張民悅， 連愛玲

(蘭州理工大學(xué)理學(xué)院， 蘭州730050)

開關(guān)壽命連續(xù)型且部件修復(fù)非新的溫貯備可修系統(tǒng)

張民悅， 連愛玲

(蘭州理工大學(xué)理學(xué)院， 蘭州730050)

主要討論在開關(guān)不完全可靠、部件修復(fù)非新且修理工可多重休假的情況下，通過假定部件的工作壽命、貯備壽命、轉(zhuǎn)換開關(guān)的壽命以及部件1的修理時(shí)間均服從指數(shù)分布，修理工的休假時(shí)間、開關(guān)和部件2的修理時(shí)間均服從一般連續(xù)型分布，分析討論系統(tǒng)可能出現(xiàn)的狀態(tài)，利用補(bǔ)充變量法將其擴(kuò)充為廣義Markov過程，再建立狀態(tài)微分方程，并應(yīng)用Laplace變換及其反演，得到系統(tǒng)的可用度、故障頻度、系統(tǒng)等待修理的概率與修理工休假的概率、可靠度及首次故障前平均時(shí)間等重要可靠性指標(biāo)。最后給出了在開關(guān)完全可靠的情形下，即修理工多重休假且部件修復(fù)非新，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)指標(biāo)。

開關(guān)壽命連續(xù)型；修復(fù)非新；修理工多重休假；補(bǔ)充變量法；廣義Markov過程；Laplace變換

引言

溫貯備系統(tǒng)是可靠性模型中比較重要的模型之一[1-2]，此類模型從實(shí)際出發(fā)，考慮了部件在貯備過程中也會(huì)發(fā)生失效的情況。文獻(xiàn)[3]研究了2個(gè)不同部件溫貯備系統(tǒng)的幾何模型。文獻(xiàn)[4-5]研究了具有優(yōu)先權(quán)的溫貯備系統(tǒng)。以上文獻(xiàn)均未考慮修理工休假的情況，在實(shí)際中，修理工休假對系統(tǒng)有重要的作用，文獻(xiàn)[6-8]把修理工休假的情況引入到溫貯備系統(tǒng)中，研究了修理工休假情況下系統(tǒng)的可靠性。在貯備系統(tǒng)中，貯備部件通常需要轉(zhuǎn)換開關(guān)來轉(zhuǎn)換，文獻(xiàn)[9]分析了開關(guān)不完全可靠的情況下系統(tǒng)的可靠性。文獻(xiàn)[10]考慮了開關(guān)不完全可靠和修理工多重休假兩種因素下的溫貯備系統(tǒng)可靠性。

上述文獻(xiàn)都是假定在部件能夠修復(fù)如新的情況下研究的，但在實(shí)際生活中，失效部件隨著修理次數(shù)的增多，其使用壽命會(huì)越來越短，故障修理時(shí)間會(huì)越來越長。文獻(xiàn)[11-12]是修理工在不同休假情況下部件不能修復(fù)如新的溫貯備系統(tǒng)。文獻(xiàn)[13-14]研究的是修復(fù)非新的并聯(lián)系統(tǒng)。

本文在以上文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上對部件不能修復(fù)如新的溫貯備可修系統(tǒng)進(jìn)行延伸，綜合考慮了修理工休假、開關(guān)不完全可靠以及部件修復(fù)非新等因素下，應(yīng)用補(bǔ)充變量法和廣義Markov過程法得到系統(tǒng)的主要可靠性指標(biāo)。

1模型假定

根據(jù)已有文獻(xiàn)對系統(tǒng)模型做如下假定：

(1) 系統(tǒng)由兩個(gè)不同型部件、一個(gè)不完全可靠的轉(zhuǎn)換開關(guān)和一個(gè)多重休假的修理工組成。初始時(shí)刻，系統(tǒng)良好，部件1工作，部件2溫貯備，修理工休假。

