寧 銳，張 紅

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數(shù)學(xué)史對(duì)民族數(shù)學(xué)及其教育發(fā)展的啟示

寧 銳1，2，張 紅2

（1．華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，上海 200241；2．四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院，四川成都 610066）

民族數(shù)學(xué)的多元文化背景與學(xué)校數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)化之間存在固有的矛盾，這種矛盾造成了民族數(shù)學(xué)及其教育中的一些現(xiàn)實(shí)困境．首先對(duì)民族數(shù)學(xué)與民族數(shù)學(xué)教育兩個(gè)概念的涵義進(jìn)行了辨析，然后基于歷史相似性的視角分析了造成民族數(shù)學(xué)及其教育困境的現(xiàn)實(shí)背景和根源，分析了早期數(shù)學(xué)發(fā)展的經(jīng)驗(yàn)性以及數(shù)學(xué)發(fā)展3個(gè)層面的超越性，并以古埃及數(shù)學(xué)發(fā)展為例討論了數(shù)學(xué)發(fā)展在超越性方面的一些局限，最后提出了民族數(shù)學(xué)及其教育在3個(gè)超越性層面上發(fā)展的要求和路徑．

民族數(shù)學(xué)（民俗數(shù)學(xué)）；民族數(shù)學(xué)教育；民族文化；數(shù)學(xué)史；超越性

“民族數(shù)學(xué)”是20世紀(jì)80年代數(shù)學(xué)教育界興起的新興研究課題．1984年在第五屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（ICME-5）上，出現(xiàn)了“民族數(shù)學(xué)”這個(gè)新詞匯，英文原文是Ethnomathe- matics，1985年4月，“民俗數(shù)學(xué)國(guó)際研究小組”正式成立[1]．中國(guó)是多民族國(guó)家，民族數(shù)學(xué)及其教育的研究顯得尤為重要．自21世紀(jì)以來(lái)，中國(guó)對(duì)該課題的相關(guān)研究呈上升趨勢(shì)[2]，研究課題的范圍也比較廣泛，如：從跨文化的角度對(duì)不同民族學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)進(jìn)行比較研究[3~4]，專門針對(duì)少數(shù)民族學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的調(diào)查分析[5]，較多研究是從民族文化的角度來(lái)探討對(duì)民族數(shù)學(xué)教育的課程、教學(xué)和學(xué)習(xí)的影響[6~8]，等等．這些研究反映了一個(gè)基本事實(shí)，那就是不同民族學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)存在較大的差異，這些差異背后的原因各異，解決的方法也就多種多樣．從目前的研究主題來(lái)看，較少?gòu)臄?shù)學(xué)自身發(fā)展的角度來(lái)分析對(duì)民族數(shù)學(xué)教育的影響．這里試圖從這一角度展開分析，指出民族數(shù)學(xué)教育存在的一些現(xiàn)實(shí)困境及其根源，并提出一些民族數(shù)學(xué)及其教育發(fā)展的一些思路．

1 民族數(shù)學(xué)與民族數(shù)學(xué)教育的涵義及關(guān)系

“民族數(shù)學(xué)”（對(duì)民族數(shù)學(xué)與民族數(shù)學(xué)教育這兩個(gè)概念的區(qū)分是基于香港大學(xué)梁貫成教授在學(xué)術(shù)報(bào)告中的分法）更一般的意義是“民俗數(shù)學(xué)”，基本含義是特定文化系統(tǒng)和具有特定生活背景的人群所產(chǎn)生和擁有的數(shù)學(xué)表現(xiàn)形式，包括3個(gè)方面的內(nèi)容：相對(duì)于希臘傳統(tǒng)意義下西方數(shù)學(xué)的非西方數(shù)學(xué)，比如中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)；相對(duì)于主流文化數(shù)學(xué)的本土數(shù)學(xué)，比如西藏天文學(xué)中的數(shù)學(xué)；相對(duì)于學(xué)校標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)的通俗數(shù)學(xué)，比如菜販的數(shù)學(xué)知識(shí)．“民族數(shù)學(xué)”是指中國(guó)多元民族背景下少數(shù)民族文化背景中的“民俗數(shù)學(xué)”，既指少數(shù)民族文化中的“民族數(shù)學(xué)”，又包括他們的“本土數(shù)學(xué)”和“通俗數(shù)學(xué)”．“民族數(shù)學(xué)教育”有兩層含義：一是“民族數(shù)學(xué)”的教育；二是民族的“數(shù)學(xué)教育”．前者突出了“民族數(shù)學(xué)”作為一種特殊的數(shù)學(xué)形態(tài)，后者突出的是相對(duì)于主流地區(qū)或文化下的少數(shù)民族在一般意義上的數(shù)學(xué)教育．這里的民族數(shù)學(xué)教育的意義主旨是后者，但是這又是基于民族數(shù)學(xué)發(fā)展起來(lái)的數(shù)學(xué)教育，因而民族數(shù)學(xué)的教育也就成為其重要目標(biāo)．

