☉江蘇南京市雨花臺區(qū)教師發(fā)展中心劉春書

尋思維起點(diǎn)揭問題本質(zhì)
——對一道中考題變式分析及探索

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解決問題的過程中經(jīng)常會沒有方向，思維迷茫，如何喚醒思維是我們一直所追尋的，只有靜下來思考解題的思維起點(diǎn)在何處.另外問題得以解決不是終點(diǎn)，可能才是起點(diǎn)，只有讓問題的條件從特殊到一般，盡管解法在減少，但本質(zhì)在顯現(xiàn).筆者想通過一道中考題的變式分析及探索與大家一同來體驗(yàn)：“思維起點(diǎn)在何處？問題本質(zhì)在何方？”

一、問題呈現(xiàn)

題目：（2014年武漢中考題改編）如圖1，在四邊形ABCD中，AD=4，CD= 3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，求BD的長度.

圖1

二、思維的起點(diǎn)

1.思維的準(zhǔn)備階段.

（1）分析“條件是什么”.

認(rèn)真審題，弄清題意，需將條件進(jìn)行分解和重組，搞清楚條件是什么，能得到什么.比如本問題：

重組2：∠ABC=∠ACB=45°，可得AC=AB，∠BAC= 90°，又因?yàn)锳C的長度是定的，所以△ABC為一個(gè)形狀、大小確定的三角形（定三角形）.

（2）研究“問題是什么”.

研究問題是什么，有必要用關(guān)聯(lián)的視角去研究問題，關(guān)聯(lián)的視角又是多維的.問題本身不是孤立的，與條件緊密聯(lián)系，因此有必要從條件的視角研究問題是什么，分別研究問題與局部條件、問題與整體條件有何關(guān)聯(lián).比如本問題：與局部關(guān)聯(lián)，可以認(rèn)為BD是△ABD的一條邊；與整體關(guān)聯(lián)，可以認(rèn)為BD是四邊形ABCD的對角線.在此基礎(chǔ)上思考解決問題需要什么.

（3）明確“定的是什么”.

每一個(gè)問題必有其定的元素，未明確時(shí)思維只能在外圍打轉(zhuǎn)，一旦基于定的元素思考，問題就至簡至白.如何回歸定的元素進(jìn)行思考呢？就是基于條件思考不變的是什么，對于幾何圖形，一般研究形狀、大小、位置，同時(shí)更要研究量與量、位置與位置之間的關(guān)系，尤其注意位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系的轉(zhuǎn)化.比如，本題中“定”的有：如圖1，（1）△ADC、△ACB、△ADB、△DCB、四邊形ABCD的形狀與大??；（2）AC與AB關(guān)于點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)對稱；（3）∠ADC=∠ACB=45°的關(guān)系.

2.思維的聯(lián)想階段.

波利亞曾指出，好的思路大多來源于過去的經(jīng)驗(yàn)和以前獲得的知識.因此，不妨引導(dǎo)學(xué)生思考：“你是否曾遇到過與此相關(guān)的題目？”這個(gè)相關(guān)，并不一定是與一個(gè)曾經(jīng)求解過的題目類似，而更可能是條件存在關(guān)聯(lián)性，問題存在相似性，不僅是知識層面也可能是經(jīng)驗(yàn)層面.因此，有必要源于“條件、問題、定的元素”去思考經(jīng)驗(yàn)在哪里.本問題的經(jīng)驗(yàn)有：

圖2

經(jīng)驗(yàn)1：知三求全，即已知三角形三個(gè)條件可以確定三角形的大小與形狀，通過化斜為直便可求三角形中任何邊、角及面積等所有元素.如圖2，定△ADC可求AC；定△ACB可求BC.

經(jīng)驗(yàn)2：求一條線段有兩種常見的方法，一是利用相似，二是構(gòu)造直角三角形利用勾股定理，兩種方法都需要將BD邊放入某一個(gè)三角形中，如圖2，以BD為邊的三角形有兩個(gè)，分別為△ADB和△CDB，相似方法行不通，于是作高構(gòu)造直角三角形，共有四種作法，是否有四種方法？需研究條件確定能否求直角三角形的兩條直角邊.

經(jīng)驗(yàn)3：如圖3（2），若C是線段AB的中點(diǎn)，A、B關(guān)于中點(diǎn)C中心對稱，即可以構(gòu)造中心對稱圖形，中點(diǎn)—三角形全等—平行四邊形；如圖3（1），若在線段AB上改變點(diǎn)C的位置，則A、B關(guān)于點(diǎn)C位似，位似比為AC∶BC，即可以構(gòu)造相似；如圖3（3），若將BC繞中點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)任意角度，則AC與BC關(guān)于點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)對稱，即可以構(gòu)造旋轉(zhuǎn)全等.如圖1，本題因?yàn)锳B=AC，AB與AC就關(guān)于點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)對稱.

圖3

圖4

三、思路及解法梳理

思路1：基于經(jīng)驗(yàn)3用旋轉(zhuǎn)對稱解題.

