吳志敏,楊 艷,史國(guó)棟,包伯成,姚凱文

(常州大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院,江蘇 常州 213164)

恒流源負(fù)載V2控制Buck變換器的穩(wěn)定性分析

吳志敏,楊 艷,史國(guó)棟,包伯成,姚凱文

(常州大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院,江蘇 常州 213164)

恒流源負(fù)載開關(guān)變換器在發(fā)光二極管照明領(lǐng)域具有廣闊的應(yīng)用前景，其研究具有理論意義和應(yīng)用價(jià)值。為了研究電路參數(shù)對(duì)恒流源負(fù)載V2控制Buck變換器穩(wěn)定性的影響，建立了該變換器的二階離散迭代映射模型，得到了輸出電容等效串聯(lián)電阻、恒流源負(fù)載變化時(shí)的分岔圖。分析結(jié)果表明，當(dāng)輸出電容等效串聯(lián)電阻、恒流源負(fù)載變化時(shí)，恒流源負(fù)載V2控制Buck變換器具有復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為。利用特征值和最大李雅普諾夫指數(shù)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性分析，驗(yàn)證了分岔分析的正確性。通過(guò)數(shù)值仿真得到了輸出電容及其等效串聯(lián)電阻之間的工作狀態(tài)邊界，揭示了輸出電容時(shí)間常數(shù)穩(wěn)定臨界值與開關(guān)周期間的非線性關(guān)系。最后，基于PSIM電路仿真和電路試驗(yàn)，得到了輸出電容等效串聯(lián)電阻時(shí)的時(shí)域波形，驗(yàn)證了二階離散迭代映射模型的有效性和理論分析的正確性。

電力電子； 二極管；恒流源負(fù)載; Buck變換器; 輸出電容;穩(wěn)定性分析

0 引言

發(fā)光二極管(light emitting diode,LED)照明是通過(guò)控制LED負(fù)載實(shí)現(xiàn)恒流照明[1]，在實(shí)際開關(guān)變換器中，LED負(fù)載可等效為恒流源負(fù)載，故恒流源負(fù)載開關(guān)變換器是今后電力電子的重要研究和應(yīng)用方向。V2控制因其快速的動(dòng)態(tài)響應(yīng)而得到廣泛關(guān)注[2]，因此，對(duì)恒流源負(fù)載V2控制Buck變換器進(jìn)行深入研究具有重大的理論意義和應(yīng)用價(jià)值。

開關(guān)變換器存在低頻波動(dòng)、次諧波振蕩、倍周期分岔、邊界碰撞分岔和不穩(wěn)定混沌振蕩等非線性動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象[3-6]。不穩(wěn)定混沌振蕩的出現(xiàn)會(huì)極大地影響開關(guān)變換器的控制性能，甚至導(dǎo)致開關(guān)變換器無(wú)法正常工作。因此，有必要運(yùn)用動(dòng)力學(xué)方法對(duì)開關(guān)變換器中存在的一系列非線性動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象進(jìn)行研究，同時(shí)深入分析電路參數(shù)的變化對(duì)變換器穩(wěn)定性的影響，以指導(dǎo)開關(guān)變換器的參數(shù)設(shè)計(jì)。

本文根據(jù)恒流源負(fù)載V2控制Buck變換器的狀態(tài)方程，建立其二階離散迭代映射模型。根據(jù)此模型研究了輸出電容等效串聯(lián)電阻(equivalent series resistance,ESR)R0和恒流源負(fù)載Io的變化對(duì)開關(guān)變換器的穩(wěn)定性影響，分析了開關(guān)變換器存在的周期振蕩、倍周期分岔、次諧波振蕩、不穩(wěn)定的混沌振蕩等復(fù)雜物理現(xiàn)象[3-6]。電路參數(shù)范圍和穩(wěn)定性邊界[7-9]對(duì)于變換器的電路設(shè)計(jì)和參數(shù)選擇具有重要的指導(dǎo)意義。本文通過(guò)對(duì)輸出電容ESR R0和輸出電容C的仿真研究，得到了在R0-C平面上的工作狀態(tài)區(qū)域分布圖，并采用電力電子仿真軟件(power simulation,PSIM)進(jìn)行電路仿真和電路試驗(yàn)，以驗(yàn)證理論分析結(jié)果。

