嚴長虹,馬 靜

(1.南京航天航空大學經(jīng)濟管理學院,南京 210016;2.鹽城工學院信息學院,江蘇 鹽城 224000;)

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三維傳感網(wǎng)空間RSS與AOA混合測量的精確定位方法*

嚴長虹1,2*,馬 靜1

(1.南京航天航空大學經(jīng)濟管理學院,南京 210016;2.鹽城工學院信息學院,江蘇 鹽城 224000;)

由于位置坐標參數(shù)的增加,三維傳感網(wǎng)空間的定位難度較二維平面有所增大。單一的依靠接收信號強度(RSS)確定節(jié)點位置坐標的方法將使定位的不確定性增加,定位誤差也較大。新型的陣列與智能天線的出現(xiàn)為節(jié)點間的到達角度(AOA)測量提供了方便,為此本文提出了一種三維傳感網(wǎng)空間RSS與AOA混合測量的精確定位方法。將采用混合測量建立的非線性優(yōu)化模型轉(zhuǎn)化為線性方程,分別提出了節(jié)點位置坐標估計的非約束線性最小二乘(ULLS)及約束線性最小二乘(CLLS)方法。仿真測試了所設(shè)計算法的有效性,分析了不同測量噪聲對位置坐標估計誤差的影響。仿真表明所設(shè)計的ULLS和CLLS方法的計算速度快,相比于ULLS方法,采用約束后的CLLS方法的定位誤差更小。在較小測量噪聲范圍內(nèi),ULLS和CLLS估計方法具有較高的穩(wěn)定性和定位精度。

傳感網(wǎng);定位;接收信號強度;到達角度;線性最小二乘

無線傳感器網(wǎng)絡(luò)(簡稱傳感網(wǎng))近來已被大量應(yīng)用于各種各樣的環(huán)境監(jiān)測場所,其中傳感網(wǎng)的定位技術(shù)已成為其應(yīng)用推廣的關(guān)鍵因素[1-2]。傳統(tǒng)的GPS系統(tǒng)由于能耗與價格高、體積大等眾多缺陷難以適用于傳感網(wǎng)定位。為適應(yīng)傳感網(wǎng)定位低成本的要求,更多的定位方法關(guān)注于傳感網(wǎng)的節(jié)點射頻(RF)與無線通信功能。利用節(jié)點間的無線射頻通信特點,開發(fā)性能優(yōu)越的節(jié)點定位技術(shù)已成為傳感網(wǎng)定位內(nèi)容的研究熱點。

建立于節(jié)點間的射頻通信功能基礎(chǔ)上,已有大量的研究關(guān)注于如何開發(fā)有效的傳感網(wǎng)定位技術(shù)。通常來說,在傳感網(wǎng)定位技術(shù)中,為估計未知位置坐標的節(jié)點(未知節(jié)點),需要采用一定數(shù)量已知位置坐標的信標節(jié)點建立節(jié)點間的距離約束關(guān)系。常用的測距技術(shù)到達時間(TOA)[3-4]、到達時間差(TDOA)[5]、到達角度(AOA)[6]與信號接收強度(RSS)[7-8]等。為充分利用上述各種測距方法各自的優(yōu)缺點,混合定位技術(shù)也是近來的研究熱點[9]。

通過建立的節(jié)點間距離約束優(yōu)化模型,已有大量關(guān)于傳感網(wǎng)的定位算法,如極大似然(ML)估計[10]、線性代數(shù)法[11]及凸優(yōu)化等實現(xiàn)方法。ML估計方法的數(shù)值計算方法依賴于初始解的選擇,若初始解選擇不合適,有可能陷入局部最優(yōu),為此提出了線性代數(shù)法及凸優(yōu)化方法。凸優(yōu)化方法(常見方法包括半正定(SDP)[12-13]和二階錐規(guī)劃(SOCP)[14])將優(yōu)化模型松弛為凸優(yōu)化問題,是當前傳感網(wǎng)定位方法中比較流行的一種方法。凸優(yōu)化方法進行了松弛,導(dǎo)致了定位結(jié)果非最優(yōu),并且凸優(yōu)化函數(shù)具有較多的變量和等式約束,計算復(fù)雜度較高。為降低計算復(fù)雜度,線性代數(shù)法將計算結(jié)果直接表示為代數(shù)解,計算過程較快。