因此，“民族數(shù)學(xué)”與“民族數(shù)學(xué)教育”相互影響又相互交織．“民族數(shù)學(xué)”因其融合于獨(dú)特的民族文化而廣泛影響著少數(shù)民族的生產(chǎn)實(shí)踐，也必然滲透在民族的“數(shù)學(xué)教育”中，并且在一定程度上成為其中的一個(gè)部分．同時(shí)，由于文化影響的深刻性，“民族數(shù)學(xué)”也在一定程度上影響著它的數(shù)學(xué)教育的方式和路徑．但是，另一方面，民族的“數(shù)學(xué)教育”由于受到主流數(shù)學(xué)的強(qiáng)勢(shì)影響，人們?cè)诿褡宓摹皵?shù)學(xué)教育”中所見的數(shù)學(xué)主要是主流數(shù)學(xué)，加之“民族數(shù)學(xué)”在民族文化的潛在性，因此“民族數(shù)學(xué)”很容易式微而在數(shù)學(xué)教育實(shí)踐中看不到蹤影．這實(shí)際上造成了一種矛盾的現(xiàn)實(shí)，一方面希望“民族數(shù)學(xué)”得以發(fā)展，以保持?jǐn)?shù)學(xué)形態(tài)的多元性和豐富性，并對(duì)民族的“數(shù)學(xué)教育”產(chǎn)生積極的影響，另一方面實(shí)際所見的是“民族數(shù)學(xué)”越來(lái)越向歷史的幕后褪去，成為真正的歷史．怎樣解決這個(gè)矛盾呢？研究者把視角投向數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史，在歷史宏大的視角中尋求這一矛盾的解決之道．

2 民族數(shù)學(xué)及其教育的困境與根源

在民族數(shù)學(xué)教育的研究中，人們常常從社會(huì)文化學(xué)的角度，強(qiáng)調(diào)了民族文化傳統(tǒng)和背景對(duì)“民族數(shù)學(xué)”的制約作用，突出“民族數(shù)學(xué)”作為一種文化形態(tài)的獨(dú)特性．正如懷爾德所說(shuō)：“數(shù)學(xué)是一種文化，各個(gè)不同的文化體系會(huì)產(chǎn)生不同的數(shù)學(xué)．”[1]著名的民族數(shù)學(xué)活動(dòng)家巴西圣保羅大學(xué)數(shù)學(xué)教授達(dá)布羅西奧（D’ambrosio）進(jìn)一步把“民族數(shù)學(xué)”解釋為，“人們?yōu)榱松?，去解釋、理解、超越和處理現(xiàn)實(shí)中數(shù)和形的一種活動(dòng)．這種活動(dòng)是隨著社會(huì)的發(fā)展而變化著的．”[1]因此，“民族數(shù)學(xué)教育”就應(yīng)該強(qiáng)調(diào)“從學(xué)生的傳統(tǒng)觀念、文化意識(shí)、社會(huì)背景出發(fā)，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)活動(dòng)、日常生活、社會(huì)實(shí)踐中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)”[1]．可見，突出民族數(shù)學(xué)或者民族文化傳統(tǒng)對(duì)民族數(shù)學(xué)教育的影響與作用，無(wú)疑是學(xué)者們的共識(shí)．

但是，在今天民族數(shù)學(xué)教育的現(xiàn)實(shí)中，常常突顯出一種矛盾困境：一方面，作為少數(shù)民族文化背景的學(xué)生，他們有著獨(dú)特的文化傳統(tǒng)和民族生活方式，這種多元的民族文化背景可能為學(xué)生提供非標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)知識(shí)或者與主流數(shù)學(xué)完全不一樣的認(rèn)知方式．另一方面，學(xué)生在學(xué)校里可能學(xué)習(xí)統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)．這種標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)，就全世界范圍來(lái)說(shuō)，更多是指今天在古希臘傳統(tǒng)意義下的西方數(shù)學(xué)．“民族數(shù)學(xué)”與標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)之間的差異造成了這種矛盾的困境，也是很多民族數(shù)學(xué)教育中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難的原因之一．因此，面臨這種困境時(shí)，人們很自然可以提出這樣的問(wèn)題“為什么處于不同文化環(huán)境的孩子，要學(xué)習(xí)統(tǒng)一的數(shù)學(xué)呢？”

