孫建敏

數(shù)學思想是對數(shù)學知識與方法形成的規(guī)律性的理性認識，是解決數(shù)學問題的根本策略.學生熟練掌握數(shù)學思想對于提高分析與解決問題的能力具有重要作用.下面以“整式及其加減”教學為例，說明數(shù)學思想方法在解題中的具體應用.

一、用字母表示數(shù)的思想方法

引入字母表示數(shù)，是從算術到代數(shù)的重要標志之一.正確理解用字母表示數(shù)的意義，是學好數(shù)學基礎知識的基本要求，也是認識上的一個轉(zhuǎn)折點.例如，設n是整數(shù)，那么偶數(shù)就可表示為2n，被9整除的數(shù)可表示為9n.

二、從“特殊到一般”，再從“一般到特殊”的數(shù)學思想方法

從簡單的、個別的、特殊的情況去研究、探索、歸納出一般的規(guī)律和性質(zhì)（即構(gòu)建一定的數(shù)學模型），然后應用一般的規(guī)律和性質(zhì)去解決特殊的問題，這是數(shù)學中常用的思想方法.列代數(shù)式和求代數(shù)式的值，體現(xiàn)了這種思維方法.

例1 某校開運動會，需要買一批筆記本和圓珠筆，筆記本要買40本，圓珠筆買若干支.王老師去了兩家文具店，筆記本和圓珠筆的零售價分別為3元和2元，但甲文具店的營業(yè)員說：“若筆記本按零售價，那么圓珠筆可按零售價的7折優(yōu)惠.”乙文具店的營業(yè)員說：“筆記本和圓珠筆都可按零售價的8折優(yōu)惠.”（1）若學校需要買圓珠筆80支，你認為王老師去哪家文具店較合算？可節(jié)省多少錢？（2）設要買的圓珠筆為x支，試用代數(shù)式表示甲、乙兩家文具店的收費.

解析：（1）若買圓珠筆80支，甲文具店收費3×40+2×80×70%=232元；乙文具店收費（3×40+2×80）×80%=224元. 故選乙文具店合算，可節(jié)省232-224=8元.（2）甲文具店收費：3×40+2x·70%=120+1.4x（元）；乙文具店收費：（3×40+2x）·80%=96+1.6x（元）.

三、方程思想

方程思想是指，對所要求解的數(shù)學問題，利用已知量和未知量的聯(lián)系列出方程，通過解方程，使問題獲解的思維方式.

四、分類討論思想

當被研究的問題包含多種情況，又不能一概而論時，必須按出現(xiàn)的所有情況來分別討論，得出各種情況下相應的結(jié)論.這種處理問題的思維方式就是分類討論思想.分類時不重復、不遺漏，是分類討論的基本要求.

例3 某商場計劃投入一筆資金采購一批緊俏商品.經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果月初出售，可獲利15%，并可用本和利再投入其他商品，到月末又可獲利10%；如果月末出售可獲利30%，但要付出倉儲費用700元.請問：根據(jù)商場的資金狀況，如何購銷獲利較多？

解析：由于商場的投資金額直接影響著兩種出售方式的獲利多少，因此應對投資金額分情況進行討論.設商場投資x元，則月初出售獲利為：（1+15%）·x·（1+10%）-x=0.265x……①；月末出售獲利為：（1+30%）x-700-x=0.3x-700……②.②-①，得0.3x-700-0.265x=0.035x-700.所以當0.035x-700=0，即x=20000時，月初出售與月末出售獲利一樣多；當x>20000時，月末出售獲利多；當x<20000時，月初出售獲利多.

五、整體思想

整體思想是指，在解題時，從整體著手，把一些表面上看似彼此獨立而實質(zhì)上又緊密聯(lián)系的量作為整體加以考慮的一種思維方法.運用這種思想方法，能使一些按常規(guī)解法不能解或比較繁難的問題迎刃而解.

六、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想是指，在研究問題的過程中，由數(shù)思形、由形思數(shù)，把數(shù)與形結(jié)合起來分析問題的一種思想方法.運用數(shù)形結(jié)合思想解題，能使復雜的問題簡單化，抽象的問題直觀化，收到簡捷、明快之功效.

七、轉(zhuǎn)化思想

轉(zhuǎn)化思想是指，在研究和解決有關數(shù)學問題時，通過某種方式將復雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題，將難解的問題轉(zhuǎn)化為易于求解的問題，將未知的問題轉(zhuǎn)化為已知的問題.

八、歸納法

簡單地說，歸納法是一種由一系列有限的特殊事例得出一般性結(jié)論的推理方法.它能幫助我們從具體事例中發(fā)現(xiàn)一般性規(guī)律.