(2) 部件1比部件2有優(yōu)先使用權(quán)和修理權(quán)，修理工采用多重休假的策略。

(3) 定義系統(tǒng)的第n次循環(huán)是從部件第n-1次修理完成到第n次修理完成之間的時(shí)間間隔，n=1,2,3,…。

W(t)=1-exp{-βt},β>0

開關(guān)的壽命和修理時(shí)間分別記為L,GK，其分布分別為：

L(t)=1-exp{-pt},p>0

修理工每次休假時(shí)間H(t)分布函數(shù)為：

(5)隨機(jī)變量之間均相互獨(dú)立。

2系統(tǒng)的狀態(tài)方程及其求解

令Nn(t)表示系統(tǒng)在時(shí)刻t時(shí)所處的狀態(tài)，則系統(tǒng)可能的狀態(tài)如下：

0=(a,b,c,e),1=(a,b,d,e),2=(a,g,c,e)

3=(a,g,d,e),4=(f,h,c,e),5=(f,h,d,e)

6=(a,b,k),7=(a,g,k),8=(f,h,k),9=(i,h,c)

10=(i,h,d),11=(a,j,c),12=(a,j,d)

13=(f,g,c,e),14=(f,g,d,e),15=(f,b,d,e)

16=(f,b,k),17=(f,g,k),18=(i,g,c)

19=(i,g,d),20=(f,j,c),21=(f,j,d)

其中：a表示部件1工作，b表示部件2貯備，c表示開關(guān)正常，d表示開關(guān)失效，e表示修理工休假，f表示部件1失效，g表示部件2失效，h表示部件2工作，i表示部件1修理，j表示部件2修理，k表示開關(guān)修理。顯然，系統(tǒng)的狀態(tài)空間為：

E={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13, 14,15,16,17,18,19,20,21}

系統(tǒng)的工作狀態(tài)F={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12},系統(tǒng)的故障狀態(tài)W={13,14,15,16,17,18,19,20,21},此模型過程不是Markov過程，引入補(bǔ)充變量：X(n)(t)表示在時(shí)刻t時(shí)系統(tǒng)在第n次循環(huán)中修理工已用去的休假時(shí)間，Y(n)(t)表示在時(shí)刻t時(shí)系統(tǒng)在第n次循環(huán)中正在被修理的部件已用去的修理時(shí)間，Z(n)(t)表示在時(shí)刻t時(shí)系統(tǒng)在第n次循環(huán)中開關(guān)已用去的修理時(shí)間，則{N(n)(t),X(n)(t),Y(n)(t),Z(n)(t)}構(gòu)成一個(gè)廣義Markov過程，系統(tǒng)在時(shí)刻t的狀態(tài)概率定義為：

Pi(t,x)dx=P{N(n)(t)=i,x≤X(n)(t)

i=0,1,2,3,4,5,13,14,15

Pj(t,y)dy=P{N(n)(t)=j,y≤Y(n)(t)

j=9,10,11,12,18,19,20,21

Pk(t,z)dz=P{N(n)(t)=k,z≤Z(n)(t)

k=6,7,8,16,17

為了計(jì)算的方便，引入以下變換：

拉普拉斯變換：

拉普拉斯司梯階變換：

由偏微分方程理論可得系統(tǒng)各狀態(tài)概率微分方程組：

pP2(t,x)+βP1(t,x)

?P4(t,x)

an-1λP3(t,x)+?P5(t,x)

βP16(t,z)+?P8(t,z)

an-1λP12(t,y)

初始條件：P0(0,0)=1，其余為0，邊界條件：

Pi(t,0)=0,i=1,2,3,4,5,10,12,13,14,15,19,20,21

-D3)+(D6+k2h(s+an-1λ+β+p))(g(s)-

g(s+?))+(h(s+p)-k1(D5+h(s+?+p))]

其中記

D1=h(s)-h(s+p)

D2=h(s+an-1λ)-h(s+an-1λ+p)

D3=g(s+an-1λ)-g(s+an-1λ+β)

D4=h(s+an-1λ+β)-h(s+an-1λ+β+p)

D5=h(s+an-1λ+p)-h(s+an-1λ+β+p)

D6=h(s+?)-h(s+?+p)

D7=g2(s+an-1λ)-g2(s+an-1λ+p)

D8=h(s+?+p)-h(s+an-1λ+β+p)

N=D8+(D6+k2h(s+an-1λ+β+p))g(s+?)]