為了解決這種困境，民族數(shù)學(xué)教育常常簡(jiǎn)單化為“民族化的數(shù)學(xué)教育”，即特別強(qiáng)調(diào)標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)向“民族數(shù)學(xué)”還原．然而，由于各個(gè)“民族數(shù)學(xué)”相對(duì)主流的學(xué)校標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)之間的不同層次的差異，在將標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)向“民族數(shù)學(xué)”的還原過(guò)程中，很容易遇到很多現(xiàn)實(shí)的困難，比如“（在苗族、侗族的母語(yǔ)中）很多簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)概念很難（甚至不能）用民族語(yǔ)言準(zhǔn)確地加以表達(dá)”[7]，有些漢語(yǔ)數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)翻譯成少數(shù)民族語(yǔ)言而失去了原有內(nèi)含的數(shù)學(xué)涵義（如“正方體”翻譯成維吾爾族語(yǔ)后只是一個(gè)抽象的數(shù)學(xué)符號(hào)而已[9]）．很顯然，“還原”不是根本的解決之道．如果不辯證地看文化背景和數(shù)學(xué)發(fā)展的關(guān)系，就盲目地排斥“標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)”，這樣的結(jié)果常常就將民族數(shù)學(xué)教育置于比較狹隘的境地，而“民族數(shù)學(xué)”也不能得到發(fā)展．

事實(shí)上，上述矛盾就數(shù)學(xué)本身發(fā)展來(lái)說(shuō)，也是存在的．?dāng)?shù)學(xué)一方面具有統(tǒng)一性，另一方面又具有文化背景的多元性．從柏拉圖開始，數(shù)學(xué)家們就在追求超越現(xiàn)實(shí)與經(jīng)驗(yàn)的數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性，數(shù)學(xué)被作為理念世界里的對(duì)象．即使當(dāng)代數(shù)學(xué)面臨被越來(lái)越多的分支所分解的時(shí)候，大數(shù)學(xué)家希爾伯特在他那著名演講——《數(shù)學(xué)問(wèn)題》中仍然強(qiáng)調(diào)“數(shù)學(xué)科學(xué)是一個(gè)不可分割的整體，它的生命力正是在于各個(gè)部分之間的聯(lián)系”[10]．?dāng)?shù)學(xué)的這種統(tǒng)一性，是人們理解數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)．今天的數(shù)學(xué)家們似乎理解著同樣的數(shù)學(xué)，甚至用同樣的數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表達(dá)數(shù)學(xué)．語(yǔ)言是思維的載體，因此在一定程度上甚至可以說(shuō)，今天的數(shù)學(xué)家是以同樣的思維方式在思考數(shù)學(xué)、發(fā)展數(shù)學(xué)．但是，數(shù)學(xué)的發(fā)展又是根植于多元化的文化背景，數(shù)學(xué)中有著多元的文化基因．這一點(diǎn)至少可以基于以下兩個(gè)方面的事實(shí)：第一，數(shù)學(xué)是在不同的文化系統(tǒng)中發(fā)展起來(lái)的，在漫長(zhǎng)的發(fā)展歷史中，不同的文化傳統(tǒng)仍然深深融于當(dāng)代數(shù)學(xué)，比如即使今天數(shù)學(xué)被人們普遍認(rèn)為是希臘傳統(tǒng)意義下的數(shù)學(xué)，然而中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的算法精神仍然深深影響現(xiàn)代數(shù)學(xué)．吳文俊先生的“機(jī)器證明”就是中國(guó)傳統(tǒng)的算法精神在當(dāng)代數(shù)學(xué)發(fā)展中成功的典范．第二，今日社會(huì)數(shù)學(xué)家們?nèi)匀惶幵诓煌奈幕瘋鹘y(tǒng)中，他們理解數(shù)學(xué)的方式和思維方式常常與自己的文化傳統(tǒng)密切聯(lián)系．

今天所討論的民族數(shù)學(xué)教育中的矛盾，大概可以看成是數(shù)學(xué)統(tǒng)一性與其生存和發(fā)展的文化背景的多元性之間的矛盾投射到數(shù)學(xué)教育中的情形．因此，在研究民族數(shù)學(xué)教育時(shí)，不僅要注意到民族數(shù)學(xué)教育向“民族數(shù)學(xué)”還原的經(jīng)驗(yàn)性一面，從而奠定民族數(shù)學(xué)的根基，但另一面也要注意“民族數(shù)學(xué)”與“標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)”之間的互動(dòng)，從而實(shí)現(xiàn)民族數(shù)學(xué)及其教育的超越．對(duì)于前一點(diǎn)，似乎已經(jīng)成為“民族數(shù)學(xué)”及其教育研究的主要特點(diǎn)與趨勢(shì)，正如文[11]中總結(jié)了民族數(shù)學(xué)研究的特點(diǎn)和趨勢(shì)：強(qiáng)調(diào)“民族數(shù)學(xué)”的田野研究；課堂教學(xué)中“民族數(shù)學(xué)”的運(yùn)用突出教學(xué)內(nèi)容的現(xiàn)實(shí)化、生活化，縮小與學(xué)生的生活之間的差距；在教師培訓(xùn)中也要突出“民族數(shù)學(xué)”的應(yīng)用．而對(duì)于后一點(diǎn)，似乎人們較少關(guān)注到，而這里則從數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史角度來(lái)尋求對(duì)民族數(shù)學(xué)超越性方面的啟示．

