趙秀蘭， 陳麗娟

(1.黃河科技學(xué)院數(shù)理部， 鄭州450063；2.河南工程學(xué)院理學(xué)院， 鄭州451191)

偽補(bǔ)Ockham代數(shù)核理想同余關(guān)系的注記

趙秀蘭1， 陳麗娟2

(1.黃河科技學(xué)院數(shù)理部， 鄭州450063；2.河南工程學(xué)院理學(xué)院， 鄭州451191)

Ockham代數(shù)；偽補(bǔ)Ockham代數(shù)；理想；核理想；同構(gòu)

Blyth和Varlet首次在文獻(xiàn)[1]中研究了偽補(bǔ)Ockham代數(shù)(L;∧,∨,f,*0,1)，簡稱pO代數(shù)，它是一個(2,2,1,1,0,1)類型的代數(shù)類，是在有界分配格上賦予兩個一元運(yùn)算f,*的代數(shù)，(L;∧,∨,f,0,1)∈O,(L;∧,∨,*0,1)∈p且一元運(yùn)算f,*滿足交換律(p代數(shù)，Ockham代數(shù)，pO代數(shù)的詳細(xì)信息見文獻(xiàn)[2-5])。在泛代數(shù)研究領(lǐng)域，對代數(shù)結(jié)構(gòu)的研究，一直是本專業(yè)學(xué)者關(guān)注的方向。借助理想和濾子是認(rèn)識Ockham代數(shù)類的結(jié)構(gòu)及同余關(guān)系的一個重要工具，特別是核理想與余核濾子，根據(jù)核理想與余核濾子同余關(guān)系反映Ockham代數(shù)類的結(jié)構(gòu)見文獻(xiàn)[6-14]。在文獻(xiàn)[6]中，作者借助核理想與余核濾子的同余關(guān)系刻畫了偽補(bǔ)Ockham代數(shù)的結(jié)構(gòu)。本文將在文獻(xiàn)[6]的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步的探討、刻畫偽補(bǔ)Ockham代數(shù)核理想同余關(guān)系的性質(zhì)特征，反映偽補(bǔ)Ockham代數(shù)屬性。

1基本知識

定義2[15]設(shè)(L;∧,∨)是一個格，I是格L的子格，若x,y∈L，y≤x∈I總有y∈I，稱子格I是格L的理想。

定義3[1]設(shè)(L;∧,∨,0,1)是一個有界分配格，其上賦予兩個一元運(yùn)算*和f，且(1)(L;*)∈p;(2)(L;f)∈O;(3)(x∈L)f(x*)=[f(x)]*,稱(L;∧,∨,*,f,0,1)是偽補(bǔ)Ockham-代數(shù)(簡稱pO-代數(shù))。

定義4[6]設(shè)(L;∧,∨,f,*,0,1)∈pO，θ是L的一個格同余關(guān)系，若(x,y)∈θ?(x*,y*)∈θ,(f(x),f(y))∈θ，則稱θ是L的同余關(guān)系。符號ConL表示L的全體同余關(guān)系構(gòu)成的集合。

引理1[6]設(shè)L∈pO，I是L的理想，則下面的條件成立：I是L的核理想當(dāng)且僅且(?a∈L)a∈I?a**,f(a*)∈I。

引理2[6]設(shè)L∈pO，I是L的核理想，則I=KerRI，其中同余關(guān)系RI定義為：(x,y)∈RI?(?a∈I)x∧a*=y∧a*。

設(shè)(L;∨,∧,f,*)是一個偽補(bǔ)Ockham代數(shù)，在文獻(xiàn)[6]中，由核理想I能構(gòu)造一個與核理想對應(yīng)的同余關(guān)系，那么，核理想與核理想對應(yīng)的同余關(guān)系能否構(gòu)成一一對應(yīng)。