1 恒流源負(fù)載V2控制Buck變換器

1.1 工作原理

恒流源負(fù)載V2控制Buck變換器的電路原理圖如圖1所示。

圖1 恒流源負(fù)載V2控制Buck變換器原理圖

恒流源負(fù)載V2控制Buck變換器的功率級(jí)主電路由輸入電壓E、輸出電容C及其ESR R0、開關(guān)管S、二極管D、恒流源負(fù)載Io和儲(chǔ)能電感L組成[2]；恒控制電路由誤差放大器、比較器、RS鎖存器、時(shí)鐘脈沖CP等組成。開關(guān)周期開始時(shí)，RS輸出高電平，S導(dǎo)通，D關(guān)斷，Uo增大。當(dāng)Uo增大到Uk時(shí)，S關(guān)斷至下一個(gè)開關(guān)周期開始[2,6]。由圖1可知，當(dāng)開關(guān)狀態(tài)發(fā)生切換時(shí)，輸出電壓Uo滿足：

Uo=Uk=K(Uref-Uo)

(1)

式中：Uref為參考電壓；K為誤差放大器的比例系數(shù)。

由式(1)可得，開關(guān)狀態(tài)發(fā)生切換時(shí)的Uo為：

(2)

1.2 狀態(tài)方程

根據(jù)開關(guān)管S和二極管D的開關(guān)狀態(tài)，Buck變換器有3種工作模式：①S導(dǎo)通、D截止；②S關(guān)斷、D導(dǎo)通；③S關(guān)斷、D截止。在斷續(xù)導(dǎo)電模式(discontinuous conduction mode,DCM)下，3種工作模式均存在；而在連續(xù)導(dǎo)電模式(continuous conduction mode,CCM)下，僅存在工作模式①和②。

設(shè)t=t0=nT為變換器在DCM模式下第n個(gè)開關(guān)周期內(nèi)的初始時(shí)刻；t=t1為S從導(dǎo)通至關(guān)斷、D從關(guān)斷至導(dǎo)通的切換時(shí)刻；t=t2為D從導(dǎo)通至關(guān)斷的切換時(shí)刻；t=t3=(n+1)T為該開關(guān)周期的終止時(shí)刻。τ1=t1-t0、τ2=t2-t1和τ3=t3-t2分別為3種不同開關(guān)狀態(tài)內(nèi)的持續(xù)時(shí)間。

則恒流源負(fù)載V2控制Buck變換器在第n個(gè)開關(guān)周期內(nèi)的狀態(tài)方程為：

(3)

1.3 二階離散映射模型

狀態(tài)變量在t=t0=nT時(shí)刻的采樣值為該開關(guān)周期的初值，可表示為xn=[Un,in]T；在t=(n+1)T時(shí)刻的采樣值為該開關(guān)周期的終值，即下個(gè)開關(guān)周期的初值，可表示為xn+1=[Un+1,in+1]T。

首先，變換器進(jìn)入工作模式①。根據(jù)式(3)的第一個(gè)方程，可得變換器經(jīng)過(guò)時(shí)間間隔τ1后，在t=t1時(shí)刻的電容電壓和電感電流分別為：U1(t1)=e-ατ1[(Un-E)cos(ωτ1)+k1sin(ωτ1)]+E

(4)

i1(t1)=e-ατ1[(in-Io)cos(ωτ1)+k2sin(ωτ1)]+Io

(5)

隨后，變換器進(jìn)入工作模式②。根據(jù)式(3)的第二個(gè)方程，以式(4)、式(5)的結(jié)果為初值，可得變換器經(jīng)過(guò)時(shí)間間隔τ2后,在t=t2時(shí)刻的電容電壓和電感電流分別為：

U2(t2)=e-αt2[U1(t1)cos(ωτ2)+k3sin(ωτ2)]

(6)

i2(t2)=e-αt2{[i1(t1)-Io]cos(ωτ2)+k4sin(ωτ2)}+Io

(7)

最后，變換器進(jìn)入工作模式③。根據(jù)式(3)的第3個(gè)方程，以式(6)、式(7)的結(jié)果為初值，可得變換器經(jīng)過(guò)時(shí)間間隔τ3后，在t=t3時(shí)刻的電容電壓和電感電流分別為：

(8)

i3(t3)=0

(9)

由V2控制Buck變換器的原理可知，當(dāng)Uo(t1)=Uk時(shí)，開關(guān)管由導(dǎo)通切換為關(guān)斷，故工作模式①至

工作模式②的切換條件為：

U1(t1)+R0i1(t1)-R0I0=Uk

(10)

