yùn)用知識的能力．

2016－10－10）