3系統(tǒng)的可靠性分析

3.1系統(tǒng)的可用度

定理1系統(tǒng)的瞬時(shí)可用度為A(t)，其Laplace變換A*(s)和穩(wěn)態(tài)可用度A分別為

(1)

(2)

其中

Λ0=Γ1+Γ2

證明由系統(tǒng)瞬時(shí)可用度定義得

3.2系統(tǒng)的故障頻度

定理2系統(tǒng)的瞬時(shí)故障頻度為W(t)，其Laplace變換為

(3)

穩(wěn)態(tài)故障頻度為

(4)

其中

證明由文獻(xiàn)[15]，有

3.3系統(tǒng)等待修理的概率與修理工休假的概率

定理3記t時(shí)刻，系統(tǒng)等待修理的概率與修理工休假的概率分別為P1(t),P2(t),其Laplace變換分別為

(5)

(6)

系統(tǒng)等待修理概率和修理工休假概率的穩(wěn)態(tài)結(jié)果分別為

(7)

(8)

其中

(1-h(s+?))+?k1k4N+(D4+D7M+k1D6+

(1-h(s+an-1λ+β+p)

(1-h(an-1λ+β+p)

k1k2h(an-1λ+β+p))(1-g(0))+

證明

作Laplace變換，并將相應(yīng)各狀態(tài)方程的解帶入即可得式(5)和(6)，再根據(jù)Tanber定理，并應(yīng)用洛必達(dá)法則，得式(7)和(8)。

4系統(tǒng)的可靠度和首次故障前的平均時(shí)間

由偏微分方程理論可得微分方程組：

βQ1(t,x)

初始條件：Q0(0,0)=1，其余為0，邊界條件：

Qi(t,0)=0,i=1,2,3,4,5,10,12

對上述各式作Laplace變換并求解可得相應(yīng)的

定理4系統(tǒng)可靠度R(t)的Laplace變換為

(9)

系統(tǒng)首次故障前的平均時(shí)間為

(10)

其中

(1-h(an-1λ+β+p))

證明由可靠度定義得

5實(shí)例分析

若系統(tǒng)的部件能夠修復(fù)如新，且兩個(gè)部件同型，即系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為開關(guān)連續(xù)型且修理工多重休假的兩同型部件溫貯備系統(tǒng)，其相關(guān)可靠性指標(biāo)見文獻(xiàn)[10]。

若系統(tǒng)的轉(zhuǎn)換開關(guān)完全可靠，且轉(zhuǎn)換瞬間完成，即系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)換開關(guān)完全可靠的修復(fù)非新的溫貯備系統(tǒng)。假定兩部件的工作時(shí)間、修理時(shí)間、貯備時(shí)間以及修理工休假時(shí)間的分布都與上述模型中的假定一樣，用補(bǔ)充變量法和廣義Markov過程，再用Laplace變換，得到系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)指標(biāo)。

穩(wěn)態(tài)可用度

(11)

穩(wěn)態(tài)故障頻度

(12)

其中

Δ0=1-g2(an-1λ)[h(an-1λ)-h(an-1λ+β)]+e-bn-1μy[h(?)-h(?+an-1λ)]

g2(an-1λ)[h(an-1λ)-h(an-1λ+β)]

h(?+an-1λ)]

6結(jié)束語

本文研究了由兩個(gè)不同部件、一個(gè)修理工組成的開關(guān)不完全可靠的溫貯備可修系統(tǒng)，考慮了在開關(guān)壽命連續(xù)型、修理工多重休假和部件1不能修復(fù)如新的條件下，利用補(bǔ)充變量法和Laplace變換等工具得到了系統(tǒng)的主要可靠性指標(biāo)。本文研究結(jié)果是在已有文獻(xiàn)研究結(jié)果上的進(jìn)一步延伸，具有一定的理論價(jià)值，為工程實(shí)踐和實(shí)際生活提供了有力的依據(jù)。

[1] 曹晉華,程侃.可靠性數(shù)學(xué)引論[M].北京:高等教育出版社,2006.

[2] 程侃.壽命分布類與可靠性數(shù)學(xué)理論[M].北京:科學(xué)出版社,1999.

[3] 劉海濤,孟憲云,李芳,等.兩個(gè)不同型部件溫貯備系統(tǒng)的幾何過程模型[J].系統(tǒng)工程,2010,28(9):103-107.