由式(10)可借助數(shù)值計(jì)算方法求出τ1。當(dāng)變換器工作于CCM時(shí)，τ2=T-τ1、τ3=0；而當(dāng)變換器工作于DCM時(shí)，令式(7)中的i2(t2)=0，可求出τ2，則τ3=T-τ2-τ1。得到τ1和τ2后，根據(jù)式(4)～式(9),可分別得到τ1≥T、τ1+τ2>T、τ1+τ2≤T這3種情況下的二階離散迭代映射模型。

當(dāng)τ1≥T時(shí)，在第n個(gè)開關(guān)周期內(nèi)，變換器始終運(yùn)行在工作模式①，則此時(shí)二階離散迭代映射模型為：

(11)

當(dāng)τ1+τ2>T時(shí)，變換器于CCM工作，此時(shí)二階離散迭代映射模型為：

(12)

當(dāng)τ2+τ2≤T時(shí)，變換器于DCM工作，此時(shí)二階離散迭代映射模型為：

(13)

式(11)～式(13)構(gòu)成了V2控制Buck變換器的二階離散迭代映射模型。

定義變換器的輸出電壓邊界Ub為在時(shí)鐘周期開始時(shí)的輸出電壓值，在時(shí)鐘周期結(jié)束時(shí)輸出電壓剛好到達(dá)控制電壓Uk。結(jié)合式(4)和式(5)，可得邊界值Ub為：

(14)

2 動(dòng)力學(xué)行為分析

2.1 分岔分析

根據(jù)式(11)～式(13)的二階離散迭代映射模型，選擇表1所示電路參數(shù)，以輸出電容ESR和恒流源負(fù)載為分岔參數(shù)，得到的數(shù)值仿真分岔圖如圖2所示。

表1 電路參數(shù)

圖2 數(shù)值仿真分岔圖

圖2(a)和圖2(c)中，Io=1 A，R0=0.05～0.35 Ω。

當(dāng)R0>0.284 Ω時(shí)，變換器工作在穩(wěn)定的CCM周期振蕩狀態(tài)；隨著R0的減小，在R0= 0.284 Ω處，變換器經(jīng)倍周期分岔[10]進(jìn)入到CCM次諧波振蕩狀態(tài)；在R0=0.27 Ω處，變換器發(fā)生工作模式轉(zhuǎn)移，從CCM次諧波振蕩狀態(tài)進(jìn)入DCM次諧波振蕩狀態(tài)；隨著R0的繼續(xù)減小，在R0=0.103 Ω和R0=0.085 Ω處，變換器的運(yùn)行軌道與邊界發(fā)生碰撞而引發(fā)邊界碰撞分岔；在R0=0.072 Ω處運(yùn)行軌道經(jīng)邊界碰撞分岔進(jìn)入DCM混沌振蕩狀態(tài)。由分岔分析可知，通過(guò)增大R0，可使恒流源負(fù)載V2控制Buck變換器工作在穩(wěn)定的CCM周期振蕩狀態(tài)。

圖2(b)和圖2(d)中:R0=0.1 Ω，Io=0.6～1.6 A。當(dāng)Io<0.72 A時(shí)，變換器工作在穩(wěn)定的DCM周期振蕩狀態(tài)；隨著Io的增大，在Io=0.72 A處，變換器經(jīng)倍周期分岔進(jìn)入到DCM次諧波振蕩狀態(tài)；隨著Io的繼續(xù)增大，在Io=1.094 A和Io=1.388 A處，變換器分別發(fā)生了邊界碰撞分岔和第二次倍周期分岔；在Io=1.43 A處，運(yùn)行軌道經(jīng)邊界碰撞分岔進(jìn)入DCM混沌振蕩狀態(tài)[10-12]。由分岔分析可知，通過(guò)減小恒流源負(fù)載Io，可使恒流源負(fù)載V2控制Buck變換器工作在穩(wěn)定的DCM周期振蕩狀態(tài)。

2.2 穩(wěn)定性分析

對(duì)離散迭代映射模型不動(dòng)點(diǎn)處的雅克比矩陣及其特征根進(jìn)行分析，可確定開關(guān)變換器穩(wěn)態(tài)工作時(shí)的穩(wěn)定性[2]。令xn+1=xn=XQ，恒流源負(fù)載V2控制Buck變換器的離散迭代模型在不動(dòng)點(diǎn)XQ處的雅克比矩陣為：

(15)

式中：J11=?Un+1/?Un;J12=?Un+1/?in;J21=?in+1/?Un;J22=?in+1/?in。

以τ1≥T時(shí)為例，在第n個(gè)開關(guān)周期內(nèi)，變換器始終運(yùn)行在工作模式①，則矩陣系數(shù)Jij(i，j=1,2)分別為:

J11=e-αT[cos(ωT)+αsin(ωT)/ω]

(16)

J12=e-αTsin(ωT)/ωC

(17)

J21=-e-αTsin(ωT)/ωL

(18)

J22=e-αT[cos(ωT)-αsin(ωT)/ω]

(19)

根據(jù)所得雅克比矩陣，可得相應(yīng)的特征方程為：

det [λI-Jn(XQ)]=0

(20)

由式(16)得到的2個(gè)特征值λ1和λ2的變化，可判定恒流源負(fù)載V2控制Buck變換器的穩(wěn)定運(yùn)行參數(shù)區(qū)間。

表2給出了Io=1 A，R0=0.28～0.29 Ω時(shí)的特征值。從表2可以看出，隨著R0逐漸增大，離散迭代映射模型的一個(gè)實(shí)數(shù)特征值從-1進(jìn)入單位圓，存在倍周期分岔現(xiàn)象。特征值走向分析結(jié)果與分岔分析一致，驗(yàn)證了分岔圖的正確性。

表2 隨R0變化的特征值

2.3 最大Lyapunov指數(shù)

Lyapunov指數(shù)是判斷非線性系統(tǒng)存在混沌行為與否的重要手段[2,10-12]。恒流源負(fù)載V2控制Buck變換器的最大Lyapunov指數(shù)可表示為：

(21)

根據(jù)式(17)可知，與圖2對(duì)應(yīng)的最大Lyapunov指數(shù)譜如圖3所示。

圖3 最大Lyapunov指數(shù)譜

由圖3(a)可以看出，當(dāng)R0>0.072 Ω時(shí)，λm>0，變換器處于混沌振蕩狀態(tài)；當(dāng)R0=0.085 Ω時(shí)，λm從負(fù)數(shù)上升到零，對(duì)應(yīng)圖2(a)中的第一次邊界碰撞分岔點(diǎn)；當(dāng)R0=0.103 Ω時(shí)，λm從負(fù)數(shù)上升到零，對(duì)應(yīng)圖2(a)中的第二次邊界碰撞分岔點(diǎn)；當(dāng)0.103 Ω

由圖3(b)可看出，當(dāng)Io<0.72 A時(shí)，變換器處于周期振蕩狀態(tài)；當(dāng)Io= 0.72 A時(shí)，λm上升到零，對(duì)應(yīng)圖2(b)中的倍周期分岔點(diǎn)；當(dāng)0.72 A1.43 A時(shí)，變換器處于混沌振蕩狀態(tài)，且在Io>1.43 A區(qū)間有小部分范圍內(nèi)λm<0，說(shuō)明變換器存在周期窗。對(duì)比圖2與圖3，可以看出分岔分析結(jié)果與最大Lyapunov指數(shù)分析結(jié)果一致。

3 工作狀態(tài)分析

由分岔分析可知，在R0減小的過(guò)程中，存在工作模式轉(zhuǎn)移。通過(guò)Matlab與PSIM仿真，得到CCM下R0-C平面上的穩(wěn)定與不穩(wěn)定區(qū)域分布圖如圖4所示。

圖4 穩(wěn)定與不穩(wěn)定區(qū)域分布圖

R0-C平面上的工作狀態(tài)邊界值如表3所示。

表3 R0-C平面上工作狀態(tài)邊界值

由表3可知，恒流源負(fù)載V2控制Buck變換器中，R0的穩(wěn)定CCM邊界值隨著輸出電容C的變化而不斷變化；R0×C的穩(wěn)定邊界值與開關(guān)周期T呈現(xiàn)非線性關(guān)系，與電阻負(fù)載V2控制Buck變換器有著顯著區(qū)別。

4 電路仿真與試驗(yàn)驗(yàn)證

4.1 電路仿真

利用PSIM軟件，搭建恒流源負(fù)載V2控制Buck變換器的仿真電路，并對(duì)其進(jìn)行PSIM仿真。采用表1參數(shù)，其他電路參數(shù)保持不變，以R0為例，得到不同參數(shù)下的輸出電壓Uo的時(shí)域波形圖如圖5所示。

圖5 PSIM仿真波形圖

由圖5(a)可知，當(dāng)R0=0.3 Ω時(shí)，變換器工作在CCM周期振蕩狀態(tài)；由圖5(b)可看出，當(dāng)R0=0.05 Ω時(shí)，變換器工作在DCM混沌振蕩狀態(tài)。PSIM仿真結(jié)果與分岔分析結(jié)果一致。