3 數(shù)學(xué)歷史發(fā)展的經(jīng)驗(yàn)性及其超越性

回溯數(shù)學(xué)早期發(fā)展的廣闊歷史，可以看到數(shù)學(xué)最早從人們生產(chǎn)、生活以及文化中發(fā)展的線索，比如：狩獵中產(chǎn)生數(shù)量，結(jié)繩記事中產(chǎn)生了數(shù)，宗教圖騰崇拜中產(chǎn)生了各種圖形的建構(gòu)，從測(cè)量中產(chǎn)生了早期的計(jì)量數(shù)學(xué)，以及器皿制作、建筑、繪畫裝飾等都可以看到數(shù)學(xué)元素的產(chǎn)生．這些數(shù)學(xué)的原始形成與今天“民俗數(shù)學(xué)”研究中所考察的一些少數(shù)民族藝術(shù)品中所蘊(yùn)含的“數(shù)學(xué)”知識(shí)一樣，具有不同地區(qū)的、濃厚的本土文化和生活藝術(shù)化的特點(diǎn)，比如：非洲一些民族的門板、座椅、面具中所展現(xiàn)出的通過(guò)幾何變換所揭示出的圖形[12]；中國(guó)苗族、侗族等少數(shù)民族的服飾、鼓樓、建筑等以及生活、生產(chǎn)實(shí)踐中蘊(yùn)含著大量的數(shù)學(xué)知識(shí)[7]，等等．可見，民族數(shù)學(xué)及其教育的研究突出了民族數(shù)學(xué)與少數(shù)民族獨(dú)特的生產(chǎn)實(shí)踐文化的聯(lián)系，具有突出的實(shí)踐性和經(jīng)驗(yàn)性，這與人類數(shù)學(xué)早期發(fā)展具有很多的相似之處．因此，民族數(shù)學(xué)的產(chǎn)生與主流數(shù)學(xué)的源頭是有共性的，那么其發(fā)展的特點(diǎn)和路徑也應(yīng)該有相似或啟發(fā)借鑒之處．

為此，這里聚焦對(duì)“河谷文明（主要是指興起于埃及、美索不達(dá)米亞、中國(guó)和印度等地域的古代文明）”中數(shù)學(xué)早期發(fā)展的歷史的分析．?dāng)?shù)學(xué)首先沿著河谷地區(qū)基于農(nóng)業(yè)文明而發(fā)展起來(lái)的，是與生成實(shí)踐緊密結(jié)合的數(shù)學(xué)早期發(fā)展的形態(tài)．河谷文明不同地區(qū)的數(shù)學(xué)發(fā)展具有較大的共同性．這里以埃及為例分析河谷文明中數(shù)學(xué)發(fā)展的特點(diǎn)．

古埃及人依靠廣闊的地理屏障和尼羅河兩岸的沃土創(chuàng)造了燦爛的古埃及文明，古埃及數(shù)學(xué)是其文明的重要組成部分．古埃及文明以古老的象形文字和金字塔為象征，其中都蘊(yùn)含著古埃及的數(shù)學(xué)知識(shí)．首先古埃及人用象形文字把數(shù)學(xué)問(wèn)題記錄在紙草書中得以保存，通過(guò)這些各種各樣的數(shù)學(xué)問(wèn)題使人們知道埃及人懂得哪些數(shù)學(xué)知識(shí)，也通過(guò)這些問(wèn)題的背景知道埃及人的數(shù)學(xué)是用來(lái)做什么的．翻開今天的數(shù)學(xué)史書籍，可以知道古埃及創(chuàng)立了象形文字的十進(jìn)制記數(shù)系統(tǒng)，并且發(fā)明了頗有特色的單位分?jǐn)?shù)，以此為基礎(chǔ)，他們發(fā)展了復(fù)雜的計(jì)算系統(tǒng)，并嫻熟地運(yùn)用于生產(chǎn)生活實(shí)踐中，顯示了古代埃及人復(fù)雜而高超的計(jì)算能力．當(dāng)然，也有一些問(wèn)題屬于今天的所謂代數(shù)范疇，其方程解法的“假位法”本質(zhì)上是一種經(jīng)驗(yàn)化的，通過(guò)代入驗(yàn)證的方式來(lái)求解．幾何成就則主要表現(xiàn)為各種圖形的面積和立體的體積計(jì)算公式，這與當(dāng)時(shí)丈量土地、谷堆體積和建筑計(jì)算有關(guān)．總之，這些數(shù)學(xué)成就無(wú)論是知識(shí)背景還是內(nèi)容似乎一致地指向了埃及農(nóng)業(yè)社會(huì)的生產(chǎn)實(shí)踐，這與今天很多民族數(shù)學(xué)與其生產(chǎn)實(shí)踐背景的關(guān)系很相似．

