劉延柱

(上海交通大學(xué)工程力學(xué)系，上海200240)

縮小的賽格威車
——談自平衡滑板

劉延柱

(上海交通大學(xué)工程力學(xué)系，上海200240)

談賽格威車向雙輪自平衡滑板的演變，分析二者的異同.解釋自平衡滑板利用兩側(cè)分離底板的轉(zhuǎn)動(dòng)控制加速減速和左右轉(zhuǎn)彎的力學(xué)原理.

賽格威車，自平衡滑板，活力板

能自動(dòng)平衡的滑板是曾被美國Time周刊評為年度最佳發(fā)明的一種新產(chǎn)品.這個(gè)由底板和一對車輪組成的簡單玩意有著驚人的平衡能力.站立在底板上的玩家能自動(dòng)保持直立狀態(tài)，腳底稍做動(dòng)作就能自由自在地前進(jìn)后退、左轉(zhuǎn)右轉(zhuǎn)而無跌倒之虞(圖1).這個(gè)美國發(fā)明中國制造的產(chǎn)品很快成為一種新時(shí)尚，成為青年族群的新寵.

圖1 滑板玩家的新寵

實(shí)際上，這個(gè)被稱為“雙輪自平衡滑板”的發(fā)明乃是問世沒幾年的賽格威車的縮小版[1].我國公眾最早接觸的賽格威車是在2008年北京奧運(yùn)會(huì)場上.當(dāng)一種新奇兩輪車快速來回穿梭，而看似不穩(wěn)定的駕車人卻直立不倒時(shí)，這一景象曾吸引了不少人的眼球.此后這種賽格威車在各大機(jī)場和火車站頻頻出現(xiàn)而逐漸為大眾所習(xí)慣.將賽格威車的車輪縮小，去掉控制行進(jìn)方向的操縱手柄，底板分解為左右兩塊，就演變成兩輪自平衡滑板的新產(chǎn)品.因此自平衡滑板的另一個(gè)名稱就是“無手柄的賽格威車”.

自平衡滑板與賽格威車的最大不同，就是底板分解為能相對轉(zhuǎn)動(dòng)的兩個(gè)部分，外形上很像曾風(fēng)行一時(shí)被稱為“活力板”的人力驅(qū)動(dòng)滑板[2].但車輪不是一前一后，而是一左一右安裝在底板上.車輪的行進(jìn)方向與底板的轉(zhuǎn)軸正交，與活力板恰好相差90?(圖2).這種特殊的底板結(jié)構(gòu)正是代替手柄控制方向的關(guān)鍵.

圖2 雙輪自平衡滑板

賽格威車?yán)眉铀俣扔?jì)檢測加速度信息ax和ay，轉(zhuǎn)換為底板的傾斜角信息控制車輪的驅(qū)動(dòng)電機(jī).底板向前傾斜時(shí)讓車輪加速，向后傾斜時(shí)讓車輪減速.人體產(chǎn)生的慣性力就能使直立狀態(tài)保持穩(wěn)定[1].電機(jī)的驅(qū)動(dòng)或制動(dòng)力矩屬于內(nèi)力，不能改變系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài).實(shí)際產(chǎn)生驅(qū)動(dòng)或制動(dòng)效果的外力是地面對車軸的摩擦力，和駕駛?cè)藘A斜時(shí)重力與法向支承力組成的力偶.

自平衡滑板采用的控制方案與賽格威車基本相同.區(qū)別僅在于，自平衡滑板對行進(jìn)方向的控制不是借助手柄，而是靠駕車人腳底對兩側(cè)底板的控制動(dòng)作.在左右兩部分底板上各獨(dú)立安裝一套加速度計(jì).如上所述，當(dāng)兩側(cè)底板同時(shí)向前或同時(shí)向后傾斜時(shí)，可導(dǎo)致車體的加速或減速.但如控制兩側(cè)底板朝相反方向傾斜，一側(cè)向前另一側(cè)向后，則左右車輪一側(cè)加速另一側(cè)減速，車體就能繞垂直軸旋轉(zhuǎn)改變行進(jìn)方向.

無論在國內(nèi)或國外，賽格威車主要用作一種方便的交通工具.而自平衡滑板卻將這種交通工具演變成一種時(shí)尚玩具，或時(shí)尚的體育器械.作為滑板的升級產(chǎn)品，這個(gè)“兩輪自平衡滑板”還有一個(gè)更響亮的名稱––“懸浮滑板”(hoverboard).雖然這個(gè)名稱并不準(zhǔn)確，因?yàn)樗惺艿孛婕s束的輪子，不能讓人真的離地懸浮.但它能使駕駛?cè)烁惺艿阶杂勺栽陲w翔般的飄浮感覺.因此盡管價(jià)格不菲，但剛一亮相就成為年青族群趨之若鶩的時(shí)尚也就不以為怪了.