由于未知參數(shù)較多,三維空間較二維平面的傳感網(wǎng)定位難度有所增加。在三維空間上,若采用單一的測距方法,所需要的信標節(jié)點數(shù)量也比二維平面多,定位結(jié)果的不確定性也較大。節(jié)點間以無線射頻方式進行相互通信,信號接收強度RSS值隨傳輸路徑的延長而衰減。在無線傳感器網(wǎng)絡(luò)領(lǐng)域,接受信號強度(RSS)距離測量具有較高性價比,并且RSS定位方法無需額外硬件,實現(xiàn)簡單,具備低功耗、低成本等特點。電子羅盤或者視覺傳感器為節(jié)點間的AOA提供了可能,但需要額外的硬件配置,增加了節(jié)點的硬件成本。隨著新型陣列技術(shù)和智能天線的不斷發(fā)展,節(jié)點間的AOA測量成本在不斷降低,這為節(jié)點間的AOA測量提供了廣闊的空間。因此,通過節(jié)點間的RSS和AOA混合測量實現(xiàn)三維傳感網(wǎng)節(jié)點定位,具有較高的應(yīng)用前景[15]。

基于節(jié)點間的RSS和AOA混合測量技術(shù),本文提出了三維傳感網(wǎng)空間的節(jié)點位置坐標精確估計方法。將RSS與AOA混合測量的優(yōu)化模型轉(zhuǎn)化為線性方程,推導(dǎo)了節(jié)點位置坐標估計的非約束線性最小二乘(ULLS)和約束線性最小二乘(CLLS)方法,并與模型的克拉美羅(CRLB)下界值進行了比較。設(shè)計的混合測量方法實現(xiàn)三維傳感網(wǎng)空間定位所依賴的信標節(jié)點數(shù)量少,定位精度高。本文第1部分首先介紹了RSS與AOA混合定位的問題描述;第2部分推導(dǎo)了ULLS和CLLS的計算方法;第3部分推導(dǎo)了模型的克拉美羅(CRLB)下界值;第4部分為仿真與分析;最后部分為結(jié)論。

1 問題描述

考慮在三維空間上分布著N個已知位置坐標的信標節(jié)點,其坐標位置分別為ai=[aixaiyaiz]T,(i=1,2,…,N)。同時在該空間區(qū)域內(nèi)存在待定位的未知節(jié)點,其位置坐標表示為x=[xxxyxz]T。將未知節(jié)點與信標節(jié)點i間的RSS測量值表示為pi,根據(jù)RSS測距的對數(shù)衰減模型,有以下關(guān)系式

pi=p0-10βlgdi+εii=1,2,…,N

(1)

在三維平面上,未知節(jié)點的位置坐標參數(shù)包括x、y、z 3個方向。僅僅依靠與各信標節(jié)點RSS測量獲取未知節(jié)點位置坐標的方法,定位結(jié)果有可能不可靠。并且RSS測量噪聲較大,定位結(jié)果的不確定性也隨之增加。為減少定位誤差和保證三維空間下定位結(jié)果的可靠性,未知節(jié)點同時也測量與各信標節(jié)點間的方向角和仰角,如圖1所示。

圖1 未知節(jié)點與信標節(jié)點間的AOA測量示意圖

假設(shè)未知節(jié)點與信標節(jié)點i間的方向角及仰角分別為φi及αi,i=1,2,…,N。根據(jù)節(jié)點間的地理位置關(guān)系,方向角φi及仰角αi有以下關(guān)系式,

(2)

(3)

為估計未知節(jié)點位置坐標x,以RSS及AOA混合測量為已知值,極大似然(ML)估計通過極大化下列表達式

(4)