埃及文明很輝煌，但數(shù)學(xué)發(fā)展總體上是初等的水平，埃及數(shù)學(xué)知識(shí)在埃及文明發(fā)展過(guò)程中保持了一種“靜止特性”，“（埃及數(shù)學(xué)）就像傳家寶一樣世代相傳，在數(shù)千年漫長(zhǎng)的歲月中很少變化”[10]．波耶說(shuō)：“埃及紙草書中所顯示出的數(shù)學(xué)知識(shí)，大多數(shù)是實(shí)用性的，而且，計(jì)算是這些問(wèn)題的主要元素，……而不是為了方便理解．”[13]“找不到任何證據(jù)說(shuō)明古埃及人已經(jīng)了解勾股定理哪怕是其特例．”[10]上述論斷告訴人們：即使有金字塔建筑的輝煌，并且顯示出高超的數(shù)學(xué)技術(shù)（如嘆為觀止的計(jì)算精確性），但是仍然可以說(shuō)埃及數(shù)學(xué)在超越性方面存在局限，或者說(shuō)找不到數(shù)學(xué)超越經(jīng)驗(yàn)的證據(jù)．在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史過(guò)中，應(yīng)該看到數(shù)學(xué)發(fā)展的超越性本質(zhì)．

從數(shù)學(xué)的發(fā)展來(lái)看，數(shù)學(xué)有3方面的超越性：第一，對(duì)經(jīng)驗(yàn)對(duì)象的抽象性超越，也就是說(shuō)，盡管數(shù)學(xué)對(duì)象是從現(xiàn)實(shí)中、經(jīng)驗(yàn)對(duì)象中歸納或者抽象出來(lái)，但最終是要脫離于經(jīng)驗(yàn)對(duì)象的依附，使其成為獨(dú)立的數(shù)學(xué)對(duì)象，這樣對(duì)數(shù)學(xué)的理解才能達(dá)到抽象的水平．只有在對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象抽象理解的水平上，才能夠進(jìn)一步探討數(shù)學(xué)對(duì)象的形式和關(guān)系，這也是數(shù)學(xué)具有廣泛應(yīng)用性的根本原因．?dāng)?shù)學(xué)對(duì)象的抽象超越性在原始的數(shù)學(xué)知識(shí)中已經(jīng)表現(xiàn)出來(lái)，哪怕是埃及紙草書中的數(shù)學(xué)問(wèn)題，已經(jīng)開始討論數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題．第二，對(duì)經(jīng)驗(yàn)活動(dòng)的純粹化超越，即數(shù)學(xué)的目的不僅僅是為了生產(chǎn)生活，而且還可以“為了理解”．這是數(shù)學(xué)為了純粹思想的目的，也就是通過(guò)數(shù)學(xué)關(guān)系去理解世界，以數(shù)學(xué)關(guān)系為對(duì)象進(jìn)行純粹的思考，發(fā)展人的洞察力．對(duì)于這一點(diǎn)，相對(duì)于埃及數(shù)學(xué)來(lái)說(shuō)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派“萬(wàn)物皆數(shù)”的觀點(diǎn)正好與之對(duì)照，以純粹目的來(lái)建立數(shù)學(xué)的“理念世界”正好是古希臘數(shù)學(xué)的目的，這或許也蘊(yùn)含了希臘數(shù)學(xué)能超越埃及數(shù)學(xué)的一個(gè)重要原因．第三，對(duì)思維方式的超越，這是指通過(guò)主體思維對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的思考活動(dòng)，不斷改進(jìn)數(shù)學(xué)思考的方法，表現(xiàn)為數(shù)學(xué)對(duì)象的逐級(jí)抽象，數(shù)學(xué)算法的改進(jìn)以及數(shù)學(xué)方法的變革，等等，從而促進(jìn)人自身思維方式的不斷超越，從而表現(xiàn)為人的智力水平的提高．前兩者都是主體對(duì)于客體認(rèn)知上的超越，而這一點(diǎn)卻是對(duì)主體自身的超越．人類的科學(xué)文明之所以發(fā)展到今天如此高的文化，與數(shù)學(xué)和其他科學(xué)帶來(lái)人類自身的思維方式不斷變革和提升有著重要的聯(lián)系．著名數(shù)學(xué)史家波耶說(shuō)：“20世紀(jì)的數(shù)學(xué)，已經(jīng)發(fā)展成為一種高深復(fù)雜、頗難定義的智力活動(dòng)．很多如今認(rèn)為是數(shù)學(xué)的課題，最初都是人們集中思考數(shù)、量、形等概念所帶來(lái)的產(chǎn)物．”[13]這一論斷就揭示了數(shù)學(xué)智力超越性的數(shù)學(xué)活動(dòng)本質(zhì)．盡管考古學(xué)和解剖學(xué)告訴人們，古人和今人在生理意義上的智力天賦——大腦結(jié)構(gòu)并沒(méi)有多少差異，但是數(shù)學(xué)和科學(xué)給人帶來(lái)思維方式的差異，卻使得現(xiàn)代人的智力水平比古代人有了顯著的提高．思維方式對(duì)于數(shù)學(xué)發(fā)展的重要性從埃及數(shù)學(xué)發(fā)展的局限性中也可以看出來(lái)，埃及數(shù)學(xué)不僅由于缺乏了對(duì)數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)活動(dòng)的純粹性超越，使他們的數(shù)學(xué)未能像古希臘數(shù)學(xué)那樣走上嶄新的、理性數(shù)學(xué)的道路，而且由于諸如帶有單位分?jǐn)?shù)的運(yùn)算系統(tǒng)，盡管有著令人驚訝的復(fù)雜性，但是埃及人卻未能改進(jìn)算法，超越繁雜的運(yùn)算系統(tǒng)，從而讓數(shù)學(xué)為人提供改進(jìn)思維方式的機(jī)會(huì)．

