探究三角形的幾何“重心”與物理“重心”

劉學(xué)禹??

在學(xué)習(xí)高一物理（必修1）《重力 基本相互作用》一節(jié)時(shí)，老師介紹了重心概念，所謂重心就是重力的等效作用點(diǎn)，重心的位置與物體的形狀和質(zhì)量分布情況有關(guān).不過(guò)重心概念并非高中物理首次接觸，早在初中《數(shù)學(xué)（八年級(jí)下）》教材中，我們就曾學(xué)習(xí)到三角形的重心，所謂三角形的重心乃三角形的三條中線的交點(diǎn).由此，我產(chǎn)生一個(gè)疑問：物理學(xué)中的重心與幾何學(xué)上的重心是否一致？具體地說(shuō)，三角形的物理重心與幾何重心是否重合？這個(gè)問題一直困擾著我，經(jīng)過(guò)一年多的思考和探究，有了一點(diǎn)不成熟的想法，現(xiàn)把它寫出來(lái)，請(qǐng)老師們批評(píng)指正.

本文所討論的三角形分兩種情形，一是質(zhì)量均勻分布、粗細(xì)一致的三角形（空心）線框；二是質(zhì)量均勻分布的三角形薄板.對(duì)于第一種情況，我發(fā)現(xiàn)三角形線框的物理重心與其幾何重心通常并不重合；對(duì)于第二種情況，三角形薄板的物理重心與其幾何重心的確完全一致.

1初步驗(yàn)證

我通過(guò)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了簡(jiǎn)單的驗(yàn)證：用一根長(zhǎng)而粗的鐵絲彎成一個(gè)每邊長(zhǎng)在20 cm-30 cm左右的任意三角形線框，并在這個(gè)三角形鐵絲上蒙上保鮮膜（質(zhì)量可忽略不計(jì)）.然后用直尺作出這個(gè)三角形的幾何重心（位于保鮮膜上）.最后再用手指（食指）從下面頂著這個(gè)幾何重心的位置，看能否把這個(gè)三角形鐵絲懸空平頂支撐起來(lái).結(jié)果發(fā)現(xiàn)即使在可以少許調(diào)整的情況下也無(wú)法將三角形鐵絲支撐平衡起來(lái).這說(shuō)明三角形線框的幾何重心與其物理重心并不重合.

再取了一塊厚度相同的木板，把它鋸成三角形，然后也用直尺作出這個(gè)三角形木板的幾何重心.平放著木板，再用手指從下面頂著這個(gè)幾何重心的位置，發(fā)現(xiàn)只要少許調(diào)整，手指確實(shí)可將木板水平懸空支撐起來(lái)而不傾倒掉落.這時(shí)木板只受重力和手指的支持力作用，是一對(duì)平衡力，說(shuō)明其重心在手指尖所在的豎直線上，即三角形的幾何重心與其物理重心重合！

改變?nèi)切舞F絲和三角形木板的形狀，多次重復(fù)上述兩個(gè)實(shí)驗(yàn)，結(jié)果基本一致.不過(guò)，我仍然不能完全滿意，因?yàn)槲野l(fā)現(xiàn)不管怎么仔細(xì)完成上述實(shí)驗(yàn)，總要進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整.實(shí)際上，對(duì)于第二個(gè)實(shí)驗(yàn)，不用手指，改用較細(xì)的鐵釘，就難以水平支撐平衡起三角形木板.盡管這里存在木板質(zhì)量是否均勻分布、用直尺作圖確定幾何重心位置是否準(zhǔn)確等等干擾因素，誤差在所難免，但實(shí)驗(yàn)的驗(yàn)證無(wú)論如何總難令人完全信服.于是我嘗試從理論上探究這兩個(gè)重心的關(guān)系.

2理論探究

2.1三角形空心線框的幾何重心與其物理重心是否重合？

要否定這個(gè)命題，可以進(jìn)行證偽.也就是說(shuō)只要找到一個(gè)反例，即可得到證明.

如圖1所示，設(shè)質(zhì)量、粗細(xì)均勻分布的三角形線框OAB的三條邊長(zhǎng)分別為OA=4、OB=3、AB=5，三角形處于圖示的直角坐標(biāo)系中.再設(shè)三條邊單位長(zhǎng)度的質(zhì)量為λ，則三條邊的質(zhì)量分別為mOA=4λ、mOB=3λ、mAB=5λ.首先確定線框OAB的物理重心.由于三條邊的質(zhì)量均勻分布，所以可將AB邊的質(zhì)量等效集中于AB邊的中點(diǎn)D，容易看出D點(diǎn)位置坐標(biāo)為（1.5，2.0），等效質(zhì)量為5λ；同理可將OB邊、OA邊的質(zhì)量分別等效集中于OB、OA的中點(diǎn)E、F，位置坐標(biāo)分別為（1.5，0）、（0，2.0），等效質(zhì)量為3λ、4λ.接著再將D、E兩點(diǎn)進(jìn)行等效，D、E兩點(diǎn)的重心位置M必在這兩點(diǎn)的連線上，并且到D、E兩點(diǎn)的距離與D、E兩點(diǎn)的等效質(zhì)量成反比.這樣不難確定M點(diǎn)的位置坐標(biāo)為（1.5，1.25）、等效質(zhì)量為8λ.最后再考察M、F兩點(diǎn)的重心G的位置，采用上述同樣的方法，能夠計(jì)算出G點(diǎn)的位置坐標(biāo)為（1.0，1.5），它也是整個(gè)三角形線框的物理重心.

