江蘇省淮安市淮陰區(qū)開明中學(xué)(223300) 馬先龍 ●
特殊位置作用大
江蘇省淮安市淮陰區(qū)開明中學(xué)(223300) 馬先龍 ●
解幾何最值問題時(shí),若能捕捉圖形的特殊位置,利用特殊位置時(shí)的圖形解題,往往能化難為易,事半功倍.
例1 如圖1,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC= 30°,將△ABC繞頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)角為α(0°<α<180°),得到△A'CB'.設(shè)AC中點(diǎn)為M,A'B'中點(diǎn)為N,AC= 2,連接MN,則線段MN 的最大值為___.
分析 如圖2,當(dāng)△ABC繞頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到M、C、N三點(diǎn)共線時(shí),即是本題的特殊位置圖形.此時(shí),CM+ CN就是MN的最大值.
解 如圖1,在Rt△ABC中,∵∠ACB=90°,∠ABC= 30°,AC=2,∴AB=4.連結(jié) CN,在 Rt△A'B'C中,∵∠A'CB'=90°,N為A'B'中點(diǎn),∴此時(shí)CM、CN不共線,有MN<CM+CN;如圖2,當(dāng)CM、CN共線時(shí),有MN=CM+CN,∴MN≤CM+CN.∵M(jìn)為AC的中點(diǎn),∴3,∴MN的最大值為3.
例2 如圖3,正方形ABCD中,AB=2,動點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)向點(diǎn)B運(yùn)動,同時(shí),動點(diǎn)F從點(diǎn)B出發(fā)向點(diǎn)C運(yùn)動,點(diǎn)E、F運(yùn)動的速度相同,當(dāng)它們到各自終點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動.設(shè)運(yùn)動過程中AF與DE相交于點(diǎn)M,P是邊CD上任意一點(diǎn),則PB+PM 的最小值為___.
分析 如圖4,當(dāng)動點(diǎn)E運(yùn)動到點(diǎn)B,動點(diǎn)F運(yùn)動到點(diǎn)C,即是本題的特殊位置圖形.此時(shí),作點(diǎn)B關(guān)于CD的對稱點(diǎn)B',連接B'M交CD于點(diǎn)P,則B'M就是PB+PM的最小值.
解 如圖4,當(dāng)點(diǎn)E、F分別運(yùn)動到點(diǎn)B、C時(shí),M是正方形ABCD的對角線AC、BD的交點(diǎn),作點(diǎn)B關(guān)于CD的對稱點(diǎn)B',連接B'M與CD相交于點(diǎn)P,則B'M就是PB+ PM的最小值.過點(diǎn)M作MN⊥BC于點(diǎn)N,在Rt△B'MN中,∵∠B'NM=90°,MN=1,B'N=2+1=3,∴B'M=PB+PM的最小值為
分析 如圖6,當(dāng)OP與⊙A相切時(shí),即是本題的特殊位置圖形.此時(shí),∠POA最大,從而tan∠POA最大,而tan∠POA,故此時(shí)最大,據(jù)此即可求出的最大值.,故此時(shí)最大.連接AP,∵OP是⊙A的切線,∴∠OPA=90°.∵A(2,0),∴OA=2.在Rt△AOP中,∠OPA=90°,OA=2,AP=
解 如圖6,連接OP,當(dāng)OP與⊙A相切時(shí),∠POA最大,從而tan∠POA最大.∵的最大值為的最大值為
例4 如圖7,△ABC是邊長為3的等邊三角形,M是邊BC上的一個(gè)動點(diǎn),以AM為直徑畫⊙O分別交AB,AC于點(diǎn)P,Q,連結(jié)PQ,則線段PQ 的最小值為____.
解 如圖7,作直徑PR,連接QR,則∠PQR=90°,∠PRQ=∠BAC=60°.在Rt△PRQ中,∠PQR=90°,.過點(diǎn)A作AH⊥BC,垂足為點(diǎn)H,則AH就是AM的最小值.在Rt△ABH中,∠AHB=90°,∠ABH=60°,AB的最小值為線段PQ的最小值為線段PQ的最小值為
例5 如圖8,已知A是⊙O外一點(diǎn),P是⊙O上的動點(diǎn),線段AP的中點(diǎn)為Q,連接AO,OQ.若⊙O的半徑為2,OA=5,則線段OQ 的最大值是___.
分析 如圖8,取OA的中點(diǎn)B,連接BQ,OP,易知BQ =1,點(diǎn)Q是半徑為1的⊙B上的動點(diǎn).設(shè)AO與⊙B相交于M、N,則OM就是OQ的特殊位置圖形,據(jù)此可求出OQ的最大值.
解 如圖8,取OA的中點(diǎn)B,連接BQ,OP.∵Q、B分別為AP、AO的中點(diǎn),∴BQ為△AOP的中位線OP.∵OP=2,∴BQ=1.以點(diǎn)B為圓心,作半徑為1的⊙B,則點(diǎn)Q是⊙B上的動點(diǎn).設(shè)AO與⊙B分別相交于點(diǎn)M、 N,則當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動到點(diǎn)M時(shí),OQ最大線段OQ的最大值是
從以上幾例可以看出,認(rèn)真審題,把握圖形本質(zhì),弄清運(yùn)動對象的路徑并捕捉到圖形的特殊位置是解題成功的關(guān)鍵.一旦捕捉到圖形的特殊位置并畫出特殊位置時(shí)的圖形,問題則立刻變得簡單了.
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1008-0333(2017)02-0026-02