☉山東萊蕪市雪野旅游區(qū)雪野中心中學(xué)錢加坤

運(yùn)用習(xí)題變換策略，促進(jìn)可持續(xù)發(fā)展

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習(xí)題教學(xué)是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，如何利用習(xí)題教學(xué)促進(jìn)學(xué)生可持續(xù)發(fā)展是值得我們探討的課題.

一、運(yùn)用一題多解，拓展思維寬度

促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)能力可持續(xù)發(fā)展，首先要從拓展學(xué)生思維寬度的角度來(lái)思考.數(shù)學(xué)知識(shí)靈活多變，很多疑難復(fù)雜的問(wèn)題更不會(huì)直截了當(dāng)?shù)匕凑粘Ｒ?guī)分析思路提供條件.因此，學(xué)生對(duì)于一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的思考途徑絕不能局限于唯一的一種，而是要學(xué)會(huì)從多個(gè)角度分析同一問(wèn)題，為同一個(gè)問(wèn)題找到多種求解方法.

例如，在帶領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)了相似三角形內(nèi)容之后，我為學(xué)生設(shè)計(jì)了這樣一道習(xí)題：如圖1所示，現(xiàn)有一個(gè)邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別在BC邊和CD邊上運(yùn)動(dòng)，且始終保持MA⊥MN.（1）求證：Rt△ABM∽R(shí)t△MCN.（2）若將MB的長(zhǎng)度表示為x，將梯形ABCN的面積表示為y，二者之間具有怎樣的函數(shù)關(guān)系？要使得四邊形ABCN的面積最大，點(diǎn)M需要運(yùn)動(dòng)到何位置？（3）要使得Rt△ABM∽R(shí)t△AMN，點(diǎn)M需要運(yùn)動(dòng)到何位置？x的取值如何？這道題的第三問(wèn)解法比較靈活，通過(guò)不斷啟發(fā)學(xué)生，大家共找到了四種解答方法：一是由相似三角形邊之間的比值關(guān)系推導(dǎo)，二是作ME⊥AN于E，三是延長(zhǎng)NM交直線AB于E，四是設(shè)MB長(zhǎng)為x并列方程.就這樣，學(xué)生很自然地借助一道習(xí)題拓展出了四種分析思路.

圖1

對(duì)于初中數(shù)學(xué)中很多具有靈活空間的問(wèn)題來(lái)講，其解答方法都不是唯一的.以往，學(xué)生總會(huì)認(rèn)為這樣的題目難度大，找到最簡(jiǎn)單的一種解法之后就懶得繼續(xù)思考了.但在教師的啟發(fā)鼓勵(lì)下，一旦學(xué)生成功找到了該題目的其他解法，便會(huì)感受到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的魅力所在，有效拓展思維寬度也就不是難題了.

二、運(yùn)用一題多變，提高靈活分析能力

數(shù)學(xué)習(xí)題的變換入口有很多，除了從解答的環(huán)節(jié)入手，還可以對(duì)提問(wèn)環(huán)節(jié)加以關(guān)注.從一道習(xí)題出發(fā)，對(duì)題目的條件設(shè)計(jì)方式或問(wèn)題提出形式進(jìn)行變換，同樣可以提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，并在逐一進(jìn)行分析時(shí)實(shí)現(xiàn)知識(shí)能力的提升.

例如，學(xué)生學(xué)過(guò)多邊形的知識(shí)后，我向大家呈現(xiàn)了如下一系列變式習(xí)題：（1）如圖2所示，四邊形ABCD是正方形，∠MAN為45°，現(xiàn)將該角繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別為角的兩邊與BC和CD的交點(diǎn).當(dāng)BM與DN不等長(zhǎng)時(shí)，BM、DN、MN之間的數(shù)量關(guān)系如何？（2）如圖3所示，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別在BC和CD上，∠MAN為45°，AG⊥MN，則AG與正方形邊長(zhǎng)間的數(shù)量關(guān)系如何？（3）如圖4所示，在△MNA中，∠MAN為45°，AG⊥MN，MG長(zhǎng)1，NG長(zhǎng)3，則AG的長(zhǎng)和△MNA的面積是多少？（4）如圖5所示，四邊形ABCD是梯形，AD∥BC，BE平分∠ABC，CE=2DE，且四邊形ADEB的面積是1，則梯形ABCD的面積是多少？（5）如圖6所示，若在凸八邊形ABCDEFGH中，邊AB、BC、CD、DE、EF、FG的長(zhǎng)度依次為7、4、2、5、6、2，其八個(gè)內(nèi)角大小相等，則其周長(zhǎng)是多少？這樣的持續(xù)變式下來(lái)，學(xué)生很自然地在不斷變換思維的同時(shí)使得自己的分析能力靈活了許多.

圖2

圖3

圖4

圖5

圖6

在一題多變的過(guò)程中，表面看來(lái)，學(xué)生面前出現(xiàn)了數(shù)量翻倍的習(xí)題，但追根尋源便會(huì)發(fā)現(xiàn)，這些習(xí)題所指向的知識(shí)內(nèi)容或思想方法都是統(tǒng)一的，只是以不同的問(wèn)題形式展現(xiàn)出來(lái)而已.因此，習(xí)題的變換并不會(huì)為學(xué)生增加過(guò)多思維負(fù)擔(dān)，反而會(huì)有效助力分析能力的靈活深入.