4 民族數(shù)學(xué)及其教育發(fā)展的超越性路徑

數(shù)學(xué)的發(fā)展與產(chǎn)生它的文化背景密切聯(lián)系，這是研究民族數(shù)學(xué)的出發(fā)點(diǎn)．從數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史來(lái)看，數(shù)學(xué)既根植于產(chǎn)生它的文化背景，同時(shí)又超越特定的文化背景，成為具有普遍意義的文化新形態(tài)．推廣至數(shù)學(xué)教育來(lái)說(shuō)，一方面，要把數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與學(xué)生的文化背景聯(lián)系起來(lái)，另一方面又要實(shí)現(xiàn)對(duì)“民族數(shù)學(xué)”的文化超越，在更廣闊的意義上發(fā)展民族數(shù)學(xué)教育．下面就從數(shù)學(xué)發(fā)展的超越性本質(zhì)來(lái)討論民族數(shù)學(xué)及其教育發(fā)展在超越性方面的要求和路徑．

（1）對(duì)基于民族文化背景中具有數(shù)學(xué)特征的對(duì)象進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)對(duì)象的抽象性超越．

數(shù)學(xué)對(duì)象是從生活與文化背景中建構(gòu)出來(lái)的對(duì)象，這是一種數(shù)學(xué)對(duì)象的抽象性超越．今天民族生活和文化背景中有很多具有數(shù)學(xué)意義的對(duì)象，但這些對(duì)象與它的現(xiàn)實(shí)原型并沒(méi)有分離，比如非洲的民族生活中有各種圖案，而這些圖案中蘊(yùn)含著多種數(shù)學(xué)變換，并被作為其民俗數(shù)學(xué)的一個(gè)部分[12]．但是，圖案終歸不是變換，只有把這些圖案中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)變換的意義解釋出來(lái)，并經(jīng)過(guò)重新建構(gòu)才能成為民俗數(shù)學(xué)的一部分，也才能實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)對(duì)象的抽象性超越．在中國(guó)“苗族、侗族的母語(yǔ)就不能準(zhǔn)確地表達(dá)分?jǐn)?shù)、小數(shù)、正數(shù)、負(fù)數(shù)等有關(guān)數(shù)的概念，也不能準(zhǔn)確表達(dá)垂直、平行、直角三角形、正方形、長(zhǎng)方形、平行四邊形等有關(guān)幾何概念”[7]，但這些民族文化中也一定有表示這些對(duì)象的方式和方法，找到這些具體數(shù)學(xué)特征的對(duì)象或方式方法，經(jīng)過(guò)抽象化重構(gòu)，變成民俗數(shù)學(xué)的對(duì)象，才能完成民族數(shù)學(xué)對(duì)經(jīng)驗(yàn)對(duì)象的超越．在重構(gòu)這些民族數(shù)學(xué)中的對(duì)象時(shí)，應(yīng)該基于民族文化和語(yǔ)言自身特點(diǎn)，才能建構(gòu)這些具有獨(dú)特文化背景的數(shù)學(xué)對(duì)象，這樣，民族數(shù)學(xué)就可以超越民族文化中數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)水平，使數(shù)學(xué)對(duì)象在少數(shù)民族生產(chǎn)實(shí)踐活動(dòng)具有更廣泛的意義和適用性．

（2）對(duì)民族生產(chǎn)實(shí)踐中經(jīng)驗(yàn)活動(dòng)的超越，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)的理性價(jià)值．

數(shù)學(xué)早期的發(fā)展，經(jīng)驗(yàn)性是數(shù)學(xué)的一個(gè)基本特點(diǎn)，數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)性不僅意味著生產(chǎn)實(shí)踐產(chǎn)生著數(shù)學(xué)，而且也通過(guò)它保存和傳播數(shù)學(xué)知識(shí)．?dāng)?shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)性也是今天民族數(shù)學(xué)的顯著特征．很多研究就是從不同文化系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn)基于社會(huì)生產(chǎn)生活實(shí)踐所創(chuàng)造的具有民族文化特色的數(shù)學(xué)形式．比如，中國(guó)關(guān)于侗族、苗族文化中的數(shù)學(xué)[7，14]；南美洲的土著民族有自己的數(shù)學(xué)，包括記數(shù)系統(tǒng)和計(jì)算方法，幾何意義和圖形概念等[1]．這些研究揭示了民族數(shù)學(xué)的形式以及相應(yīng)的生產(chǎn)、學(xué)習(xí)和傳播與少數(shù)民族中的民族文化和生產(chǎn)實(shí)踐的密切聯(lián)系，揭示了民族數(shù)學(xué)產(chǎn)生的根源和動(dòng)力，無(wú)疑這些研究是重要的．但是，硬幣分為兩面，當(dāng)人們?cè)陉P(guān)注民族數(shù)學(xué)向民族文化背景的轉(zhuǎn)移，突出數(shù)學(xué)文化的本土化的時(shí)候，更多體現(xiàn)了民族數(shù)學(xué)及其教育的實(shí)踐性和經(jīng)驗(yàn)性，常常缺失了數(shù)學(xué)對(duì)經(jīng)驗(yàn)活動(dòng)超越方面的討論．

