徐明

摘要：應(yīng)用等效非線性化方法分析了高斯白噪聲激勵(lì)作用下強(qiáng)非線性黏彈性系統(tǒng)隨機(jī)響應(yīng)。首先，通過廣義諧和變換，黏彈性作用力可近似等效為擬線性阻尼和擬線性剛度兩部分，進(jìn)而原系統(tǒng)簡化為無黏彈性項(xiàng)的非線性隨機(jī)系統(tǒng)。其次，選取一類具有待定參數(shù)的等效非線性系統(tǒng)類。該等效非線性系統(tǒng)類具有精確穩(wěn)態(tài)解，且和簡化后的非線性隨機(jī)系統(tǒng)具有相同的特性。然后，根據(jù)簡化系統(tǒng)和等效非線性系統(tǒng)類之差的均方值最小原則，最終確定等效非線性系統(tǒng)類中的待定參數(shù)。最后以該系統(tǒng)的精確穩(wěn)態(tài)隨機(jī)響應(yīng)近似表示原系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng)。本文所提方法得到的解析結(jié)果與蒙特卡洛模擬方法得到的結(jié)果符合較好，證實(shí)了該方法的正確性。

關(guān)鍵詞：黏彈性系統(tǒng)；隨機(jī)響應(yīng)；等效非線性化方法；廣義諧和變換；穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)

引言

諸如聚合物、復(fù)合材料、生物材料等黏彈性材料廣泛應(yīng)用于結(jié)構(gòu)和機(jī)械工程。與傳統(tǒng)彈性材料相比，黏彈性材料不僅可以儲(chǔ)存彈性勢能，而且類似阻尼可耗散能量。此外，黏彈性材料具有黏彈性特性——應(yīng)力松弛和蠕變特性。由于黏彈性材料的獨(dú)特性質(zhì)，它們已被應(yīng)用于機(jī)器人，高精度工業(yè)加工，航天器器件等重要領(lǐng)域。目前已有大量關(guān)于黏彈性材料研究的文獻(xiàn)，發(fā)展了不少確定性激勵(lì)情形下黏彈性非線性系統(tǒng)的分析方法和控制策略。如Han和wang研究了具有非線性阻尼的黏彈性方程，得到了能量衰減方程。Sergienko和Deineka用二次成本函數(shù)研究了具有黏彈性應(yīng)力——應(yīng)變本構(gòu)關(guān)系的復(fù)合體最優(yōu)控制問題。另一方面，由于環(huán)境中不可避免的隨機(jī)干擾，學(xué)者對(duì)黏彈性材料的研究從確定性系統(tǒng)拓寬到了隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)。Xie研究了有界噪聲激勵(lì)下二維黏彈性系統(tǒng)，得到其里亞普諾夫指數(shù)。Potapov應(yīng)用隨機(jī)平均法研究了黏彈性系統(tǒng)的穩(wěn)定性，其中黏彈性力僅考慮了阻尼效應(yīng)。Huang和xie分別應(yīng)用具有一階精度和二階精度的隨機(jī)平均法研究了單自由度黏彈性寬帶隨機(jī)激勵(lì)系統(tǒng)的矩里亞普諾夫指數(shù)。Zhu和Cai與Ling等獨(dú)立地提出了估計(jì)寬帶隨機(jī)激勵(lì)下黏彈性系統(tǒng)響應(yīng)的分析方法，后者同時(shí)還分析了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。Xiong和Zhu則基于隨機(jī)動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理，提出了非線性黏彈性系統(tǒng)隨機(jī)最優(yōu)控制策略。

目前研究黏彈性系統(tǒng)響應(yīng)的眾多方法中，隨機(jī)平均法受到了極大的關(guān)注，然而由于其受限于弱阻尼和弱激勵(lì)強(qiáng)度條件，無法推廣于大阻尼和強(qiáng)激勵(lì)情形，同時(shí)其復(fù)雜的推導(dǎo)過程難于被大多數(shù)人掌握。相反，等效非線性化方法具有分析大阻尼和強(qiáng)激勵(lì)情形的優(yōu)點(diǎn)，分析過程又簡單易懂，因而具有較大優(yōu)勢。zhu等已經(jīng)發(fā)展了哈密頓理論框架下的等效非線性化方法，并提出了三類等效準(zhǔn)則：阻尼力之差的均方值最小，單位時(shí)間內(nèi)阻尼力能量耗散之差的均方值最小及首次積分時(shí)間變化率期望相等。最近，等效非線性化方法已應(yīng)用于非彈性碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng)預(yù)測，其結(jié)果表明該方法對(duì)較強(qiáng)激勵(lì)強(qiáng)度仍具有較高精度，而求解過程十分直觀簡潔。

本文發(fā)展了求解高斯白噪聲激勵(lì)作用下強(qiáng)非線性黏彈性系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的等效非線性化方法。首先，通過廣義諧和變換，將具有耗散和彈性回復(fù)特性的黏彈性力近似表示成關(guān)于系統(tǒng)狀態(tài)的代數(shù)表達(dá)式，并將其替代原系統(tǒng)方程的黏彈性項(xiàng)，進(jìn)而得到一不含黏彈性力的簡化非線性系統(tǒng)。其次，通過等效非線性化方法分析得到簡化系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)概率密度函數(shù)，進(jìn)而將其作為原系統(tǒng)的響應(yīng)解。最后，通過蒙特卡羅數(shù)值模擬驗(yàn)證了該方法的正確性。