關(guān)于上三角矩陣代數(shù)之間經(jīng)典伴隨交換單射

張雋,曹重光

(黑龍江大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,黑龍江 哈爾濱 150080)

關(guān)于上三角矩陣代數(shù)之間經(jīng)典伴隨交換單射

張雋,曹重光

(黑龍江大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,黑龍江 哈爾濱 150080)

令F是一個(gè)域,且|F|＞n+1,m,n為整數(shù)且m,n≥3.Tn(Tm)(F)是F上所有n×n(m×m)上三角矩陣的集合.本文中,刻畫(huà)了從Tn(F)到Tm(F)的保經(jīng)典伴隨交換的單映射,給出了映射的表達(dá)式,對(duì)相應(yīng)的方陣的工作是一個(gè)新的補(bǔ)充,所用方法是將其化歸為相應(yīng)的線性保持問(wèn)題.

域;保伴隨交換;單映射

1 引言

刻畫(huà)矩陣集合保持某些性質(zhì)的映射稱為矩陣保持問(wèn)題研究.近年來(lái),這種研究更感興趣于映射沒(méi)有線性和加法假定的情形,例如文獻(xiàn)[1],[5].本文考慮上三角矩陣代數(shù)類似文獻(xiàn)[5]的問(wèn)題.

設(shè)F是一個(gè)域,Tn(Tm)(F)是F上所有n×n(m×m)上三角矩陣的集合..設(shè)φ是Tn(F)到Tm(F)的映射.如果定義

則稱φ是一個(gè)經(jīng)典伴隨交換映射,又稱φ滿足條件(Ac?1).

本文目的是刻畫(huà)域上上三角矩陣經(jīng)典伴隨交換單射.在本文中記I為單位矩陣,用0記零元,用O記零矩陣,用F?記F中所有非0元的集合,Eij(i,j)位置是1,其余位置是零的矩陣.記[1,n]={1,2,···,n}.

引理 1.1設(shè)F為一個(gè)域,|F|＞n+1,n為整數(shù)且n≥3,令A(yù),B∈Tn,那么

(a)存在一個(gè)矩陣X∈Tn,使得rank(A+X)=rank(B+X)=n.

(b)存在一個(gè)非O的矩陣X∈Tn,A是可逆的或者X是可逆的,但不能兩者都可逆,使得rank(A+X)=n.

(c)若rank(A+B)=n,則存在一個(gè)標(biāo)量λ0∈F且λ01,使得rank(A+λ0B)=n.

證明首先，對(duì)A∈Tn作如下定義:

其中,A=aij,i,j∈[1,n].

則rank(B+X)=n.若想推出rank(A+X)=n,只需令

秩為n,即令p+ci0,i∈[1,n].故令p0,p?c1,···,p?cn,由|F|＞n+1,可推出存在X=pI?B使得rank(A+X)=rank(B+X)=n.

(b)若A是可逆的,令X=AE12,結(jié)論顯然成立.若A是奇異的,令X=cI?A,注意到,若想推出X是可逆的,只需令

秩為n,即令c?aii0,i∈[1,n],若想推出rank(A+X)=n,只需令

(c)令λ∈F且p(λ)=det(A+λB).由p(1)0,知p是一個(gè)非0多項(xiàng)式.若B=O,那么rankA=n,結(jié)論成立.若BO注意到,

秩為n?aii+bii0,i∈[1,n],

秩為n?aii+λ0bii0,i∈[1,n].顯然bii不全為0.不妨設(shè)

若bll=0,則all0,故all+λ0bll0,若bjj0,則對(duì)于由|F|＞n+1,可推出存在一個(gè)標(biāo)量λ0使得rank(A+λ0B)=n.

引理1.2設(shè)F為一個(gè)域,m,n為整數(shù)且m,n≥3,令A(yù)∈Tn,若φ:Tn→Tm為一個(gè)單射滿足(Ac?1),那么rankφ(A)=m當(dāng)且僅當(dāng)rankA=n.

證明必要性：假設(shè)rankA≤n?1,則adj(adjA)=O,由φ是單射,有φ(adj(adjA))=O,由φ滿足(Ac?1)得adj(adj(φ(A)))=O.注意到rank(φ(A))=m,則

矛盾,故

充分性:假設(shè)rankφ(A)≤m?1,則adj(adj(φ(A)))=O,由φ滿足(Ac?1)得φ(adj(adjA)) =O,由φ是單射,可得adj(adjA)=O.另一方面,由rankA=n,可得(adj(adjA))=n,推出矛盾,故rankφ(A)=m.

