王一煥,李 杰,劉一鳴,蘭 洋,李文豪

(中北大學(xué)電子測(cè)試技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,太原 030051)

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MEMS加速度計(jì)二階非線性補(bǔ)償方法研究*

王一煥,李 杰*,劉一鳴,蘭 洋,李文豪

(中北大學(xué)電子測(cè)試技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,太原 030051)

微慣性集成測(cè)量組合(MIMU)中的慣性傳感器,陀螺儀和加速度計(jì)的標(biāo)定補(bǔ)償研究大多集中在安裝誤差角補(bǔ)償和一階線性常數(shù)的計(jì)算上,對(duì)二階非線性系數(shù)的測(cè)量、計(jì)算研究的不多不深。通過分析含二次非線性系數(shù)的加速度計(jì)輸出模型,提出一種補(bǔ)償二次非線性系數(shù)的方法,并進(jìn)行了完善的理論分析和試驗(yàn)。最終通過計(jì)算能有效補(bǔ)償MIMU的輸出精度,為后續(xù)的導(dǎo)航信息解算奠定了基礎(chǔ),具有重要的工程應(yīng)用價(jià)值。

MIMU;標(biāo)定;二階非線性系數(shù);誤差補(bǔ)償;

某型高速旋轉(zhuǎn)彈在飛行過程中,軸向旋轉(zhuǎn)角速率極大,角加速度變化極為劇烈。實(shí)現(xiàn)高精度的姿態(tài)測(cè)量對(duì)于彈體的精確打擊具有重要的意義。MEMS慣性系統(tǒng)不向外輻射信息,自主性好,抗過載能力強(qiáng),是旋轉(zhuǎn)彈姿態(tài)測(cè)量的不二之選。

MIMU是慣性導(dǎo)航的核心,是由加速度計(jì)和陀螺儀六維慣性測(cè)量組合器件。其中角加速度計(jì)用于敏感載體三軸的比力,用于更新載體速度和位置,顯然慣性傳感器的輸出精度直接決定了導(dǎo)航解算的精度。即便通過標(biāo)定一階線性標(biāo)度因數(shù),補(bǔ)償安裝誤差角來提高M(jìn)IMU中三軸加速度計(jì)的精度,其輸出與理論值比較,依然存在1 mgn～3 mgn的誤差。本文對(duì)加速度計(jì)輸出中的二階非線性系數(shù)誤差進(jìn)行了詳細(xì)的理論分析,并提出了補(bǔ)償方案,及數(shù)據(jù)處理方案,解決了安裝誤差角對(duì)非線性系數(shù)計(jì)算的不利影響。計(jì)算表明,補(bǔ)償二階非線性系數(shù)能在標(biāo)定的基礎(chǔ)上再次提高三軸加速度計(jì)的輸出精度。

1 加速度計(jì)輸出模型

1.1 含二階非線性系數(shù)的加速度計(jì)輸出模型

加速度計(jì)敏感載體某軸向上的比力并輸出相應(yīng)的電壓。查閱國(guó)軍標(biāo)《JJF 1427-2013微機(jī)電(MEMS)線加速度計(jì)校準(zhǔn)規(guī)范》[1]中的加速度計(jì)靜態(tài)模型方程,并忽略通過標(biāo)定可以補(bǔ)償?shù)母鱾€(gè)耦合項(xiàng)系數(shù)可得:

(1)

三軸加速度計(jì)組合因?yàn)榘惭b誤差角、失準(zhǔn)角的存在,傳感器坐標(biāo)系(a系)是一個(gè)斜坐標(biāo)系和載體坐標(biāo)系(b系)并不重合,通常假定兩坐標(biāo)系原點(diǎn)重合。如圖1所示,加速度計(jì)的實(shí)際位置,如X軸加速度計(jì)實(shí)際位置與b系三軸都存在夾角。

圖1 坐標(biāo)系定義

(2)

綜合式(1)和式(2)寫出包含二次非線性系數(shù)的三軸加速度計(jì)的輸出模型。

(3)

經(jīng)過轉(zhuǎn)臺(tái)標(biāo)定可以得到標(biāo)度因數(shù)矩陣K,且存在如下關(guān)系[3]:

(4)

將式(4)代入式(3)并變形可得:

fb=K-1·(U-U0)-K-1·K2·(fa)(2)

(5)

上式說明了,電壓與最終轉(zhuǎn)換得到的b系比力之間的關(guān)系。同時(shí)根據(jù)標(biāo)度因數(shù)矩陣和安裝誤差角矩陣之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系,單軸標(biāo)度因數(shù)用下式計(jì)算:

式(4)中,同時(shí)存在b系和a系比力。要求解fb,需要先求fa,但在標(biāo)定過程中fa是未知的,所以無法通過直接對(duì)式(5)進(jìn)行函數(shù)擬合得到各項(xiàng)參數(shù)。

1.2 加速度計(jì)輸出特性分析

同時(shí)二次方程總能解出兩個(gè)根,但一個(gè)電壓輸出必然只能對(duì)應(yīng)一個(gè)敏感到的比力值。容易證明方程一定有兩個(gè)實(shí)數(shù)根(因?yàn)棣?0)。根據(jù)二次方程求根公式求出兩根,并解出其二次項(xiàng)趨于零時(shí)的極限:

(6)

將式(6)與不計(jì)二次項(xiàng)時(shí)的比力作對(duì)比,顯然應(yīng)該取a+為二次方程的根。

試驗(yàn)表明MEMS加速度計(jì)的分辨率一般不超過0.1 mgn[4-5]。由于計(jì)算誤差,或者更高次項(xiàng)的影響,二次項(xiàng)矩陣K2不是嚴(yán)格的對(duì)角矩陣,但是非對(duì)角線上的元素非常小,計(jì)算過程中完全可以忽略不計(jì)。

2 非線性系數(shù)的標(biāo)定補(bǔ)償法

2.1 加速度計(jì)標(biāo)定試驗(yàn)誤差建模

本文在進(jìn)行加速度計(jì)標(biāo)定時(shí),選取各個(gè)軸向分別在與水平面夾角為θ1、θ2、θ3…等多個(gè)位置上靜置30 s(本文采用15°、30°、45°…360°等25個(gè)位置上靜置30 s),并進(jìn)行數(shù)據(jù)采集。每個(gè)靜置角度上所測(cè)得的電壓值取平均值作為靜置于該角度下的加速度計(jì)輸出。通過輸出電壓與靜置角度之間的函數(shù)擬合可以算出標(biāo)度因數(shù)矩陣K和三軸的電壓零點(diǎn)。標(biāo)定過程如圖2所示。圖2中箭頭方向代表待標(biāo)定的加速度計(jì)的方向,重量方向豎直向下。

圖2 加速度計(jì)標(biāo)定示意圖

由式(3)可知,二次非線性系數(shù)組成的矩陣K2為對(duì)角陣,所以下面只分析K2對(duì)角線上的元素,假定標(biāo)定過程中j軸加速度計(jì)靜置角度為θ時(shí),忽略二階非線性系數(shù);i軸向上的加速度計(jì)的輸出為[7-8]:

Uij=Kij·sinθ+Cij·cosθ+Ui0

(7)

其中余弦項(xiàng)是安裝誤差角造成的,其系數(shù)也是標(biāo)度因數(shù)矩陣中與Kij同行不同列的元素(或?yàn)槠湎喾磾?shù)),根據(jù)標(biāo)定試驗(yàn)流程的不同Cij的取值也會(huì)有不同。根據(jù)數(shù)學(xué)理論可知[9],重力分量sinθ與電壓之間的關(guān)系為平面上一斜橢圓,且橢圓中心位于(0,Ui0)上。不計(jì)高次分量時(shí),進(jìn)行以式(7)為函數(shù)關(guān)系的θ與Uij的非線性擬合就可以得到標(biāo)度因數(shù)矩陣和電壓零點(diǎn)(下文中稱為一次擬合)。

圖3 標(biāo)度因數(shù)曲線

圖3是標(biāo)定Y軸加速度計(jì)時(shí),X軸加速度計(jì)的輸出電壓值畫出的標(biāo)度因數(shù)曲線,橫坐標(biāo)為重力分量,縱坐標(biāo)為電壓,虛線是進(jìn)行了一次擬合后的理論曲線。

根據(jù)式(6)和式(7)聯(lián)立可以得到不計(jì)非線性系數(shù)時(shí)計(jì)算出的a系比力:

(8)

若計(jì)入二階非線性常數(shù)的影響,那么該軸上的比力將變得非常復(fù)雜。試驗(yàn)表明用式(8)代替a系中的比力時(shí),誤差可以忽略不計(jì),在非線性系數(shù)非常小的情況下,可以忽略不計(jì)。所以以上式代替a系中的比力是在誤差允許范圍內(nèi)的。代入式(6)得:

