唐志共, 王文正,*, 陳 功, 袁先旭

(1. 空氣動力學國家重點實驗室, 四川 綿陽 621000; 2. 中國空氣動力研究與發(fā)展中心 計算空氣動力研究所, 四川 綿陽 621000)

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氣動模型在現(xiàn)代氣動試驗設(shè)計中的應(yīng)用研究

唐志共1,2, 王文正1,2,*, 陳 功1,2, 袁先旭1,2

(1. 空氣動力學國家重點實驗室, 四川 綿陽 621000; 2. 中國空氣動力研究與發(fā)展中心 計算空氣動力研究所, 四川 綿陽 621000)

簡要比較分析了MDOE方法相對于傳統(tǒng)OFAT方法的優(yōu)勢，研究了MDOE方法的關(guān)鍵影響因素。研究表明氣動模型是現(xiàn)代試驗設(shè)計的關(guān)鍵因素之一，提出基于氣動模型的試驗設(shè)計新方法。為此，文章研究了一類帶電纜罩的軸對稱飛行器的氣動數(shù)學模型，并以三角級數(shù)的形式給出了模型的通用形式。以某飛行器為對象，以飽和D-最優(yōu)為準則，分別采用三角級數(shù)模型和常用的響應(yīng)面模型，開展了氣動模型對現(xiàn)代試驗設(shè)計的影響研究，驗證了氣動數(shù)學模型在現(xiàn)代試驗設(shè)計中的重要作用以及試驗設(shè)計新方法的有效性，獲得了有價值的研究結(jié)果。

現(xiàn)代試驗設(shè)計方法；氣動模型；風洞試驗；飛行器

0 引 言

風洞試驗?zāi)壳捌毡椴捎脗鹘y(tǒng)的OFAT(One Factor At a Time)方法[1]，它是一種基于數(shù)據(jù)的、以數(shù)據(jù)為中心的方法。普遍的試驗理念是在保證高質(zhì)量條件下、最大限度利用資源，生產(chǎn)最多的風洞試驗數(shù)據(jù)。風洞試驗質(zhì)量則用風洞試驗單個數(shù)據(jù)點(曲線)的重復性(試驗間隔相對較短時間)和可再現(xiàn)性(試驗間隔相對較長時期)來評估。

為提高風洞試驗效率，降低試驗成本，提高風洞試驗數(shù)據(jù)的精準度，自20世紀90年代以來，美國NASA蘭利研究中心開始創(chuàng)新發(fā)展基于現(xiàn)代試驗設(shè)計(Modem Design of Experiments, MDOE)的風洞試驗方法[2-5]?，F(xiàn)代試驗設(shè)計方法是集試驗設(shè)計、試驗實施和試驗分析全過程的一體化系統(tǒng)方法。與傳統(tǒng)的OFAT相比，MDOE方法追求的是能夠使試驗誤差風險降低到可接受程度所必須的最少的數(shù)據(jù)點，而不是進行大量的風洞試驗來獲取大量數(shù)據(jù)，強調(diào)通過合理設(shè)計試驗和精選少量精準度高的試驗來提高通過數(shù)學模型獲取數(shù)據(jù)的精準度，它使風洞試驗從傳統(tǒng)的獲取“數(shù)據(jù)”(data)向獲取數(shù)據(jù)中蘊含著的“知識”(knowledge)轉(zhuǎn)變。

在方法方面，MDOE已發(fā)展狀態(tài)選取方法、方差分析方法[5]及數(shù)據(jù)分區(qū)方法等；在應(yīng)用方面，MDOE已在常規(guī)風洞試驗設(shè)計[6-7]、天平校正[8]、轉(zhuǎn)捩位置研究[9-10]等方面得到應(yīng)用。氣動數(shù)學模型通常采用基于多項式的響應(yīng)面模型，基本形成了一套完整的方法。