推論1設(shè)F為一個(gè)域,m,n為整數(shù),m,n≥3,令A(yù),B∈Tn,若φ:Tn→Tm為一個(gè)單射滿足(Ac?1),α∈F,那么rank(A+αB)=n當(dāng)且僅當(dāng)rank(φ(A)+αφ(B))=m.

證明由引理1.2得,

rank(A+αB)=n?rank(adj(A+αB))=n?rankφ(adj(A+αB))=m

?rank(adj(φ(A)+αφ(B)))=m?rank(φ(A)+αφ(B))=m.

引理 1.3令F為一個(gè)域,|F|＞n+1,m,n是整數(shù),且m,n≥3.若φ:Tn→Tm一個(gè)映射滿足(Ac?1)且φ是單射,那么φ是線性的.

證明令A(yù),B∈Tn,α∈F,由引理1.1可得rank(A+αB)=n,由引理(1.2)和推論1知φ(A+αB)和φ(A)+αφ(B)是秩m,那么,

由adj(φ(A)+αφ(B))=adj(φ(A+αB))得到,

即

類似可證

若在(1)中取A=O,αB是秩n,則有

下面分6部分進(jìn)行證明.

(a)要證對(duì)于每個(gè)非0標(biāo)量μ∈F,X∈Tn,rankX=n,有

由引理(1.1)(b)知存在一個(gè)非O的奇異矩陣Y∈Tn使rank(μX+Y)=n.由引理1.2和推論1,注意到φ(μX+Y),μφ(X)+φ(Y),φ(μX)+φ(Y)是秩m.由(1),(2)可得

因此

令a1=det(μφ(X)+φ(Y),a2=det(φ(μX)+φ(Y)),由(5)可得

假設(shè)a1a2,且rankX=n,由(3)知φ(μX)和φ(X)是線性相關(guān)的,因此φ(μX)=λφ(X), λ∈F,將其代入(6)中得到

由 φ是單射且易證 φ(O)=O可知φ(X)和φ(Y)非O,得到φ(X),φ(Y)是線性相關(guān)的且rank φ(X)=rankφ(Y).另一方面,由引理1.2,注意到φ(X)是可逆的,φ(Y)是奇異的,因此,rank φ(X)rankφ(Y),矛盾.顯然,可得到det(μφ(X)+φ(Y))=det(φ(μX)+φ(Y)),因此(4)成立.

(b)下面證明(7),即若X,Y∈Tn,rank(X+Y)=n,X,Y是線性無(wú)關(guān)的,那么φ(X), φ(Y)是線性無(wú)關(guān)的.假設(shè)φ(X),φ(Y)是線性相關(guān)的,那么存在一個(gè)標(biāo)量γ∈F使φ(Y)= γφ(X).由rank(X+Y)=n和推論1可得rank(φ(X)+φ(Y))=m,則rankφ(X)=m.由引理 1.2得到 rankX=n,因此由 (4)可得 φ(Y)=γφ(X)=φ(γX),由 φ是單射,得到Y(jié)=γX,這說(shuō)明X,Y是線性相關(guān)的,與已知矛盾,那么(7)被證明.

(c)下證(8),即若X,Y∈Tn,有0＜rankX＜n,rankY=n,rank(X+Y)=n,那么

在(1)中取α=1,得到

由|F|＞n+1和引理1.1(c)可知存在一個(gè)非0標(biāo)量α0∈F使rank(X+(1+α0)Y)=n,由(9)可得

由rankX＜n,得到1+α00且rank((1+α0)Y)=rank(α0(Y))=n,因此由(4)有φ(Y +α0(Y))=φ(Y)+φ(α0Y),則得

令b1=det(φ(X+Y)+φ(α0Y)),b2=det(φ(X)+φ(Y+α0Y)),顯然,b1,b20.由(9),注意到φ(X+Y),φ(X)+φ(Y)是線性相關(guān)的.那么存在一個(gè)標(biāo)量c1∈F使φ(X)+φ(Y)= c1φ(X+Y),由(10)得到

由X,Y線性無(wú)關(guān),得到X+Y,α0Y線性相關(guān).進(jìn)一步,由rank((X+Y)+α0Y)=n和(7)得到φ(X+Y),φ(α0Y)是線性無(wú)關(guān).由(11)可得b1=b2,因此,得到φ(X+Y)=φ(X)+φ(Y),因此(8)已被證明.

(d)下面證明 (12),即 φ的齊次性,φ(αA)=αφ(A),對(duì)于每個(gè) A∈Tn,α∈F.當(dāng)α= 0,A=O或rankA=n時(shí),(12)成立.當(dāng)α0,A是一個(gè)非O的奇異矩陣.由引理1.1(b),知存在一個(gè)可逆矩陣Z∈Tn使rank(αA+Z)=n,因此rank(A+α?1Z)=n.由(4),(8)得,φ(α(A+α?1Z))=αφ(A+α?1Z)=α(φ(A)+φ(α?1Z))=αφ(A)+αφ(α?1Z)=α(φA))+ φ(Z).另一方面,由(8)可得φ(α(A+α?1Z))=φ(αA+Z)=φ(αA)+φ(Z),因此φ(αA)= αφ(A).因此(12)已被證明.