(9)

式(8)總可以利用輔助角公式整理成如下形式:

其中φ是初相位,容易證明初相位是一個(gè)很小的角度,并不影響后續(xù)的計(jì)算過程。振幅A表征了安裝誤差角對(duì)二次非線性系數(shù)測(cè)量的影響,可以通過測(cè)得的標(biāo)度因數(shù)矩陣計(jì)算。雖然i,j所表示的軸向不同,會(huì)造成A的取值也有所不同,但A的值一般約等于0或1。進(jìn)而式(9)可變形為:

(10)

式(10)表明,忽略二次項(xiàng)進(jìn)行一次擬合之后得到的誤差是一條周期為π的余弦曲線。同時(shí)振幅A可以通過標(biāo)度因數(shù)矩陣計(jì)算得到,所以計(jì)算出的二次項(xiàng)不受安裝誤差角的影響,計(jì)算重復(fù)性好。

2.2 非線性系數(shù)的擬合計(jì)算

為驗(yàn)證二次項(xiàng)系數(shù)補(bǔ)償計(jì)算的重復(fù)性,對(duì)同一MIMU中的X軸加速度計(jì)進(jìn)行兩次相同的標(biāo)定試驗(yàn)。試驗(yàn)1完成后又重新拆卸并安裝了MIMU,再次進(jìn)行了試驗(yàn)2,兩次試驗(yàn)的安裝矩陣一定存在差別。分別對(duì)兩次試驗(yàn)的加速度計(jì)輸出進(jìn)行一次擬合后得出的擬合誤差如圖4所示。

顯然兩次試驗(yàn)卻擬合出了相同的誤差圖像,并且誤差曲線形狀與理論分析得形狀一致。對(duì)一次擬合誤差再次進(jìn)行非線性擬合,擬合的函數(shù)形式為式(8),圖5為擬合結(jié)果。

圖4 標(biāo)度因數(shù)曲線擬合誤差

圖5 二次擬合誤差

將上述擬合稱為二次擬合,擬合得出的系數(shù)如表1所示。

表1 試驗(yàn)1、試驗(yàn)2二次擬合結(jié)果

兩次試驗(yàn)的擬合結(jié)果非常接近,誤差數(shù)量級(jí)僅在10-5V,高于加速度計(jì)分辨率,說明利用標(biāo)定試驗(yàn)數(shù)據(jù)的一次擬合誤差能有效計(jì)算出二階非線性系數(shù),且重復(fù)性較好,基本去除了安裝誤差對(duì)二階非線性系數(shù)計(jì)算的影響。對(duì)理論分析做出了有力的驗(yàn)證。

2.3 非線性系數(shù)的迭代補(bǔ)償

事實(shí)上在標(biāo)定過程中,不明確標(biāo)度因數(shù)矩陣和零點(diǎn)電壓的情況下,fa始終無法通過理論分析計(jì)算出精確的值,所以無法通過直接法一次性地求出K矩陣和零點(diǎn)等參數(shù),故本文采用迭代法減小誤差[10]。

m=0,1,2,…

對(duì)于某一軸向上的加速度計(jì)而言,存在迭代方程組:

Ui(m)=H(m)·X(m+1)

(11)

式中:m是迭代次數(shù),Ui是加速度計(jì)某軸向上輸出電壓組成的矩陣,X是需要擬合的系數(shù),H是轉(zhuǎn)臺(tái)靜置在各個(gè)角度時(shí)的所有軸向的比力及計(jì)算得出的a系比力構(gòu)成的矩陣:

矩陣H中不確定的數(shù)僅為第4列,其他列均為固定常數(shù)。在第m-1次迭代過程中,首先解出矩陣X的值,爾后利用這些參數(shù)與式(27)求出fa(m),即矩陣H的第4列,相當(dāng)于求出了矩陣H(m),求解式(28)便求出了X(m)。利用X(m)又能求出H(m+1)進(jìn)行第m+1次迭代。為保證計(jì)算精度的同時(shí)縮短計(jì)算時(shí)間,本文迭代選擇5次。

在每一次循環(huán)之內(nèi)都需要求解形如式(28)的方程,所以有必要討論該方程的求解方法。顯然該方程為一個(gè)線性超靜定方程組,未知數(shù)個(gè)數(shù)小于方程組個(gè)數(shù),通過多次試驗(yàn)得知,該方程通常不存在唯一解,只能求出最優(yōu)解。本文采用最小二乘法,最優(yōu)化估計(jì)指標(biāo)為偏差的平方和最小[12],如下式所示,理論上這樣的最小二乘解有且僅有一個(gè)。