方法1：如圖4，過點(diǎn)A作AI⊥AD，垂足為A，使得AI= AD，連接DI、CI.

由∠ACB=∠ABC=45°，得AC=AB，∠CAB=90°.

由∠IAC=∠IAD+∠DAC，∠DAB=∠CAB+∠DAC，∠CAB=∠IAD= 90°，得∠IAC=∠DAB.

由AI=AD，∠IAC=∠DAB，AC=AB，得△AIC≌△ADB，則DB=CI.

由∠CDI=∠IDA+∠ADC=45°+45°=90°，得CI=

思路2：基于經(jīng)驗(yàn)1和2解三角形.

方法2：如圖5，作CE⊥AD，垂足為E；作BF⊥AD，垂足為F.

圖5

由∠EAC+∠BAF=90°，∠EAC+∠ECA=90°，得∠BAF=∠EAC.

又AC=AB，∠F=∠CEA=90°，則△AEC≌△BFA，則BF=AE=1，AF=CE=3.

方法3：如圖6，作CE⊥AD，垂足為E；作DH⊥AB，垂足為H.

圖6

由∠EAC+∠DAH=90°，∠HDA+∠DAH=90°，得∠HDA=∠EAC.

方法4：如圖7，作CE⊥AD，垂足為E；作BM⊥DC，垂足為M.

圖7

由∠ACD+∠BCM+∠ACB=180°，∠ACD+∠CAE+∠ADC=180°，∠ADC=∠ACB，得∠BCM=∠CAE.又∠M=∠AEC，則△AEC∽△CMB.

方法5：如圖8，作CE⊥AD，垂足為E；作DG⊥BC，垂足為G.

圖8

由∠ACD+∠DCG+∠ACB=180°，∠ACD+∠EAC+∠ADC=180°，∠ADC=∠ACB，得∠DCG=∠EAC.又∠G=∠AEC，則△AEC∽△CGD.

四、變式思考

兩個(gè)定三角形拼成了一個(gè)定四邊形，本題就是求定四邊形對角線的長度，由旋轉(zhuǎn)法可知本題是求一種特殊的四邊形的對角線，最終化歸為直角三角形由勾股定理可求.如果將本題進(jìn)行一般化，也就是求任意四邊形的對角線的長度，該怎么辦？有必要研究問題的本質(zhì)是什么，方得通性通法.

變式1：如圖9，在四邊形ABCD中，AD=3，，CD=4，∠ADC=∠ACB=45°，則BD的長度為_______.

解：作BE⊥CD，垂足為E；作CF⊥AD，垂足為F.

在Rt△FCD中，由CD=4，∠CDF=45°，得DF=CF=2.

由∠ACE是△ADC的外角，得∠ACE=∠ADC+∠DAC.又∠ACE=∠ACB+∠BCE，∠ACB=∠ADC=45°，則∠CAF=∠BCE.

又∠E=∠AFC=90°，則△AFC∽△CEB.

變式意圖：原題具有很強(qiáng)的特殊性，無法體會問題的本質(zhì)，弱化條件去掉AB=AC這一特殊的條件，就沒有了旋轉(zhuǎn)對稱的條件，同時(shí)去掉∠BAC=90°，那么原來的方法2就不能再用.使得此類問題趨于一般化，求只滿足一個(gè)特殊關(guān)系∠ACB=∠ADC的四邊形的對角線長.

變式2：如圖10，在四邊形ABCD中，AD=3，CD= 7，BC=，∠ADC=45°，∠ACB= 90°，則BD的長度為________.

圖10

解：作BE⊥CD，垂足為E；作AF⊥CD，垂足為F.

則CF=CD-DF=7-3=4.

在Rt△ACF中，則AF=3，CF=4，得CA=5.

由∠ACE是△AFC的外角，得∠ACE=∠AFC+∠FAC.又∠ACE=∠ACB+∠BCE，∠ACB=∠AFC=90°，則∠CAF=∠BCE.

又∠E=∠AFC=90°，則△AFC∽△CEB.

變式意圖：變式1仍舊具有一定的特殊性，即∠ACB=∠ADC，基于特殊性得到了特殊的關(guān)系，從而利用相似刻畫了∠BCE，求出CE與BE的長度.為達(dá)本質(zhì)，有必要進(jìn)一步弱化條件，使得∠ACB≠∠ADC，但是基于問題的難度可以將∠ACB特殊化，即∠ACB=90°，在此由基本經(jīng)驗(yàn)2一線三直角，構(gòu)圖解決變式2，就是去特殊關(guān)系，留特殊值，為更一般化做準(zhǔn)備.

變式3：如圖11，在四邊形ABCD中，AD=4■ 6，CD= 8+4，BC=2，∠ADC=45°，∠ACB=60°，則BD的長度為________.