風洞試驗設(shè)計的最終目的是形成一個風洞試驗運行表，指導試驗的實施。本質(zhì)上來講，試驗設(shè)計過程需要回答兩個問題：1) 需要多少個數(shù)據(jù)點？2) 這些數(shù)據(jù)點怎么選取？要回答兩個問題其關(guān)鍵在于確定合適的氣動數(shù)學模型，因為在MDOE方法中，試驗點個數(shù)決定于兩個方面：一是需要有足夠的數(shù)據(jù)用于建立數(shù)學模型，使得該數(shù)學模型在一定范圍內(nèi)能反映獨立變量和響應(yīng)變量之間的變化關(guān)系；二是還需要有額外的數(shù)據(jù)對數(shù)學模型進行評估，檢驗?zāi)芊駶M足設(shè)計精度要求?？梢?，氣動數(shù)學模型在現(xiàn)代試驗設(shè)計中占有重要的地位，合理的氣動數(shù)學模型是實現(xiàn)MDOE方法的關(guān)鍵因素。

然而，在現(xiàn)有的MDOE研究中都以響應(yīng)面模型為基礎(chǔ)，并未開展氣動模型的變化對MDOE效果影響的研究。為此，本文首次開展了氣動模型在現(xiàn)代氣動試驗設(shè)計中的影響研究，以提高對氣動模型在MDOE中重要性的認識，提出基于氣動模型的氣動試驗設(shè)計方法。

1 一類軸對稱飛行器氣動力數(shù)學模型

現(xiàn)代飛行器中有一大類屬于軸對稱布局，具有軸對稱特性和鏡像對稱特性。本節(jié)研究如何利用軸對稱特性和鏡像對稱特性建立這類飛行器的氣動力數(shù)學模型[11]，以區(qū)別于常用的響應(yīng)面模型。

1.1 基于軸對稱特性和鏡像對稱特性的氣動力數(shù)學模型

在一般情況下，空氣動力系數(shù)的函數(shù)關(guān)系式取決于速度向量方位、操縱面的偏轉(zhuǎn)角和相對于重心的旋轉(zhuǎn)角速度。如果只考慮空氣動力系數(shù)靜態(tài)分量,其氣動力模型為：

式中,η、φn分別為總迎角和氣動滾轉(zhuǎn)角;δx為滾轉(zhuǎn)(副翼)操縱面的當量偏轉(zhuǎn)角;δ、φδ按下列關(guān)系決定升降舵當量偏轉(zhuǎn)角δz和方向舵當量偏轉(zhuǎn)角δy：

δz=δcosφδ

當η、δ和δx一定時，由表達式(1)確定的空氣動力系數(shù)就是兩個幅角的某種函數(shù)F(φn,φδ)，它在一般情況下任意偏轉(zhuǎn)是周期性的，其周期是每個幅角的2π值。對于這種情況，應(yīng)該把空氣動力系數(shù)函數(shù)關(guān)系式寫成二重三角級數(shù)的形式來求解：

式中級數(shù)的系數(shù)ai,j和bi,j是角η、δ和δx的函數(shù)。利用對稱特性對表達式進行展開和簡化。

1) 軸對稱特性。飛行器相對于縱軸轉(zhuǎn)動一個與2π/n(令Δφ=2π/n)成倍數(shù)的角度后，如果速度向量V和舵面偏轉(zhuǎn)角向量δ在空間保持方位不變，并不改變作用到飛行器上的氣動力的總向量和氣動力矩總向量。

2) 鏡象對稱特性。當鏡象映射時，相對垂直于對稱鏡面平面的速度向量V、舵面偏轉(zhuǎn)角向量δ和副翼偏轉(zhuǎn)角δx，作用于對稱鏡面平面內(nèi)的力和力矩不變號，而作用在垂直面內(nèi)的符號反號。

1.2 針對小不對稱特性的模型修正

很多飛行器主體上屬于軸對稱布局，但外形是軸不對稱的，不對稱的原因是在表面上有各種形式的突出物——控制部件的電氣和液壓通路(整流罩)、無線電通訊的天線整流罩、管箍等。突出物的縱向尺寸可能與飛行器的縱向尺寸是同一個量級，而突出物上有代表性的橫向尺寸顯著地小于飛行器尺寸，因此飛行器的氣動特性與軸對稱外形有較小的差別。雖然差得小，但會影響飛行器的空氣動力，特別是會破壞軸對稱飛行器有代表性的空氣動力特性函數(shù)關(guān)系式的形式。因此，必須建立描述軸不對稱飛行器對其空氣動力特性可能影響的數(shù)學模型。