本文利用MATLAB中的lsqcurvefit函數(shù)進(jìn)行最小二乘法解的計(jì)算,即矩陣X的計(jì)算。

2.4 標(biāo)定試驗(yàn)結(jié)果

通過由3個(gè)量程均為±2gn的model 1221L系列加速度計(jì)集成的MIMU,借助GDL3-WD-ZB三軸位置速率搖擺溫控轉(zhuǎn)臺(tái)對(duì)MIMU進(jìn)行轉(zhuǎn)臺(tái)標(biāo)定試驗(yàn)。采集電路采樣頻率為5 kHz。標(biāo)定完成后,加速度計(jì)輸出與理論輸出之間不可避免的仍然會(huì)存在一定的誤差,通過比較同一個(gè)加速度計(jì)在經(jīng)過一次擬合補(bǔ)償與二次擬合補(bǔ)償之后的輸出與理論值之間的誤差值大小,來說明二次擬合后的精度及有效性。

圖6是標(biāo)定過程時(shí)的現(xiàn)場(chǎng)圖。

圖6 標(biāo)定現(xiàn)場(chǎng)

圖7是進(jìn)行補(bǔ)償之后,三軸加計(jì)實(shí)際輸出與理論重力分量之間的誤差曲線。圖7中實(shí)線是經(jīng)過二次補(bǔ)償之后的標(biāo)定誤差,虛線則是一次擬合補(bǔ)償之后未進(jìn)行二次擬合補(bǔ)償?shù)恼`差曲線。顯然經(jīng)過二次擬合補(bǔ)償后,標(biāo)定誤差下降了一個(gè)數(shù)量級(jí)。

圖8是標(biāo)定過程中,三軸上加速度計(jì)b系比力分別為1 gn時(shí),并且補(bǔ)償二次項(xiàng)之后的加計(jì)輸出,和不進(jìn)行二次項(xiàng)補(bǔ)償時(shí)的結(jié)果對(duì)比。其中粗實(shí)線代表加速度計(jì)理論上敏感到的比力,實(shí)線為經(jīng)過二次擬合補(bǔ)償后的加速度計(jì)輸出,虛線則是經(jīng)過一次擬合補(bǔ)償后的加速度計(jì)輸出。由圖7可以直觀的看出,實(shí)線顯然更加靠近理論值,即經(jīng)過二次項(xiàng)補(bǔ)償之后的加速度計(jì)輸出精度明顯優(yōu)于未進(jìn)行二次非線性系數(shù)補(bǔ)償?shù)慕Y(jié)果。

圖7 標(biāo)定誤差

圖8 加速度計(jì)補(bǔ)償對(duì)比

3 基于線振動(dòng)臺(tái)的非線性系數(shù)的測(cè)量方法

將加速度計(jì)安裝至線振動(dòng)臺(tái)上,線振動(dòng)臺(tái)能給加速度計(jì)一個(gè)正弦激勵(lì)信號(hào)。設(shè)振動(dòng)臺(tái)給出的正弦激勵(lì)振幅為A,頻率為ω,代入式(1),變形可得:

(12)

顯然上式是正弦信號(hào)激勵(lì)下的電壓輸出響應(yīng),其中包含與激勵(lì)信號(hào)同頻率的正弦信號(hào),二倍頻的余弦信號(hào)和二次非線性系數(shù)造成的常值漂移。理論上無論是計(jì)算常值漂移,還是進(jìn)行頻譜分析,都能求出二階非線性系數(shù)。但是二次項(xiàng)造成的常值漂移通常非常小,就加速度計(jì)的分辨率而言,無法有效分離出真實(shí)的二階非線性系數(shù),安裝誤差也會(huì)影響二階系數(shù)的計(jì)算。同時(shí)因?yàn)檎駝?dòng)噪聲等原因,通過頻譜分離出二次項(xiàng)也非常困難。所以實(shí)際測(cè)得的加速度計(jì)二階非線性系數(shù)不如通過轉(zhuǎn)臺(tái)標(biāo)定補(bǔ)償?shù)玫降膮?shù)可靠性高,且需要在轉(zhuǎn)臺(tái)之外借助線振動(dòng)臺(tái)進(jìn)行測(cè)試,重復(fù)性差,標(biāo)定流程繁瑣,成本更加高昂。