附：自平衡滑板的動(dòng)力學(xué)分析

設(shè)包括底板、車輪和駕駛?cè)嗽趦?nèi)的自平衡滑板系統(tǒng)的質(zhì)心為Oc，左右車輪的質(zhì)心為Oi(i=1,2).以底板轉(zhuǎn)軸O1O2的中點(diǎn)O為原點(diǎn)建立(O--x0y0z0)坐標(biāo)系，x0軸沿行進(jìn)方向，y0軸為垂直軸，z0軸垂直運(yùn)動(dòng)平面.設(shè)O至Oc的距離為l，OOc偏離垂直軸的傾斜角為?.以底板Wi(i=1,2)轉(zhuǎn)軸上的Oi為原點(diǎn)，建立底板的連體坐標(biāo)系(Oi--xiyizi)(i=1,2)，xi軸沿底板平面指向行進(jìn)方向，yi軸沿底板平面的法線，zi軸沿底板轉(zhuǎn)軸，與z0軸平行.設(shè)底板相對平衡位置的偏角，即yi軸相對OOc軸的偏角為ψi(i=1,2).加速度計(jì)量測到的信息為底板相對水平面的傾斜角?+ψi(i=1,2).此信息通過控制系統(tǒng)傳至車輪的驅(qū)動(dòng)電機(jī)，產(chǎn)生對車輪的驅(qū)動(dòng)力矩Mmi(i=1,2)，分別與?+ψi信息成正比(圖3)

設(shè)左右車輪有相同的半徑R，質(zhì)量m和中心主慣量矩J，質(zhì)心速度和角速度為vi和ωi(i=1,2).設(shè)地面在接觸點(diǎn)P對車輪作用的法向支承力和摩擦力為Fni和Fti(i=1,2)，受力圖見圖4.其中省略了不影響對質(zhì)心力矩的重力和軸承約束力.忽略車輪的阻力矩，列寫車輪對質(zhì)心Oi的動(dòng)量矩定理，得到

圖3 自平衡滑板受力圖

設(shè)滑板系統(tǒng)的總質(zhì)量為m0，繞過Oc點(diǎn)平行z0軸的慣量矩為J0，僅保留?的一次項(xiàng)，列寫系統(tǒng)對質(zhì)心Oc的動(dòng)量矩定理(圖4).

圖4 車輪受力圖

忽略質(zhì)心垂直運(yùn)動(dòng)加速度的高階小量，法向支承力Fn1=Fn2=m0g/2與重力平衡，切向摩擦力Fti(i=1,2)可從式(2)解出.將上述條件和驅(qū)動(dòng)力矩式(1)代入式(3)后化作

其中k0=k(l+R)/R.分析駕駛?cè)酥绷⑵胶獾姆€(wěn)定性時(shí)，設(shè)滑板作勻速穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)，底板無控制動(dòng)作，令=ψi=0(i=1,2)，方程(4)簡化為

只要控制系統(tǒng)滿足k0＞m0gl/2，就能使?=0的直立平衡狀態(tài)保持穩(wěn)定.

在駕駛?cè)丝刂频装鍒?zhí)行變速或轉(zhuǎn)向的過程中，設(shè)車體保持穩(wěn)定的直立狀態(tài).令式(1)中?=0，控制規(guī)律簡化為Mmi=kψi(i=1,2).列寫系統(tǒng)沿行進(jìn)方向的動(dòng)量定理

其中v0=(v1+v2)/2為系統(tǒng)的質(zhì)心速度.設(shè)車輪作純滾動(dòng)，令式(2)中ωi=vi/R，解出

將上式和控制規(guī)律代入式(6)，導(dǎo)出

如兩側(cè)底板的控制動(dòng)作相同，令ψ1=ψ2=ψ，式(8)化作

則滑板加速或減速取決于ψ的符號如兩側(cè)底板的控制動(dòng)作相反，令ψ1=-ψ2=ψ，則式(8)化作˙v0=0.設(shè)O1與O2的距離為b，滑板繞y0軸的慣量矩為J0y，則方向相反的摩擦力構(gòu)成繞垂直軸轉(zhuǎn)動(dòng)的力偶，驅(qū)使滑板繞垂直軸y0產(chǎn)生角加速度˙ωy=(˙v1-˙v2)/b.列出滑板繞y0軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程

利用式(7)解出的Fti(i=1,2)，從式(11)導(dǎo)出

滑板轉(zhuǎn)動(dòng)的加速方向取決于ψ的符號

1劉延柱.動(dòng)力滑板車漫話.力學(xué)與實(shí)踐，2009，31(6)：95-96

2劉延柱,苗英愷.活力板運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)分析.力學(xué)與實(shí)踐，2008, 30(3):60-62

(責(zé)任編輯:胡漫)

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10.6052/1000-0879-16-136

本文于2016–04–22收到.

1)E-mail:liuyzhc@163.com

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