假設(shè)突出物的存在對飛行器操縱面的效率沒有實質(zhì)性的影響。此時，小的軸不對稱飛行器的空氣動力系數(shù)函數(shù)關(guān)系式可以寫成下式：

式中，F(xiàn)為空氣動力系數(shù)，如cx、cyn、czn、mx、myn和mzn；Fdc(η,φn,δ,φδ,δa)是與軸對稱外形相對應(yīng)的空氣動力系數(shù)的分量；Fns(η,φn)是由軸不對稱布局引起的空氣動力系數(shù)的增量。

通常突出物位于兩個位置中的一個：尾翼平面內(nèi)或在其分角面內(nèi)。突出物的這樣布置要求飛行器盡可能有一個鏡像對稱面。鏡像對稱面以相對于縱軸OX作順時針轉(zhuǎn)動來與OXY平面重合，這個轉(zhuǎn)角定義為鏡像對稱面的方位角φr。利用鏡像對稱性，F(xiàn)ns(η,φn)滿足如下關(guān)系：

對于系數(shù)cx、cyn和mzn：

對于系數(shù)czn、mx和myn：

2 研究的思路及方法

本文的主要目的是開展氣動力模型在現(xiàn)代氣動試驗設(shè)計中的影響研究，增強對氣動模型在MDOE中的作用和地位認識。為此，選取上節(jié)給出的三角級數(shù)模型和常規(guī)的響應(yīng)面模型為研究對象，并僅考慮單個影響因素(本文以滾轉(zhuǎn)力矩隨氣動滾轉(zhuǎn)角變化的模型為對象)進行研究。

基于上節(jié)的研究結(jié)果，滾轉(zhuǎn)力矩系數(shù)的三角級數(shù)數(shù)學模型關(guān)于氣動滾轉(zhuǎn)角的一般形式為：

其中，φr為電纜罩位置。

常規(guī)的滾轉(zhuǎn)力矩系數(shù)的響應(yīng)面模型關(guān)于氣動滾轉(zhuǎn)角的一般形式為：

式(6)和式(7)給出了滾轉(zhuǎn)力矩數(shù)學模型關(guān)于氣動滾轉(zhuǎn)角的一般形式，由無窮多項組成，無法應(yīng)用。因此，還需要確定滾轉(zhuǎn)力矩數(shù)學模型項數(shù)及對應(yīng)項。數(shù)學模型的確定過程首先依據(jù)滾轉(zhuǎn)力矩數(shù)學模型關(guān)于氣動滾轉(zhuǎn)角的一般形式，形成候選模型集，再利用試驗數(shù)據(jù)，采用逐步回歸法、正交最小二乘法等確定模型的具體形式。

在已確定模型的情況下，試驗設(shè)計主要是選擇設(shè)計點，使已知模型的系數(shù)能夠獲得最優(yōu)的估計(在一定準則下的最優(yōu))，并使模型的預測誤差滿足要求。本文采用D-最優(yōu)設(shè)計準則[12]，即最小化待估系數(shù)置信度橢球體積的設(shè)計。

3 算 例

3.1 對象模型建立

圖1給出了某飛行器馬赫數(shù)2時，無舵偏的滾轉(zhuǎn)力矩風洞試驗試驗數(shù)據(jù)。氣動滾轉(zhuǎn)角從-90°到90°間隔5.625°，共33個狀態(tài)。

對于三角級數(shù)模型，模型的項數(shù)越少，所需的最少試驗量越小。采用五項、六項和七項三角級數(shù)模型，基于全部試驗數(shù)據(jù)，建模平均誤差分別為10%、8.8%和8.4%。如果把建模誤差控制在10%以內(nèi)，則六項三角級數(shù)模型為該對象最簡化數(shù)學模型，具體形式為：

圖1 風洞試驗得到的飛行器滾轉(zhuǎn)力矩系數(shù)Fig.1 Roll moment coefficient of a vehicle by wind tunnel test

mx=mx0+mx1sin(4φn)+mx2sin(8φn)+mx3sin(φn-135°)+mx4sin(3(φn-135°))+mx5sin(5(φn-135°))