圖9 加速度計(jì)振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)輸出

圖9是線振動(dòng)臺(tái)輸入6Hz的正弦波角速率信號(hào)時(shí)的加速度計(jì)的輸出曲線及去除了直流分量的頻譜圖像。圖9(a)中的橫坐標(biāo)為采樣點(diǎn),縱坐標(biāo)為輸出電壓(加速度計(jì)在6Hz正弦波激勵(lì)下的時(shí)域輸出),整體呈現(xiàn)為正弦波形式。圖9(b)是加速度計(jì)經(jīng)過傅里葉變換之后得到的頻譜圖,頻率為0的直流分量不影響后續(xù)分析,為便于分析圖像,已將其縱軸值設(shè)為0。

該加速度計(jì)經(jīng)過多次轉(zhuǎn)臺(tái)試驗(yàn)測(cè)得其二次項(xiàng)均在0.006 5～0.006 6之間。從圖9可以看出二倍頻振幅大小為0.007 341,明顯與轉(zhuǎn)臺(tái)計(jì)算出的結(jié)果存在較大的偏差,利用轉(zhuǎn)臺(tái)計(jì)算得出的二次非線性系數(shù)精度與重復(fù)性明顯高于線振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)計(jì)算得出的結(jié)論。說明二次項(xiàng)的轉(zhuǎn)臺(tái)測(cè)試法優(yōu)于線振動(dòng)臺(tái)測(cè)試法。

4 結(jié)束語

MIMU是慣性導(dǎo)航系統(tǒng)中的核心,其中各慣性傳感器輸出的準(zhǔn)確性直接影響了最終導(dǎo)航解算的精確程度[13-14]。本文對(duì)MIMU中三軸加速度計(jì)含有二次項(xiàng)系數(shù)的輸出模型進(jìn)行了理論分析,根據(jù)理論分析建立了基于轉(zhuǎn)臺(tái)的加速度計(jì)多位置標(biāo)定補(bǔ)償計(jì)算二次項(xiàng)的試驗(yàn)方法,借助MATLAB軟件建立了完整的數(shù)據(jù)處理方法。同時(shí)試驗(yàn)數(shù)據(jù)也與理論分析相符合。根據(jù)該方法與基于線振動(dòng)臺(tái)的測(cè)量計(jì)算方法進(jìn)行的試驗(yàn)對(duì)比,說明了轉(zhuǎn)臺(tái)標(biāo)定補(bǔ)償法具有計(jì)算精度高、重復(fù)性好,且不受安裝誤差角的干擾。具有較強(qiáng)的工程實(shí)用價(jià)值。

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王一煥(1992-),男,漢族,中北大學(xué)碩士研究生,主要研究方向?yàn)镸EMS器件誤差補(bǔ)償及導(dǎo)航算法研究等,wangyihuan1992@163.com;

李 杰(1976-),男,教授,博士生導(dǎo)師,主要研究方向?yàn)槲⑾到y(tǒng)集成理論與技術(shù),慣性感知與控制技術(shù),組合導(dǎo)航理論,計(jì)算幾何與智能信息處理等,Lijie@nuc.edu.cn;

劉一鳴(1992-),男,漢族,中北大學(xué)碩士研究生,主要為MEMS器件誤差補(bǔ)償及導(dǎo)航算法研究等,liu1992326@163.com。

Study on the Method of Quadratic Nonlinearity Compensation of MEMS Accelerometer*

WANGYiyuan,LIJie*,LIUYiming,LANYang,LIWenhao

(1.Science and Technology on Electronic Test,North University of China,Taiyuan 030051,China)

Aiming at the problem that because of fixing error of the 3-axis accelerometer installed in the micro inertial measurement unit(MIMU)will enlarged in harsh cone movement situation,this paper puts forward a calibration-compensation method which is based on multi-position static rotation of the 3-axis position speed turntable.according to the establishment of the angle error compensation model to design the completed experiment process of calibration,and finally,calculating calibration factor matrix and accelerometer’s zero voltage accurately based on the method of nonlinear fitting data processing. according to the calibration experiment and error calculation contrast,this error of calibration method is one order of magnitude smaller than the previous one,improving the output accuracy of the accelerometer effectively,having significant engineering application meaning.

MIMU;calibration;second order linear coefficient;error compensation

項(xiàng)目來源:國(guó)家自然科學(xué)基金(51575500)

2016-07-13 修改日期:2016-11-18

V241.62

A

1004-1699(2017)03-0418-07

C:7230

10.3969/j.issn.1004-1699.2017.03.015