怎樣來(lái)發(fā)展民族數(shù)學(xué)及其教育對(duì)經(jīng)驗(yàn)活動(dòng)的超越呢？民族文化有超越經(jīng)驗(yàn)性的基因嗎？文化的本質(zhì)有超越經(jīng)驗(yàn)活動(dòng)的特性，這就體現(xiàn)在文化更多是關(guān)乎人的精神層面的內(nèi)容．對(duì)于數(shù)學(xué)來(lái)說(shuō)，文化的超越性體現(xiàn)在數(shù)學(xué)對(duì)人所彰顯出的理性精神的價(jià)值．如果把數(shù)學(xué)退回到生活數(shù)學(xué)、實(shí)用數(shù)學(xué)，那么數(shù)學(xué)作為精神層面的理性文化價(jià)值既不能得到彰顯，又對(duì)民族文化不能增添有價(jià)值的內(nèi)涵．?dāng)?shù)學(xué)對(duì)經(jīng)驗(yàn)活動(dòng)的超越是指數(shù)學(xué)作為純粹思想的一面，是為了得到對(duì)世界的深入理解．?dāng)?shù)學(xué)如果缺乏為了理解的目的，它也就缺乏了進(jìn)一步前進(jìn)的動(dòng)力．河谷文明時(shí)期的數(shù)學(xué)之所以未能完成對(duì)經(jīng)驗(yàn)活動(dòng)的超越（包括中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)發(fā)展也有類似的情形），其文化中缺乏理性精神追求是一個(gè)重要的原因．對(duì)于今天的民族數(shù)學(xué)教育來(lái)說(shuō)，有了河谷文明時(shí)期數(shù)學(xué)發(fā)展的借鑒，對(duì)經(jīng)驗(yàn)活動(dòng)的超越，應(yīng)該成為民族數(shù)學(xué)及其發(fā)展主動(dòng)追求的一個(gè)目標(biāo)．

對(duì)經(jīng)驗(yàn)性的超越的方法來(lái)說(shuō)，應(yīng)該更多關(guān)注民族數(shù)學(xué)中已有的對(duì)數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)有超越性的內(nèi)容．比如，埃及數(shù)學(xué)中有一個(gè)例子就是具有啟發(fā)性的，那就是萊因德紙草書中第79題：7座房，49只貓，343只老鼠，2?401棵麥穗，16?807赫卡特（注：古代埃及的容量單位）．顯然，這個(gè)題目并不是實(shí)際中的問(wèn)題，而是數(shù)字有著規(guī)律的、純粹的數(shù)學(xué)題目．有人認(rèn)為：“這是帶有純粹游戲性質(zhì)的幾何級(jí)數(shù)求和的問(wèn)題．”[10]這個(gè)例子啟發(fā)人們，數(shù)學(xué)最初作為純粹的對(duì)象是通過(guò)融合在如游戲、詩(shī)歌這類民族藝術(shù)文化的活動(dòng)中，而這類活動(dòng)正好反映了人類的一種純粹化的思想，關(guān)注人的精神層面．?dāng)?shù)學(xué)作為純粹的思考對(duì)象與人類其他的藝術(shù)形式活動(dòng)一樣，具有精神追求的意義，而這條道路正是數(shù)學(xué)的理性發(fā)展道路．

（3）對(duì)民族數(shù)學(xué)中思維方式的超越，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)的智育價(jià)值．