(8)

其中，mx0～mx5為待估計系數(shù)，φn為氣動滾轉(zhuǎn)角。利用試驗數(shù)據(jù)，模型系數(shù)mx0～mx5的估計值分別為0.177 24、0.866 40、-0.055 31、0.111 56、-0.071 89、0.097 06。圖2給出了總迎角η=30°時，該滾轉(zhuǎn)力矩模型與試驗數(shù)據(jù)的對比。由圖可見，模型預測值與試驗數(shù)據(jù)符合較好，建模精度較高。

圖2 六項級數(shù)模型與試驗數(shù)據(jù)對比(Ma=2,η=30°,δx=δy=δz=0°)Fig.2 Comparison of six series model and test data (Ma=2,η=30°,δx=δy=δz=0°)

3.2 試驗設(shè)計

依據(jù)式(8)，采用D-最優(yōu)設(shè)計準則，按照試驗狀態(tài)對置信度橢球體積的影響大小，對試驗狀態(tài)進行排序。依次剔除影響最小的數(shù)據(jù)點，直到剩下6個為止。表1給出了依次剔除的試驗狀態(tài)點(對數(shù)學模型越不重要的點，越先被剔除)，氣動滾轉(zhuǎn)角-45.0°最先被剔除，-61.875°最后被剔除。

表1 飽和D-最優(yōu)設(shè)計依次剔除的試驗狀態(tài)點Table 1 A series of eliminated data points by saturation D-optimal design method

圖3給出了三角級數(shù)模型預測相對誤差隨試驗點不斷減小后變化的情況，在試驗數(shù)據(jù)減少量小于16的情況下，模型預測相對誤差并不隨試驗數(shù)據(jù)的減少而顯著增加，甚至略有減?。划敎p少量超過17至22時，模型預測相對誤差突升，超過9.5%；當減少量超過22時，模型預測相對誤差再次突升，超過11%。因此，可以根據(jù)對模型預測精度的要求，對試驗狀態(tài)進行設(shè)計。

圖4給出了六項三角級數(shù)模型的最優(yōu)最小數(shù)據(jù)需求的試驗方案，紅點即為對應(yīng)的最佳試驗狀態(tài)點。圖5給出了六項三角級數(shù)模型利用最優(yōu)最小數(shù)據(jù)方案建立的模型預測值與全部試驗數(shù)據(jù)的比較。可見，二者符合較好，平均預測誤差為11.4%。

圖3 三角級數(shù)模型預測相對誤差隨試驗點變化情況Fig.3 Variation of relative prediction error of trigonometric series model with the number of test data

圖4 三角級數(shù)模型MDOE最優(yōu)最小數(shù)據(jù)需求試驗方案Fig.4 Optimum and minimum data number for MDOE test scheme of trigonometric series model

為了研究不同模型對MDOE的影響，同樣選取如下經(jīng)優(yōu)化篩選后的六項響應(yīng)面模型進行建模和試驗方案優(yōu)選。

圖6給出了響應(yīng)面模型預測相對誤差隨試驗點不斷減小后變化的情況。由圖可見，在試驗數(shù)據(jù)減少量小于22的情況下，模型預測相對誤差，隨試驗數(shù)據(jù)的減少而緩慢增加，大約為13%～14%；當減少量超過25后，模型預測相對誤差突升至24%。

圖7給出了響應(yīng)面模型的最優(yōu)最小數(shù)據(jù)需求的試驗方案，其中紅點即為對應(yīng)的最佳試驗狀態(tài)點。

圖8給出了六項響應(yīng)面模型利用最優(yōu)最小數(shù)據(jù)方案建立的模型預測值與全部試驗數(shù)據(jù)的比較?？梢?，二者整體趨勢符合較好，局部誤差較大，平均預測誤差為24%。

圖5 三角級數(shù)模型預測值與試驗值的比較(Ma=2,η=30°,δx=δy=δz=0°)Fig.5 Comparison between prediction of trigonometric series model and test data(measurement)(Ma=2,η=30°,δx=δy=δz=0°)