式(4)建立的優(yōu)化函數(shù)為非線性方程,其數(shù)值計算方法依賴于初始解的選擇。若初始解選擇的不合適,將有可能陷入局部最優(yōu),使得定位結(jié)果發(fā)生嚴重偏差,為此本文將非線性優(yōu)化方程轉(zhuǎn)化為線性方程,采用兩步計算方法精確計算未知節(jié)點位置坐標。

2 線性最小二乘估計法

考慮在較小噪條件下,對測量方程進行近似線性化處理,將式(4)所描述的非線性優(yōu)化模型轉(zhuǎn)化為線性方程,所設(shè)計的計算方法分成兩步:非約束線性最小二乘法ULLS(Unconstrained Linear Least Square)及約束線性最小二乘法CLLS(Constrained Linear Least Square)。

2.1 非約束線性最小二乘法

對式(1)進行移位變換,則其可以改寫為

(5)

式中:i=1,2,…,N。考慮在較小噪聲范圍內(nèi),對式(5)右邊采用泰勒級數(shù)展開,忽略高階項,將式(5)變換為

(6)

(7)

由于di=‖x-ai‖,對式(7)展開,有表達式

(8)

式(8)表示了轉(zhuǎn)化后的RSS測量方程,i=1,2,…,N。令z=[xTxTx]T,可將式(8)寫成線性矩陣形式

A1z=b1+η1

(9)

對方向角測量方程進行轉(zhuǎn)化,即對式(2)進行變換,有表達式

(10)

對式(10)右邊采用泰勒級數(shù)展開,忽略高階項,有表達式

-sinφixx+cosφixy=-sinφiaix+cosφiaiy+

(11)

式(11)表示了轉(zhuǎn)化后的方向角方程,i=1,2,…,N。

同樣地可將式(11)寫成線性矩陣形式

A2z=b2+η2

(12)

同樣對仰角測量方程(3)進行變換,有表達式

dicos(αi-ni)=aiz-xz

(13)

將式(6)代入式(13),并采用泰勒級數(shù)展開,忽略高階項,有表達式

(14)

式(11)表示了轉(zhuǎn)化后的仰角方程,i=1,2,…,N。

同樣地可將式(14)寫成線性矩陣形式

A3z=b3+η3

(15)

聯(lián)合RSS方程(9)、方向角方程(12)及仰角方程(15),建立統(tǒng)一的矩陣形式

Az=b+η

(16)

根據(jù)線性最小二乘平方原理,參數(shù)z的估計值為

(17)

式(17)中維度為3N×3N的矩陣Σ為權(quán)重矩陣,其值為Ση=E(ηTη),其值進一步表示為

(18)

(19)

假設(shè)參數(shù)z的估計誤差為Δz,其值為

Δz=(ATΣ-1A)-1ATΣ-1η

(20)

則估計誤差Δz的方差為

(21)

從參數(shù)z提取出z(1:3)即為被定位未知節(jié)點的位置坐標。上述求解過程并未考慮z=[xTxTx]T中最后元素與前3個元素值間的相互約束關(guān)系,因此把該計算方法稱為RSS與AOA混合定位問題的非約束線性最小二乘(ULLS)方法。式(17)得到了被定位未知節(jié)點坐標的近似估計值,可利用向量z=[xTxTx]T元素間的相互約束關(guān)系計算未知節(jié)點位置坐標精確值。

2.2 約束線性最小二乘法

(22)

式中:z(k)、Δz(k)表示了向量z、Δz的第k個元素,k=1,2,3,4。將式(22)表示為線性矩陣形式

Guo=h+γ

(23)

根據(jù)線性最小二乘平方原理,向量uo的無偏估計為

(24)

式中:維度為4×4的權(quán)重矩陣Σγ值為

(25)

(26)

將以式(26)表示的計算過程考慮了參數(shù)z中元素間的相互約束關(guān)系,得到了精確的定位結(jié)果,將此計算方法稱為RSS和AOA混合定位問題的約束線性最小二乘(CLLS)方法。