數(shù)學(xué)在一定意義上是人類智力活動(dòng)的結(jié)晶，任何一種形式的數(shù)學(xué)都在一定程度上承載了某種特征思維方式，并通過(guò)這種數(shù)學(xué)促進(jìn)人的思維活動(dòng)方式的發(fā)展．對(duì)當(dāng)今的人類來(lái)說(shuō)，無(wú)論是哪一個(gè)族群，其智力水平和認(rèn)知能力都沒(méi)有多少差異，特別是從解剖學(xué)意義上來(lái)看，全世界的不同人之間的智力天賦實(shí)質(zhì)上沒(méi)有什么太大的差異．但是，另外一方面，不同人之間在智力和認(rèn)知上都表現(xiàn)出很大的差異和個(gè)性化，這種差異原因在哪里呢？這種差異本質(zhì)上是思維方式上的差異．而數(shù)學(xué)帶給人或者人類來(lái)說(shuō)重要的價(jià)值，就是通過(guò)人自身的思維活動(dòng)，不斷改造人的思維方式，從而實(shí)現(xiàn)智力水平的超越．埃及數(shù)學(xué)中運(yùn)算系統(tǒng)的復(fù)雜性，對(duì)于今人來(lái)說(shuō)也不能不說(shuō)是一個(gè)巨大的挑戰(zhàn)，說(shuō)明古埃及人在思維的復(fù)雜程度已經(jīng)達(dá)到很高的地步，但是由于缺乏對(duì)算法的反思與改進(jìn)，因而埃及數(shù)學(xué)的思維水平仍然是非常初等的．

怎樣在民族數(shù)學(xué)教育中實(shí)現(xiàn)基于民族數(shù)學(xué)對(duì)于思維方式的超越呢？首先要對(duì)已有民族數(shù)學(xué)內(nèi)容或者新建構(gòu)的民族數(shù)學(xué)內(nèi)容，按照數(shù)學(xué)一般意義上進(jìn)行分析，這些內(nèi)容在思維方式上存在哪些局限，怎樣在一般意義上進(jìn)行改造或者重建．今天的數(shù)學(xué)中對(duì)于人的思維方式最有價(jià)值的是彰顯了諸如“抽象”、“一般化”、“形式化”、“壓縮與逐級(jí)抽象”等具有普遍意義的思維方法．作為民族數(shù)學(xué)或者民族數(shù)學(xué)教育的研究學(xué)者，應(yīng)該考慮作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)中具有普遍意義的思想方法如何與民族數(shù)學(xué)整合，甚或改造建構(gòu)都是必要的．對(duì)于民族數(shù)學(xué)教育來(lái)說(shuō)，就是在民族數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，最重要的還是一般意義的“數(shù)學(xué)思想方法”的學(xué)習(xí)，而不是數(shù)學(xué)形式的還原．這一點(diǎn)是重要的，在討論“民族數(shù)學(xué)”和“民族數(shù)學(xué)教育中，人們可能有意無(wú)意地突出后者而忽略前者．在民族數(shù)學(xué)教育及其研究中，如果注意從一般意義上的數(shù)學(xué)思維方法的角度來(lái)理解、改造和建構(gòu)民族數(shù)學(xué)，那么不僅對(duì)于學(xué)生智力的超越是有意義的，而且有利于民族數(shù)學(xué)的重建．

5 結(jié) 語(yǔ)

正如習(xí)近平總書記在“紀(jì)念孔子誕辰2?565周年國(guó)際學(xué)術(shù)研討會(huì)”上的演講報(bào)告中所說(shuō)：“不忘歷史才能開辟未來(lái)，善于繼承才能善于創(chuàng)新．”歷史與現(xiàn)實(shí)在一定程度上具有一定的相似性，數(shù)學(xué)歷史對(duì)于今天的民族數(shù)學(xué)及其教育也一樣，在一定程度上歷史可以給予人們啟示．

[1] 張奠宙．?dāng)?shù)學(xué)教育研究導(dǎo)引[M]．南京：江蘇教育出版社，1998．

[2] 陳婷．近十年我國(guó)少數(shù)民族數(shù)學(xué)教育研究的回顧與反思[J]．民族教育研究，2013，（6）：121-127．

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Enlightenments on Ethnomathematics and Its Education Development by the History of Mathematics

NING Rui1, 2, ZHANG Hong2

(1. Department of Mathematics, East China Normal University, Shanghai 200241, China;2. School of Mathematics and Software Science, Sichuan Normal University, Sichuan Chengdu 610066, China)

There was intrinsic contradiction between cultural diversity of ethnomathematics and standardization of school mathematics. Some realistic difficult situations in ethnomathematics and its education arise from the contradiction. Firstly, this paper discriminated the implication of ethnomathematics and ethnomathematical education. Then it analyzed the realistic background and root cause which result in the difficult situations of ethnomathematics and its education from the perspective of historical similarity. It also analyzed some empirical features in early development of mathematics and three-level transcendence in mathematical development, and discussed some limitations concerning transcendence by taking early mathematical development in Egypt as an example. Finally, it raised the requirements and approaches in three transcendence levels for the development of ethnomathematics and its education.

ethnomathematics; ethnomathematical education; ethnic culture; history of mathematics; transcendence

[責(zé)任編校：周學(xué)智]

G750

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1004–9894（2017）04–0087–05

2017–03–03

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目——數(shù)學(xué)符號(hào)的演變與傳播研究（11471232）；民國(guó)時(shí)期中外數(shù)學(xué)交流與四川數(shù)學(xué)的發(fā)展（11526018）

寧銳（1972—），男，四川儀隴人，講師，博士生，主要從事數(shù)學(xué)教育與數(shù)學(xué)史研究．張紅為本文通訊作者．