三、運(yùn)用一題多問(wèn)，延續(xù)思考深度

初中數(shù)學(xué)中的問(wèn)題情境并不是只能進(jìn)行一次性適用，對(duì)于同一個(gè)知識(shí)內(nèi)容或思想方法，往往可以通過(guò)同一道習(xí)題加以訓(xùn)練.這主要是從縱向上對(duì)數(shù)學(xué)思考的深度進(jìn)行延續(xù).圍繞一個(gè)基本問(wèn)題內(nèi)容順次提出多個(gè)問(wèn)題，全方位考查知識(shí)掌握情況，既能大大節(jié)約教學(xué)資源，又能在最大化挖掘習(xí)題素材的同時(shí)實(shí)現(xiàn)學(xué)生分析思維的深化.

例如，在二次函數(shù)知識(shí)的教學(xué)過(guò)程中，我以這樣一道習(xí)題幫助學(xué)生掌握重點(diǎn)：有一條拋物線y=x2+（b-1）x+ c，點(diǎn)P（-1，-2b）在該拋物線上.（1）b+c的值是多少？（2）如果b的值為3，這條拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是什么？（3）若b＞3，過(guò)點(diǎn)P作PA⊥y軸，并與y軸和拋物線分別相交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，且有BP=2AP，能否求出這條拋物線的解析式？對(duì)于同一個(gè)拋物線問(wèn)題情境，共提出了三個(gè)層層遞進(jìn)的問(wèn)題.特別是最后一問(wèn)，通過(guò)作出圖7輔助分析，學(xué)生先后找出了三種不同的解答方法.從這些問(wèn)題中，大家不僅鞏固了拋物線的基礎(chǔ)知識(shí)，更結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想讓自己的思考走向深入.

圖7

一題多問(wèn)的形式在初中數(shù)學(xué)各類考試中并不鮮見，也經(jīng)常會(huì)成為學(xué)生有效得分的難點(diǎn)所在.大多數(shù)學(xué)生只能順利解答第一問(wèn)或前幾問(wèn)，想要把最后一問(wèn)也完整解答不那么容易.因此，很多學(xué)生看到這種帶有多個(gè)問(wèn)題的習(xí)題總是心有畏懼.在平時(shí)的教學(xué)過(guò)程中多運(yùn)用一題多問(wèn)的模式，能夠讓學(xué)生盡快適應(yīng)這種習(xí)題形式，并在延續(xù)思考深度的同時(shí)提高解題正確率.

四、運(yùn)用一題多思，發(fā)現(xiàn)規(guī)律方法

為了收獲高質(zhì)高效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，教師一定要帶領(lǐng)學(xué)生把每一個(gè)學(xué)習(xí)步驟落實(shí)到位，并盡可能多地將其中的實(shí)質(zhì)價(jià)值挖掘出來(lái).這就需要學(xué)生勤于思考，并且進(jìn)行有效思考.具體至習(xí)題訓(xùn)練中，就是要做到一題多思，對(duì)同一個(gè)題目開展多方位思考，達(dá)到“一次解題，多方收獲”的理想效果.

圖8

例如，在一次考試中曾經(jīng)出現(xiàn)這樣一個(gè)題目：如圖8所示，平面直角坐標(biāo)系中有點(diǎn)A（-1，4）、B（2，2）、C（4，-1），則以其為頂點(diǎn)的三角形面積是多少？在這道題的解答過(guò)程中，最為關(guān)鍵的地方在于將這個(gè)三角形進(jìn)行巧妙轉(zhuǎn)化，既可以沿著過(guò)點(diǎn)B的豎直線將三角形分割，也可以分別過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)C作x軸和y軸的垂線并相交，對(duì)三角形進(jìn)行補(bǔ)形，大大降低求解難度.對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，我引導(dǎo)學(xué)生深入到規(guī)律方法的層面進(jìn)行思考，大家發(fā)現(xiàn)，“轉(zhuǎn)化”是巧妙解題的精髓所在.由此，轉(zhuǎn)化思想也開始在學(xué)生的頭腦中萌芽了.

在每一次解題完成之后，教師都應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行全面完整的反思.這個(gè)反思活動(dòng)的對(duì)象并不僅僅局限于具體的知識(shí)內(nèi)容上，還要向深層次加以延伸，力爭(zhēng)從每次解題中都能夠提煉總結(jié)出一些分析解答的規(guī)律方法來(lái)，為日后的問(wèn)題思考作好鋪墊.通過(guò)多次開展一題多思，學(xué)生逐漸建立起了“回頭看”的思想意識(shí)，不僅鞏固了知識(shí)基礎(chǔ)，更發(fā)現(xiàn)了許多升華性的有價(jià)值的經(jīng)驗(yàn).

只要仔細(xì)觀察便會(huì)發(fā)現(xiàn)，在初中數(shù)學(xué)中，無(wú)論是基礎(chǔ)問(wèn)題還是復(fù)雜問(wèn)題，都具有持續(xù)深入的抓手.把握住一個(gè)題目，對(duì)其從廣度和深度進(jìn)行雙向拓展，便可以在動(dòng)用最少教學(xué)資源的前提下實(shí)現(xiàn)最為連續(xù)有效的教學(xué)效果.對(duì)于初中數(shù)學(xué)教學(xué)來(lái)講，無(wú)論是從提高教學(xué)效率的角度還是從強(qiáng)化教學(xué)實(shí)效的角度來(lái)講，以習(xí)題變換為入口，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)能力可持續(xù)發(fā)展的思路都是十分可取的.