3 模型的克拉美羅下界(CRLB)

CRLB下界值為模型待估參數(shù)的無偏估計提供了誤差方差的下界,設(shè)未知節(jié)點位置坐標參數(shù)x的估計誤差方差為cov(x),則根據(jù)克拉美羅下界理論,有關(guān)系式cov(x)≥F-1,里F為待估位置坐標參數(shù)x的FIM(Fisher Information Matrix)的表示,矩陣F表示為

(27)

p表示了模型的測量參數(shù),包括RSS、方向角和仰角,lnP(p|x)為概率密度函數(shù),可以表示為

(28)

對式(28)兩邊取對數(shù)并定義向量rp、rφ及rα,rp=[r1pr2p…rNp]T,rφ=[r1φr2φ…rNφ]T,rα=[r1αr2α…rNα]T,有如下表達式

(29)

(30)

(31)

(32)

則根據(jù)CRLB無偏估計下界理論有

CRLB([x]r)=[F-1]r,rr=1,2,3

(33)

式中:[F-1]r,r表示F的逆矩陣的第r行、第r列元素值;CRLB([x]r)表示向量x的第r行元素的CRLB無偏估計下界。

4 仿真分析

4.1 噪聲對定位誤差的影響

仿真首先測試了上述ULLS、CLLS計算方法下的RMSE定位誤差,并與文獻[13]所介紹的SDP方法進行了比較。保持方向角噪聲δm及仰角噪聲δn都等于1度,同時調(diào)整RSS測量噪聲δε從0.2 dB到2 dB之間變化,圖2(a)繪出了不同算法下的RMSE定位誤差隨RSS測量噪聲變化關(guān)系。由圖2(a)可見,隨著RSS測量噪聲的增大,RMSE定位誤差也隨之增大。當RSS測量噪聲等于0.2 dB時,所設(shè)計ULLS方法的RMSE定位誤差為1.0 m,而CLLS方法的RMSE定位誤差僅為0.67 m。相比于ULLS方法,采用約束后的CLLS方法的定位誤差有較大減少,更加接近于定位結(jié)果的CRLB下界值。相比于SDP方法,ULLS方法的定位誤差較大,而CLLS方法的定位誤差較SDP方法小。當RSS測量噪聲δε等于0.2 dB時,SDP方法的RMSE定位誤差為0.86 m,該值介于ULLS和CLLS方法的定位誤差之間。

仿真同時測試了方向角測量噪聲對定位誤差的影響,保持RSS測量噪聲δε等于0.2 dB及仰角噪聲δn等于1度,圖2(b)繪出了不同算法下的定位誤差隨方向角噪聲變化關(guān)系。由圖2(b)可見,隨著方向角噪聲δm的增加,RMSE定位誤差也隨之增大。當方向角噪聲等于0.5°時,ULLS、SDP及CLLS的定位誤差相差不大。但當方向角噪聲增加到5°時,ULLS方法的定位誤差達到了4.0 m,而SDP方法的定位誤差到了2.7 m,CLLS方法的定位誤差僅為1.3 m。與圖2(a)同樣的分析結(jié)果發(fā)現(xiàn),采用約束CLLS方法的定位誤差比ULLS及SDP方法的定位誤差更小。

同樣地保持RSS測量噪聲δε等于0.2 dB及方向角噪聲δm等于1°,圖2(c)繪出了不同算法下的定位誤差隨仰角測量噪聲變化關(guān)系。相比于方向角測量噪聲對定位誤差的影響,仰角對定位誤差的變化較為平緩。由圖2(b)可見,當仰角測量噪聲從0.5°增大到5°時,ULLS方法的定位誤差從0.75 m增大到了1.42 m,而CLLS方法的定位誤差從0.45 m增大到了0.96 m,CLLS方法的定位誤差比ULLS方法的定位誤差更接近于CRLB下界值。