2主要結(jié)果

設(shè)L∈pO，符號I(L),Ik(L)分別表示L的理想和核理想構(gòu)成的集合，則I(L),Ik(L)之間存在下列關(guān)系。

定理1Ik(L)是I(L)的一個子格。

證明令I(lǐng),J∈Ik(L)，下證I∧J,I∨J∈Ik(L)。

設(shè)x∈I∧J,則x∈I,x∈J。又因I,J∈Ik(L)，由引理1知，x**,f(x*)∈I且x**,f(x*)∈J，故x**,f(x*)∈I∧J，又由引理1知，I∧J∈Ik(L)。

令x∈I∨J，由引理1知，存在i∈I及j∈J使得x≤i∨j。由文獻(xiàn)[6]知，x**≤i**∨j**和f(x*)≤f(i*)∨f(j*)，又因I,J∈Ik(L)，所以由引理1知，i**∈I,f(i*)∈I且j**∈J,f(j*)∈J。因此x**,f(x*)∈I∨J。從而由引理1得I∨J∈Ik(L)。所以Ik(L)是I(L)的一個子格。

設(shè)L是一個偽補(bǔ)Ockham代數(shù)，I是L的一個核理想，具有核理想I的最小同余關(guān)系RI，沿用文獻(xiàn)[6]中的定義，即(x,y)∈RI?(?a∈I)x∧a*=y∧a*。設(shè)L∈pO，θ,φ∈ConL，定義L上的一個等價關(guān)系，(x,y)∈θ°φ?(?z∈L)(x,z)∈θ,(z,y)∈φ。顯然，θ°φ是L上的同余關(guān)系。

若θ,φ∈ConL，且θ,φ滿足關(guān)系式θ°φ=φ°θ，則稱同余關(guān)系θ,φ具有同余置換性。對于任意的I,J∈Ik(L)，則RI,RJ具有同余置換性。

定理2設(shè)L是一個偽補(bǔ)Ockham代數(shù)，I,J∈Ik(L)，則RI°RJ=RJ°RI。

證明假設(shè)(x,y)∈RI°RJ,則存在z∈L，使得(x,z)∈RI,(z,y)∈RJ，于是存在i∈I,j∈J，有x∧i*=z∧i*,z∧j*=y∧j*，所以x∧i*∧j*=y∧i*∧j*。

令s=(x∧j*)∨(y∧i*)，從而可得

同理可證，RJ°RI?RI°RJ。所以，RI°RJ=RJ°RI。

下面，探討偽補(bǔ)Ockham代數(shù)的核理想及其同余關(guān)系之間的聯(lián)系。

定理3設(shè)L是一個偽補(bǔ)Ockham代數(shù)，I,J∈Ik(L)，則I?J?RI?RJ。

證明設(shè)I,J∈Ik(L)，I?J，根據(jù)RI,RJ的定義，可得RI≤RJ。

另一方面，設(shè)I,J∈Ik(L)，RI≤RJ，則KerRI≤KerRJ。由引理2知，I=KerRI,J=KerRJ，所以I?J。定理得證。

定理4設(shè)L是一個偽補(bǔ)Ockham代數(shù)，則Ik(L)?Ck(L)。

證明顯然，R{0}=ω(相等關(guān)系)及RL=ι(泛同余關(guān)系)。

先證對任意的I,J∈Ik(L)，有RI∧RJ=RI∧J。由定理1知，I∧J∈Ik(L)。因?yàn)镮∧J≤I,I∧J≤J，故由定理3知，RI∧J≤RI,RI∧J≤RJ，所以RI∧J≤RI∧RJ。

設(shè)(x,y)∈RI∧RJ，由文獻(xiàn)[15]知，(x,y)∈RI且(x,y)∈RJ。因此存在i∈I,j∈J使得x∧i*=y∧i*,x∧j*=y∧j*，于是有x∧(i∧j)*=y∧(i∧j)*，又因i∧j∈I∧J，所以(x,y)∈RI∧J，故RI∧RJ≤RI∧J，所以RI∧RJ=RI∧J。

證對任意的I,J∈Ik(L)，有RI∨RJ=RI∨J。由定理1知，I∨J∈Ik(L)。由于I∨J≥I,I∨J≥J，由定理3知，RI∨J≥RI,RI∨J≥RJ，所以RI∨J≥RI∨RJ。