4.2 試驗(yàn)驗(yàn)證

為進(jìn)一步驗(yàn)證理論分析結(jié)果，以R0為例，選擇與PSIM仿真相同的參數(shù)，建立相應(yīng)的試驗(yàn)平臺(tái)進(jìn)行驗(yàn)證。誤差放大器選用LM358N，比較器采用LM319，RS觸發(fā)器采用芯片74ALS02，MOSFET開關(guān)管采用IRF3205N，選用IR2125芯片作為MOS管的驅(qū)動(dòng)。為保證試驗(yàn)的準(zhǔn)確性，試驗(yàn)操作時(shí)使用電子負(fù)載來(lái)替代恒流源負(fù)載和輸出電容ESR。此外，時(shí)鐘脈沖CP由雙蹤信號(hào)發(fā)生器提供。

保持其他電路參數(shù)不變，不同R0下輸出電壓紋波ΔUo時(shí)域波形圖如圖6所示。

從圖6可看出，當(dāng)R0=0.3 Ω時(shí)，變換器工作于CCM周期振蕩狀態(tài)；當(dāng)R0=0.05 Ω時(shí)，變換器工作于DCM混沌振蕩狀態(tài)。隨著R0的減小，變換器由CCM周期振蕩狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)镈CM混沌振蕩狀態(tài)。試驗(yàn)結(jié)果與PSIM仿真結(jié)果、分岔分析結(jié)果一致。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文通過(guò)恒流源負(fù)載V2控制Buck變換器在3種工作模式下的狀態(tài)方程，導(dǎo)出了它的二階離散迭代映射模型，并基于該模型研究了輸出電容ESR和恒流源負(fù)載對(duì)變換器的動(dòng)力學(xué)特性影響。分岔分析結(jié)果表明：隨著輸出電容ESR的逐漸減小或恒流源負(fù)載的增大，變換器將逐漸從穩(wěn)定的CCM周期振蕩狀態(tài)經(jīng)倍周期、邊界碰撞等分岔行為進(jìn)入次諧波振蕩狀態(tài)，最終進(jìn)入不穩(wěn)定的混沌振蕩狀態(tài)。

通過(guò)特征值變化和最大李雅普諾夫指數(shù)研究了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。研究結(jié)果表明，輸出電容ESR越大，變換器的工作狀態(tài)越趨于穩(wěn)定；輸出電容ESR越小，變換器越容易進(jìn)入到DCM混沌振蕩狀態(tài)，結(jié)論與分岔分析一致。此外，本文研究了在R0-C平面上的工作狀態(tài)區(qū)域分布。PSIM仿真和電路試驗(yàn)很好地驗(yàn)證了理論分析的正確性。

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Stability Analysis of V2Controlled Buck Converter with Constant Current Source Load

WU Zhimin,YANG Yan,SHI Guodong,BAO Bocheng,YAO Kaiwen

(School of Information Science and Engineering,Changzhou University,Changzhou 213164,China)

Switching converter with constant current source load has a wide application prospect in the lighting field of emitting diode,and therefore the study of V2controlled buck converter with constant current source load has theoretical significance and application value.In order to investigate the influence of circuit parameters on stability of V2controlled buck converter with constant current source load,a second order discrete iterative mapping model is established，based on which the bifurcation diagrams with the variations of the equivalent series resistance of output capacitor and constant current source load are obtained.The results show that the converter has complex dynamic behavior when the equivalent series resistance of output capacitor and constant current source load change.Stability of the system is analyzed by using the eigenvalues and maximum Lyapunov exponent,which validates the correctness of bifurcation analysis.The operation state boundaries between the output capacitor and its equivalent series resistance are obtained by numerical simulations,and the nonlinear relationship between the stable critical value of output capacitor time constant and the switching cycle is revealed.Based on PSIM circuit simulations and circuit experiments,the time domain waveforms under different equivalent series resistance of output capacitor are received.Thus,the effectiveness of the second order discrete iterative mapping model and the correctness of theoretical analysis are verified.

Power electronics; Diode; Constant current source load; Buck converter; Output capacitor; Stability analysis

常州市自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(CJ20159026)

吳志敏(1977—)，女，碩士，講師，主要從事電能變換與控制技術(shù)的研究。E-mail:wuzhimin@cczu.edu.cn。 楊艷(通信作者)，女，在讀碩士研究生，主要從事電能變換與控制技術(shù)的研究。E-mail:yangyan_Tiffany@163.com。

TH82;TP391

A

10.16086/j.cnki.issn1000-0380.201704017

修改稿收到日期：2017-01-16