圖6 響應(yīng)面模型相對誤差隨試驗點變化情況Fig.6 Variation of relative prediction error of response surface model with the number of test data

圖7 響應(yīng)面模型MDOE最優(yōu)最小數(shù)據(jù)需求試驗方案Fig.7 Optimum and minimum data number for MDOE test scheme of response surface model

圖8 響應(yīng)面模型預測值與試驗值的比較(Ma=2,η=30°,δx=δy=δz=0°)Fig.8 Comparison between prediction of response surface model and test data(measurement)(Ma=2,η=30°,δx=δy=δz=0°)

通過以上基于兩種模型MDOE試驗方案對比可以看出，采用MDOE方法能夠大幅減小試驗數(shù)據(jù)量，提高試驗效率，但不同氣動模型對MDOE試驗點的選取和模型預測精度都有很大影響，三角級數(shù)模型更適合于軸對稱飛行器氣動力建模。

4 結(jié) 論

本文簡要介紹了現(xiàn)代試驗設(shè)計方法的基本概念和過程，分析了MDOE方法相對于傳統(tǒng)OFAT方法的優(yōu)勢。通過研究帶電纜罩的一類軸對稱飛行器關(guān)于氣動滾轉(zhuǎn)角的氣動數(shù)學模型，給出了模型的通用形式，并基于該模型，以某飛行器風洞試驗數(shù)據(jù)為對象，開展了試驗設(shè)計研究，得出了以下結(jié)論：

1) 氣動數(shù)學模型在MDOE方法中具有重要作用，它不僅決定了試驗設(shè)計點的選取，還對模型的預測精度有較大影響；

2) 在滿足一定的模型預測精度要求的前提下，采用MDOE可大大減少試驗數(shù)據(jù)量；

3) 試驗點選取越多，氣動模型的預測精度不一定越高，這里有一個優(yōu)化的問題；

4) 飽和D-最優(yōu)設(shè)計方法在風洞試驗設(shè)計中基本可行，它的大小與預測誤差的大小基本一致。

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Research on the application of aerodynamic models in modern design of aerodynamic experiments

Tang Zhigong1,2, Wang Wenzheng1,2,*, Chen Gong1,2, Yuan Xianxu1,2

(1.StateKeyLaboratoryofAerodynamics,Mianyang621000,China;2.ComputationalAerodynamicsInstituteofChinaAerodynamicsResearchandDevelopmentCenter,Mianyang621000,China)

This paper briefly analyzes the advantage of Modem Design of Experiments (MDOE) contrast to One Factor At a Time (OFAT) test method, and tries to find the key influence factors of MDOE. A new design method of experiments is presented based on aerodynamic models. The research shows that aerodynamic model is one of the key elements of MDOE. In order to prove that, this paper first gives a common trigonometric series model for a kind of axial symmetry vehicle with electrical cable cover. Then, taking a certain flight vehicle as an example, this paper researches the effects of trigonometric series and response surface aerodynamic models on MDOE, according to saturation D-optimal rule. This research shows that aerodynamic model play an important role in MDOE and the new design method of experiments is effective. Some valuable conclusions have been reached.

MDOE; aerodynamic model; wind tunnel experiment; flight vehicle

0258-1825(2017)02-0172-05

2015-10-26;

2016-04-25

國家自然科學基金(91216203)

唐志共(1965-),男,廣西桂林人,研究員,博士,主要從事空氣動力學研究. E-mail: tangzhigong@126.com

王文正*(1968-),男,四川簡陽人,研究員,博士,主要從事飛行力學與飛行控制研究. E-mail:success850012@163.com

唐志共, 王文正, 陳功, 等. 氣動模型在現(xiàn)代氣動試驗設(shè)計中的應(yīng)用研究[J]. 空氣動力學學報, 2017, 35(2): 172-176.

10.7638/kqdlxxb-2015.0190 Tang Z G, Wang W Z, Chen G, et al. Research on the application of aerodynamic models in modern design of aerodynamic experiments [J]. Acta Aerodynamica Sinica, 2017, 35(2): 172-176.

V211.3

A doi: 10.7638/kqdlxxb-2015.0190