設(shè)(x,y)∈RI∨J，則存在i∈I及i∈J使x∧i*∧j*=y∧i*∧j*，于是有

因此(x,y)∈RI∨RJ，從而有RI∨J≤RI∨RJ，故RI∨RJ=RI∨J。又因RI=RJ當(dāng)且僅當(dāng)I=KerRI=KerRJ=J，因此映射：I→RI建立起Ik(L)→Ck(L)的一一對應(yīng)，所以Ik(L)?Ck(L)。

3結(jié)束語

本文在文獻(xiàn)[6]的基礎(chǔ)上，對偽補(bǔ)Ockham代數(shù)的核理想同余關(guān)系作了一個補(bǔ)充，借助偽補(bǔ)Ockham代數(shù)的核理想判別定理以及具有核理想同余關(guān)系表達(dá)式，獲得了偽補(bǔ)Ockham代數(shù)核理想及其同余關(guān)系同構(gòu)的結(jié)論。這一結(jié)論有助于了解偽補(bǔ)Ockham代數(shù)的代數(shù)結(jié)構(gòu)。

[1] BLYTH T S,FANG J,VARLET J C.Ockham algebras with pseudocomplementation[J].Communications in Algebra,1997(25):3605-3615.

[2] BLYTH T S,VARLET J C.Ockham algebras[M].Oxford:Oxford University Press,1994.

[3] FANG J.Distributive Lattices with Unary Operations[M].北京:科學(xué)出版社,2011.

[4] FANG J,WANG T.De Morgan algebras with double demi-pseudocomplementation[J].Acta Mathematica Scientia,2011,31B(4):1613-1623.

[5] BLYTH T S,FANG J.On the endomorphisms of Ockham algebras with pseudocomplementation[J].Studia Logica,2011,98:237-250.

[6] 方捷,吳麗云.擬補(bǔ)Ockham代數(shù)的理想與濾子[J].數(shù)學(xué)學(xué)報,2004,47(4):647-652.

[7] 羅從文.MS-代數(shù)的核理想[J].應(yīng)用數(shù)學(xué),2001,14(1):39-41.

[8] 張小紅,劉三陽,劉用麟.偽MIL-代數(shù)(WPBL-代數(shù))的正則濾子[J].西安電子科技大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2006,33(5):829-832.

[9] 方捷,沈嚇妹.平衡半偽補(bǔ)Ockham代數(shù)的濾子[J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué),2010,24(3):38-45.

[10] 王雷波,方捷.幾乎偽補(bǔ)格的核理想與W-理想[J],模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué),2012,26(1):61-66.

[11] 牛超群,吳洪博.BRo代數(shù)中的*理想及其誘導(dǎo)的商代數(shù)[J].江西師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2013,37(3):221-224.

[12] 趙秀蘭,馬紅娟,初元紅,等.雙重半偽補(bǔ)de Morgan代數(shù)的濾子同余關(guān)系[J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué),2015,29(4):19-26.

[13] 趙秀蘭,史西專.半偽補(bǔ)MS代數(shù)的理想及同余關(guān)系[J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué),2016,30(2):57-63.

[14] 趙秀蘭,蔣紅敬.平衡偽補(bǔ)Ockham代數(shù)的O理想[J].汕頭大學(xué)學(xué)報,2016,31(4):19-23.

[15] GRATZER G.Lattice Theory[M].New York:W.H.Freeman and Company,1971.

A Note on the Ideal Congruence Relations on Pseudocomplement Ockham Algebras

ZHAOXiulan1,CHENLijuan2

(1.Department of Mathematics and Physics, Huanghe Science and Technology College, Zhengzhou 450063, China; 2.College of Science, Henan Institute of Engineering, Zhengzhou 451191, China)

Ockham algebra; pseudocomplemented Ockham algebra; ideal; kernel ideal; isomorphism

2017-01-16

國家自然科學(xué)基金(11302072)

趙秀蘭(1982-)，女，河南商水人，副教授，碩士，主要從事序代數(shù)結(jié)構(gòu)方面的研究，(E-mail) xiulanz@126.com

1673-1549(2017)02-0098-03

10.11863/j.suse.2017.02.19

O153.1

A