接下來(lái)再確定線框OAB的幾何重心G′.根據(jù)三角形幾何重心的性質(zhì)——重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2∶1，我們知道，△OAB的重心G′一定在中線OD上，并且滿足OG′=2G′D.不難計(jì)算G

？倕 的位置坐標(biāo)為（1.0，4/3）.另外，G′的位置確定也可以通過(guò)三角形（幾何）重心的性質(zhì)1（見文后附注）——在平面直角坐標(biāo)系中，三角形的（幾何）重心的坐標(biāo)就等于三角形三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)的算術(shù)平均值.采用這種方法求G′的位置坐標(biāo)更加直接.

比較G、G′的位置坐標(biāo)，發(fā)現(xiàn)二者并不重合.通過(guò)這個(gè)特例足可以說(shuō)明，三角形線框的幾何重心與其物理重心一般并不重合.

2.2三角形薄板的幾何重心與其物理重心是否重合？

這個(gè)問題相對(duì)復(fù)雜，下面先從兩個(gè)簡(jiǎn)單的情況說(shuō)起.

命題13個(gè)質(zhì)量相等的小球分別位于三角形的頂點(diǎn)，則這3個(gè)小球的物理重心與該三角形的幾何重心重合.

說(shuō)明：如圖2所示，容易理解A、B兩球的重心位于AB的中點(diǎn)D.D（A、B兩球的等效點(diǎn)）和C球的物理重心位于G，顯然G點(diǎn)實(shí)際上也就是三個(gè)小球A、B、C的物理重心.由于D點(diǎn)的相當(dāng)于集中了A、B兩球的質(zhì)量，所以GC的距離是GD的2倍.對(duì)照附注中三角形的（幾何）重心性質(zhì)2——三角形的（幾何）重心到頂點(diǎn)的距離與（幾何）重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2∶1，不難看出G點(diǎn)也就是三角形ABC的幾何重心.

命題2如果均質(zhì)三角形線框的三條邊的粗細(xì)（寬度）與其長(zhǎng)度成反比，則三角形線框的物理重心與該三角形的幾何重心重合.

說(shuō)明：由于線框三條邊的粗細(xì)（寬度）與其長(zhǎng)度成反比，可知三條邊的表面積（設(shè)線框的厚度一致）

相等，所以三條邊的質(zhì)量相等，如圖3所示.加之三邊的質(zhì)量分布均勻，因而可以認(rèn)為，三條邊AB、BC、CA的質(zhì)量分別集中于它們的中點(diǎn)D、E、F.再考察三角形DEF的物理重心，它與與命題1的情形完全相同.并且根據(jù)圖3不難看出△ABC與△DEF的幾何重心重合.所以△ABC線框的物理重心與△DEF的幾何重心亦即△ABC的幾何重心重合.最后再來(lái)探究均質(zhì)三角形薄板的重心位置問題.如圖4所示，令G點(diǎn)為薄板ABC的幾何重心，連接AG、BG、CG.并將線段AG、BG、CG各自均分n等份，再將AG、BG、CG邊上n等份的點(diǎn)分別順次對(duì)應(yīng)連接起來(lái)，這樣便把整個(gè)△ABC分割成n個(gè)三角形空心線框.圖4中實(shí)線所示的A1B1C1-A2B2C2為其中的一個(gè)三角形線框.

下面討論三角形線框A1B1C1-A2B2C2的物理重心位置.根據(jù)附注中三角形的（幾何）重心性質(zhì)3——三角形的（幾何）重心和三角形的三個(gè)頂點(diǎn)組成的3個(gè)三角形面積相等，即有S△ABG=S△BCG=S△CAG.在△ABG中，由于線段A1B1、A2B2…把△ABG分成n個(gè)細(xì)長(zhǎng)的小梯形，這些小梯形的面積從頂

點(diǎn)G到底邊AB按特定比例遞增（不難理解，△BCG和△CAG中的情況也是一樣）.這樣圖4中三角形線框A1B1C1-A2B2C2的三條邊A1B1B2A2（即圖4中顯示的細(xì)長(zhǎng)的小梯形）、B1C1C2B2、C1A1A2C2的面積也相等.加之質(zhì)量分布均勻，所以三角形線框A1B1C1-A2B2C2的三條邊的質(zhì)量相等.結(jié)合前述的命題2可知三角形線框A1B1C1-A2B2C2的物理重心就在G點(diǎn).同理，其他三角形線框的物理重心也都在G點(diǎn)，所以整個(gè)三角形薄板的物理重心就在其幾何重心G點(diǎn)上.

上述的證明實(shí)際上就是微元法，把三角形薄板分割成若干個(gè)三角形線框.這與高中物理必修1教材中推導(dǎo)勻變速運(yùn)動(dòng)的位移-時(shí)間關(guān)系x=v0t+12at2的思路類似.由此可見，高中的物理學(xué)習(xí)，方法比內(nèi)容更為重要，這也是我在探索重心問題時(shí)得到的一點(diǎn)體會(huì).

（指導(dǎo)老師：于正榮）