(e)下面證明(13),即φ(X+Y)=φ(X)+φ(Y),對(duì)于每一個(gè)矩陣X,Y∈T(n),rank (X+Y)=n.下面分兩種情況討論.若X,Y是線性相關(guān)的,由rank(X+Y)=n,假設(shè)X0,那么 Y=βX,β∈F.由 φ的齊次性,知 φ(X+Y)=φ((1+β)X)=(1+β)φ(X)= φ(X)+βφ(X)=φ(X)+φ(Y).現(xiàn)在考慮X,Y是線性無(wú)關(guān)的.由引理1.1(c),知存在一個(gè)非0標(biāo)量β0∈F使得rank(X+(1+β0Y))=n.由(9)和φ的齊次性,得到

由X線性無(wú)關(guān)和(7)可得φ(X+Y),φ(β0Y)是線性無(wú)關(guān)的.由類似(11)的證明可得到det (φ(X+Y)+φ(β0Y))=det(φ(X)+φ(Y+β0Y)),因此(13)已被證明.

(f)最后證明(15),即φ是保加法的.令A(yù),B∈Tn,由引理1.1(a)知存在一個(gè)矩陣Z∈Tn使得rank(A+Z)=rank(A+B+Z)=n.由(13)注意到φ(A+B+Z)=φ(A+B)+φ(Z).另一方面,由(13)得φ(A+B+Z)=φ(A+Z)+φ(B),由rank(A+Z)=n和(13)得到φ(A+Z)=φ(A)+φ(Z).顯然可得,

因此φ(A+B)=φ(A)+φ(B),A,B∈Tn.因此φ是保加法的.綜上所訴,由φ的齊次性和φ是保加法的,可得φ是線性的.

引理 1.4[6]令F為一個(gè)域,m,n是整數(shù),且m,n≥3.若φ:Tn→Tm一個(gè)非零可加保伴隨映射滿足φ(E1n)0當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)標(biāo)量一個(gè)可逆矩陣P∈Tn和一個(gè)域F上的單自同態(tài)δ使得

或者

2 主要結(jié)果

定理2.1令F為一個(gè)域,|F|＞n+1,m,n是整數(shù),且m,n≥3.若φ:Tn→Tm一個(gè)單射滿足(Ac?1)當(dāng)且僅當(dāng)m=n,存在一個(gè)可逆矩陣P∈Tn,一個(gè)標(biāo)量λ∈F?,λn?2=1,一個(gè)域F上的單自同態(tài)δ,

使得

或者

證明由引理1.3和引理1.4,易證定理2.1.

3 結(jié)論

本文給出了在域條件|F|＞n+1下從Tn(F)到Tm(F)的保經(jīng)典伴隨交換的單映射的表達(dá)式,對(duì)文獻(xiàn)[5]的關(guān)于方陣的結(jié)果是一個(gè)重要補(bǔ)充,其創(chuàng)新點(diǎn)在于通過(guò)一系列步驟證明了映射是線性的,對(duì)同類工作有一定啟發(fā)意義.

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[3]Huang L P.Geometry of Matrices over Ring[M].Beijing:Science Press,2006.

[4]You H,Wang Z Y.K-Potence preserving maps without the Linearty and surjectivity assumptions[J].Linear Algebra Appl.,2007,426:238-254.

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[6]Zhang X,Tang X M,Cao C G.Preserver Problems on Spaces of Matrices[M].Beijing:Science Press,2007.

On classical adjoint-commuting injective mappings between upper triangular matrix algebras

Zhang Jun,Cao chongguang
(School of Mathematical Science,Heilongjiang University,Harbin 150080,China)

Let F be a field and let m and n be integers with m,n≥3,Tn(Tm)(F)be the set of all n×n(m×m) upper triangular matrices over F.This paper describes a induced map preserving classical adjoint-commuting injective mappings from Tn(F)to Tm(F),gives expressions of the map,adds the work of relevant square matrix. This paper use ways of translating the problem into relevant linear preserving problems.

field,preserving multiplicative,injective map

O178

A

1008-5513(2017)02-0204-07

10.3969/j.issn.1008-5513.2017.02.012

2016-10-10.

國(guó)家自然科學(xué)基金(11371109).

張雋(1991-),碩士生,研究方向：矩陣代數(shù).

2010 MSC:15A04