圖11

解：作BE⊥CD，垂足為E；作AG⊥CD，垂足為G；在DG上取一點(diǎn)F，使得∠AFC=60°；作CH⊥AF，垂足為H.

在Rt△FHC中，由FC=12，∠AFG=60°，得FH=6，CH= 6.

則AH=AF-FH=2.

由∠ACE是△AFC的外角，得∠ACE=∠AFC+∠FAC.又∠ACE=∠ACB+∠BCE，∠ACB=∠AFC=60°，則∠CAF=∠BCE.

又∠E=∠AHC=90°，則△AHC∽△CEB.

變式意圖：變式1與2都具有一定的特殊性，基于特殊聯(lián)想經(jīng)驗(yàn)是可以解決問題的，要想觸及問題本質(zhì)，只有進(jìn)行一般化，但是也要考慮初中學(xué)生現(xiàn)有的知識儲備，因此從特殊角進(jìn)行變式.如果問題依舊能得以解決，其實(shí)已達(dá)一般性，如果再進(jìn)一步弱化，可以利用三角函數(shù)刻畫∠ADC與∠ACB的大小，其問題解決的方法是一樣的，變式3就是針對初中學(xué)生求任意定四邊形對角線長度的通性、通法.

圖12

2.如何基于“從特殊到一般”探本質(zhì)、尋通法？

通過從特殊到一般的變式，在解法上從一般又回到特殊，因此，可以得出對于一個(gè)特殊問題會存在多種解法，但是問題趨于一般化時(shí)，問題的解法就會變少，最后留下來的方法就是問題的本質(zhì)，比如本問題，就是解以BD為邊的△BCD，基于現(xiàn)有的初中知識，只能化斜為直解直角三角形，其關(guān)鍵之處就是如何刻畫∠BCD的鄰補(bǔ)角，通過變式3可以發(fā)現(xiàn)基于定三角形創(chuàng)造出與其相等的角，進(jìn)而用相似刻畫角，最終化歸為直角三角形.因此，解決四邊形對角線的長需明確：（1）四邊形的定是借助三角形的定，也就是兩個(gè)定三角形組成一個(gè)定四邊形；（2）求對角線的長，就是解關(guān)于對角線所構(gòu)的三角形；（3）如圖9，求BE與CE時(shí)需要借助定△ADC，構(gòu)造定△ACF，在其過程中需要借助經(jīng)驗(yàn)，即∠ACB=∠ADC時(shí)可得“K”形相似，進(jìn)而得出∠CAF=∠BCE.通過本題變式發(fā)現(xiàn)基于“從特殊到一般”探本質(zhì)、尋通法的思維導(dǎo)圖如圖13所示：

五、幾點(diǎn)思考

圖13

1.如何基于“波利亞解題原理”喚醒思維？

綜觀此題解法與變式的過程，從知識技能層面看，此題主要考查解三角形、相似形、旋轉(zhuǎn)、三角形全等、勾股定理等知識.從能力層面看，此題主要考查學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)遷移能力、構(gòu)圖能力和推理能力.尤其，解決此題借助了探究三角形相似的過程中積累的方法和經(jīng)驗(yàn)，特別需要用基本圖形經(jīng)驗(yàn)與思維經(jīng)驗(yàn)相結(jié)合.如果學(xué)生從來沒有體驗(yàn)過，那么解決這個(gè)問題還是很難的.因此問題的解決是經(jīng)驗(yàn)先行，即經(jīng)歷對題目的分析，首先，思考條件是什么，從條件本身到條件重組思考定的數(shù)量或量與量之間存在的定的位置或數(shù)量關(guān)系；研究問題是什么，將問題放在局部或整體進(jìn)行思考，問題是什么，基于問題解決需要定什么.最終，基于條件、問題、定的元素思考本題相關(guān)的經(jīng)驗(yàn)是什么.基于“波利亞解題原理”發(fā)現(xiàn)遷移經(jīng)驗(yàn)的思維導(dǎo)圖如圖12所示：

英國心理學(xué)家萊士的研究表明，解決問題要經(jīng)歷準(zhǔn)備、孕育、明朗和驗(yàn)證這四個(gè)階段.因此，問題的解決需要平時(shí)在教學(xué)的過程中多一些孕育的過程，就是積累經(jīng)驗(yàn)，在問題明朗與驗(yàn)證的階段需要強(qiáng)化條件，從一般到特殊尋找問題的解法與經(jīng)驗(yàn)，然后弱化條件，從特殊到一般進(jìn)行變式，從而剖析問題的本質(zhì)，但是在問題一般化時(shí)其解法往往又是源于解決特殊所積累的經(jīng)驗(yàn).經(jīng)驗(yàn)是問題的起點(diǎn)，本質(zhì)是問題的終點(diǎn)，在此過程中需要特殊與一般相結(jié)合進(jìn)行思考.

1.劉春書.弄清楚是什么，解法自然成［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2016（1/2）.

2.劉春書.數(shù)學(xué)“哲學(xué)原理”在解題中給力［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（3）.