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      昭示轉化思想 凸顯平移方法
      ——探究一道中考題的解法

      2017-04-20 03:30:50南京金陵中學河西分校210019李玉榮
      數(shù)理化解題研究 2017年2期
      關鍵詞:過點直角三角形四邊形

      南京金陵中學河西分校(210019) 李玉榮 ●

      昭示轉化思想 凸顯平移方法
      ——探究一道中考題的解法

      南京金陵中學河西分校(210019) 李玉榮 ●

      題目 如圖,已知∠ABC=90°,D是直線AB上的點,AD=BC,(1)如左圖,過點A作AF⊥AB,并截取AF=BD,連接DC、DF、CF,判斷△CDF的形狀并證明;(2)如右圖,E是直線BC上的一點,且CE=BD,直線AE、CD相交于點P,∠APD的度數(shù)是一個固定的值嗎?若是,請求出它的度數(shù);若不是,請說明理由.

      這是2015年山東省荷澤市中考數(shù)學試卷的第20題(倒數(shù)第2題),此題以常見的基本圖形為載體,以“判斷結論、論證結論、探究問題”的形式逐步展開,將全等三角形、等腰直角三角形的典型知識有機地結合,由淺入深、一氣呵成,綜合考查了學生分析問題、解決問題的能力,較好地體現(xiàn)了“源于基礎、重在思維”的評價理念.第(1)小題是基礎題,通過證明△DBC與△FAD全等,可知△CDF為等腰直角三角形;第(2)小題是一道探究性問題,考生可利用圖形度量,合情推理出∠APD=45°,但怎樣求出這個結果呢?

      一、思轉化,找到破解之門

      解析 一般來說,45°角的問題與等腰直角三角形密切相關,而第(1)小題恰好得到了一個等腰直角三角形,因此,應設法將右圖轉化為左圖,只需要“過點A作AF⊥AB,并截取 AF=BD,連接 DF、CF.”由第(1)小題知∠FCD=45°,只需證明FC∥AE,這已顯而易見,從而可得∠APD=45°.

      解法1 (1)略;(2)如圖1,過點A作AF⊥AB,并截取AF=BD,連接DF、CF,

      由(1)知∠APD=45°,AF=BD=CE,又AF∥CE,所以四邊形AFEC為平行四邊形,所以FC∥AE,從而∠APD =∠FCD=45°.

      評析 此解法的設置體現(xiàn)了以人為本的原則,命題者以第(1)小題為鋪墊,昭示了第(2)小題應通過轉化實現(xiàn)目標,而“AF=CE,且AF∥CE”,等價于“將CE沿AE平移至AF”,凸顯了“平移”這個重要解題方法,從平移的角度思考本題,以“AD=BC或CE=BD,”為線索,還可以探尋其它解法.

      二、重平移,尋求解題它法

      1.平移AD

      解法2 如圖2,將線段AD沿AE平移至EF,連接CF、DF,則四邊形AEFD為平行四邊形,Rt△BDC≌Rt△EFC,可證DC=FC,∠FCD=90°,從而∠CDF=45°,又AP∥DF,所以∠APD=∠CDF=45°.

      解法3 如圖3,將線段AD沿DC平移至CF,連接AF、EF,則四邊形AFCD為平行四邊形,Rt△BDC≌Rt△CEF,可證FE=CD=FA,∠AFC=∠D,∠CFE=∠BCD,從而∠AFE=∠AFC+∠CFE=∠D+∠BCD=90°,所以∠FAE=45°,又AF∥DP,所以∠APD=∠FAE=45°.

      2.平移CE

      解法4 如圖4,將線段CE沿CD平移至DF,連接AF、EF,則四邊形CEFD為平行四邊形,Rt△BDC≌Rt△DAF,可證FE∥DC,F(xiàn)E=DC=FA,∠BCD=∠DAF,所以∠DAF+∠ADC=∠BCD+∠ADC=90°,從而∠AHD= 90°,得AF⊥PD,所以AF⊥FE,故△AFE為等腰直角三角形,所以∠APD=∠AEF=45°.

      3.平移BD(或BC)

      解法5 如圖5,將線段BD沿BC平移至CF,連接DF、EF,則四邊形BDFC為平行四邊形,△FCE為等腰直角三角形,所以,可得,從而Rt△AFE∽Rt△DFC,所以∠EAF=∠CDF,又∠AMP=∠DMF,所以∠APD=∠AFD=45°.

      此題設計巧妙、變化自然,考查了學生思維的遷移能力及在解題過程中提煉方法和經(jīng)驗的能力,體現(xiàn)了命題者的獨具匠心,解題者若能洞察命題者的意圖,會將第(2)小題轉化為第(1)小題求解,事半功倍,轉化為“本”;作為教師,研究此題的解法,從中找出其規(guī)律性的東西,平移為“源”,內(nèi)化為方法為教學服務、為學生所用.義務教育《數(shù)學課程標準》(2011版)明確指出:推理能力的發(fā)展應貫穿在整個數(shù)學學習過程中.推理是數(shù)學的基本思維形式,也是人們學習和生活中經(jīng)常使用的思維方式,作為研究圖形性質(zhì)的有效方法和工具,“合情推理”與“演繹推理”相輔相成,如何在中考試題中得到有效考查,此題無疑做出了很好的詮釋.我們?yōu)檫@樣的好題點贊!

      G632

      B

      1008-0333(2017)02-0019-01

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