[4] 張建龍,孟憲云.有優(yōu)先權(quán)的三狀態(tài)溫貯備可修系統(tǒng)的可靠性分析[J].遼寧工程技術(shù)大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2012,31(1):98-101.

[5] YUAN L,MENG X Y.Reliability analysis of a warm standby repairable system with priority in use[J].Applied Mathematical Modelling,2011,35(9):4295-4303.[6] WANG K H,SIVAZLIAN B D.Reliability of a system with warm standbys and repairmen[J].MicroelectronReliab,1989,29(5):849-860.

[7] 孟婭麗,鄭海鷹.修理工可多重休假的溫貯備系統(tǒng)[J].浙江大學(xué)學(xué)報(bào):理學(xué)版,2012,39(5):517-523.

[8] 張靜,岳德權(quán),王麗花.修理工休假的溫貯備可修系統(tǒng)的瞬時(shí)可用度分析[J].中山大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2011,50(5):28-33.

[9] 吳清太.2個(gè)不同部件組成的開關(guān)壽命連續(xù)型溫貯備系統(tǒng)的可靠性分析[J].南京理工大學(xué)學(xué)報(bào),2004,28(6):673-678.

[10] 張民悅,鄔一凡.具有多重休假開關(guān)連續(xù)型溫貯備可修系統(tǒng)的可靠性分析[J].蘭州理工大學(xué)報(bào),2015,41(5):152-156.

[11] 劉海濤,孟憲云.具有單重休假和修復(fù)不如新的兩部件溫貯備系統(tǒng)[J].自動(dòng)化學(xué)報(bào),2012,38(4):639-646.

[12] 呂文靜,鄭海鷹.修理工可延誤休假且部件不能修復(fù)如新的溫貯備可修系統(tǒng)[J].浙江大學(xué)學(xué)報(bào):理學(xué)版,2014,41(5):512-517.

[13] 金宇,孟憲云.具有多重休假和修復(fù)非新的Gaver并聯(lián)系統(tǒng)[J].鄭州大學(xué)學(xué)報(bào):理學(xué)報(bào),2015,47(3):7-16.

[14] 馬淑蓮,汪云芬.具有單重休假和修復(fù)不如新的兩部件并聯(lián)系統(tǒng)[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2011,41(16):111-116.

[15] 史定華.計(jì)算可修系統(tǒng)在(0,t]中平均故障次數(shù)的新方法[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)報(bào),1985,8(1):101-110.

Switch-continuous and Non-new Workpiece-composed Repairable Warm Standby System

ZHANGMinyue,LIANAiling

(School of Science, Lanzhou University of Technology, Lanzhou 730050, China)

Taking consideration of the incomplete reliability of switches and the non-new workpiece-composed repairable warm standby system, as well as the multiple vacation of repairman, the lifetime and storage time of workpieces, the durability of switches and the repair time of workpiece one are assumed to follow the exponential distribution; and that the multiple vacation of repairman and the repair time of switches and workpiece two are assumed to follow the ordinary continuous distribution. Supplementary variable method is applied to extend as Markov Modal in broad sense and to establish differential calculus equation. Laplace Transform and Inversion are applied to gain systemic reliability indexs such as system availability, system failure repeatability, probability of waiting to be repaired for system, probability of repairman is on vacation, system reliablity and mean time to first time. Finally, a concrete example is given under the warm standby repairable system under completely reliable switch which has approach of multiple vacation for repairman and repair non-new.

the service time of continuous switch; non-new and repairable; multiple vacation of repairmen; supplementary variable approach; Markov Modal in broad sense; Laplace Transform

2016-11-21

甘肅省自然科學(xué)基金(3ZS042-B25-016)；甘肅省科技計(jì)劃項(xiàng)目(1508RJZA101)

張民悅(1958-)，男，河南南樂人，教授，主要從事可靠性數(shù)學(xué)理論及其應(yīng)用方面的研究，(E-mail)zhangminyue@lut.cn； 連愛玲(1990-)，女，甘肅白銀人，碩士生，主要從事可靠性數(shù)學(xué)理論及其應(yīng)用方面的研究，(E-mail)1558201667@qq.com

1673-1549(2017)02-0090-08

10.11863/j.suse.2017.02.18

O213.2

A