圖2 測量噪聲對定位誤差的影響

4.2 路徑衰減指數(shù)的影響

設(shè)置測量噪聲δε等于0.2dB、方向角噪聲δm及仰角噪聲δn都等于1°,調(diào)節(jié)路徑衰減指數(shù)β值從典型值2～5之間變化,圖3繪出了路徑衰減指數(shù)對定位誤差的影響。隨著路徑衰減指數(shù)β的增大,定位誤差逐漸減少。當路徑衰減指數(shù)β等于2時,ULLS、SDP及CLLS的定位誤差分別為1.32m、1.15m及1.09m;而當路徑衰減指數(shù)β增加到5時,ULLS、SDP及CLLS的定位誤差分別減少到0.89m、0.71m及0.55m。

圖3 路徑衰減指數(shù)對定位誤差的影響

5 結(jié)論

通過未知節(jié)點與信標節(jié)點間的RSS與AOA混合測量,本文提出了一種三維傳感網(wǎng)空間未知節(jié)點位置坐標的精確估計方法。將非線性優(yōu)化模型轉(zhuǎn)化為線性方程,得到了未知節(jié)點位置坐標的線性ULLS解法。并對ULLS解法下的定位結(jié)果優(yōu)化為精確的CLLS結(jié)果,保證了定位精度。設(shè)計的混合測量定位方法所依賴的信標節(jié)點數(shù)量少,定位精度與可靠性都較高。與文獻所介紹的SDP方法相比較,所設(shè)計的ULLS、CLLS線性估計方法計算復(fù)雜度低,運算速度快。相比于SDP方法,約束后的CLLS方法的定位誤差更小,更加接近于定位結(jié)果的CRLB下界值。但仿真分析也發(fā)現(xiàn),本文所提出的ULLS及CLLS亦有一定的局限性,尤其是當測量噪聲較大時,有可能導(dǎo)致測量矩陣A奇異,無法準確定位未知節(jié)點。

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嚴長虹(1980-),講師,在讀博士,主要研究方向為無線傳感器網(wǎng)絡(luò)、信號分析與處理、網(wǎng)絡(luò)安全等,在國內(nèi)外重要會議及期刊上發(fā)表論文十多篇;

馬 靜(1966-),教授,博士生導(dǎo)師,主要研究領(lǐng)域包括信息企業(yè)化、知識管理與知識管理系統(tǒng)、電子商務(wù)、國防科技情報、復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)與網(wǎng)絡(luò)輿情、大數(shù)據(jù)分析等。

Precise Positioning Method with Hybrid RSS and AOA Measurements in 3-D WSN Space*

ChanghongYan1,2*,JingMa1

(1.College of Economics and Management,Nanjing University of Aeronautics and Astronautics,Nanjing 210016,China;2.School of Information Engineering,Yancheng Institute of Technology,Yancheng Jiangsu 224000,China)

It is more difficult for the 3-D WSN space localization compared with 2-D plane due to the addition of the position coordinate parameters. The method to locate a sensor node will make the increasing of positioning uncertainty by the single received signal strength(RSS),and the position error is also big. The emergence of new array and smart antenna provides the convenience of the arrival of angle(AOA)measurements,so a precise positioning method is proposed by using the hybrid RSS and AOA measurements in 3-D WSN space. The built nonlinear optimization model using the hybrid measurements is converted into the linear equations,then the unconstrained linear least squares(ULLS)and constrained linear least squares(CLLS)methods are put forward for the estimation of the node position coordinates. The simulations show that the ULLS and CLLS run fast and the positioning error of CLLS is less than that of ULLS due to the constraint condition. In a small range of measurement noise,the estimation methods of ULLS and CLLS have high stability and positioning accuracy.

wireless sensor networks;localization;received signal strength;arrival of angle;linear least squares

項目來源:國家自然科學基金項目(71373123);江蘇高校哲學社會科學研究重點項目(2015ZDIXM007);南京航空航天大學基本科研業(yè)務(wù)費重大項目(NP201630X)

2016-08-17 修改日期:2016-11-19

TP393.0

A

1004-1699(2017)03-0450-06

C:6150;7110;5210

10.3969/j.issn.1004-1699.2017.03.019