李翔

摘 要：文章針對(duì)任意波形的質(zhì)量評(píng)價(jià)問題，提出了一種以內(nèi)積空間概念及性質(zhì)為理論基礎(chǔ)的廣義失真度定義。該定義不僅與傳統(tǒng)的正弦波失真度定義完全相容，且與光譜分析中的夾角余弦法以及交流輸配電系統(tǒng)中的功率因數(shù)理論存在著密切聯(lián)系。對(duì)正弦波、方波和三角波之間的廣義失真度進(jìn)行了數(shù)值仿真，實(shí)際測(cè)算結(jié)果與經(jīng)典失真度相符。

關(guān)鍵詞：任意波形；失真度；內(nèi)積空間

1 概述

全諧波失真（total harmonic distortion，THD）是用于衡量正弦信號(hào)波形質(zhì)量的重要指標(biāo)。這一指標(biāo)物理意義清晰且測(cè)量手段成熟，因而被廣泛用于放大器、信號(hào)源、交流供配電系統(tǒng)等的質(zhì)量評(píng)價(jià)。然而，THD的定義僅針對(duì)正弦波。

本文從平方可積周期函數(shù)構(gòu)成的內(nèi)積空間及其性質(zhì)出發(fā)，定義了任意波形的廣義失真度并進(jìn)行了探討。分析表明，該廣義失真度定義與傳統(tǒng)THD定義完全相容，可應(yīng)用于各種信號(hào)檢測(cè)及波形分析領(lǐng)域。

2 經(jīng)典失真度定義及其推廣

2.1 正弦波失真度定義與測(cè)量

全諧波失真（THD）這一概念是指某一周期信號(hào)相對(duì)于同頻率正弦信號(hào)的失真，其定義為：該周期信號(hào)所含全體諧波分量的總有效值與基波有效值之比。若設(shè)被測(cè)信號(hào)f（t）的第k次諧波振幅為Ak（基波對(duì)應(yīng)k=1，直流分量對(duì)應(yīng)k=0），則全諧波失真可由式（1）計(jì)算：

從能量角度看，式（1）定義的失真度等于全體諧波總能量與基波能量之比。根據(jù)Parseval定理，任一平方可積信號(hào)在時(shí)域的總能量應(yīng)等于其在頻域的總能量。因此，式（1）所定義的失真度可從頻域和時(shí)域兩方面加以理解和測(cè)量[1]。

在頻域中，式（1）中的Ak與周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)展開相對(duì)應(yīng)。實(shí)際測(cè)量中，通常得到的是被測(cè)信號(hào)的離散采樣序列而非連續(xù)波形，此時(shí)可通過離散傅里葉變換（DFT）及其快速算法（FFT）求解Ak。在此基礎(chǔ)上計(jì)算失真度γ的方法，即為失真度測(cè)量的頻域方法（FFT法）[2-3]。

另一方面，在時(shí)域中，對(duì)于周期為T=2π/ω的信號(hào)f（t），若記其基波為f1（t），則有

即式（1）中全體諧波的總有效值可由時(shí)域波形剔除基波后直接平方積分得到，而基波f1（t）也可通過對(duì)時(shí)域波形作最小二乘擬合而求得。由此得到失真度測(cè)量的時(shí)域方法，即曲線擬合法[4-5]。

2.2 非正弦周期波形失真度

由上文所述可知，THD這一概念的實(shí)質(zhì)是將被測(cè)信號(hào)人為分解成兩部分，即基波分量和去除基波后的剩余分量，前者可視為所需的“目標(biāo)波形”，而后者則是被測(cè)信號(hào)波形相對(duì)于目標(biāo)波形的偏差。這一思路可推廣到非正弦周期信號(hào)的波形質(zhì)量評(píng)價(jià)。

仍記被測(cè)信號(hào)波形為f（t），目標(biāo)波形為g（t），二者周期均為T=2π/ω。按上述思路，設(shè)法將f（t）分解為兩部分：一部分是與g（t）具有相同形態(tài)的成分，另一部分則是f（t）相對(duì)于g（t）的偏差，兩者之比即可作為被測(cè)波形質(zhì)量的描述。文獻(xiàn)[6]-[8]采用波形擬合及相應(yīng)的殘差來計(jì)算任意周期波形在離散條件下的總失真度，其評(píng)價(jià)過程分為三步。第一步是計(jì)算被測(cè)波形f（t）與目標(biāo)波形g（t）的相關(guān)函數(shù)

式（3）中0≤τ

第二步是利用最小二乘擬合，求出被測(cè)波形f（t）中與g（t-τ0）具有相同形態(tài)的分量，并得到f（t）相對(duì)于g（t-τ0）的殘差。

第三步是計(jì)算上一步得到的f（t）兩部分波形各自的有效值（均方值），分別記為fr與ρ，則最終得到總失真度γM=ρ/fr。

以上所述任意周期波形失真度定義旨在以目標(biāo)波形g（t）為“模板”，從被測(cè)波形f（t）中提取與之形態(tài)一致的成分，并使剩余的均方誤差達(dá)到最小，亦即γM的定義是一種基于最佳均方逼近的定義。這一定義從計(jì)量角度來說是明確、合理的，但其數(shù)學(xué)和物理意義尚有待進(jìn)一步闡釋，且在實(shí)際應(yīng)用中采用最小二乘擬合的計(jì)算量較大，這在一定程度上阻礙了該定義的運(yùn)用。

以下，本文從內(nèi)積空間的概念及性質(zhì)出發(fā)，對(duì)任意周期波形的失真度定義進(jìn)行了分析與詮釋。

3 任意波形的廣義失真度

3.1 基于內(nèi)積的廣義失真度

對(duì)于周期為T=2π/ω且在閉區(qū)間[0， T]上平方可積的兩個(gè)實(shí)信號(hào)f（t）與g（t），定義二者的內(nèi)積為

則所有周期為T且在閉區(qū)間[0， T]上平方可積的實(shí)信號(hào)構(gòu)成一個(gè)完備的實(shí)內(nèi)積空間（實(shí)Hilbert空間）。實(shí)際的信號(hào)總是能量有限（因而平方可積）的，因此任一周期信號(hào)f（t）均為上述內(nèi)積空間中的一個(gè)向量，用粗黑體f表示。由式（4）誘導(dǎo)的f（t）的范數(shù)為

另一方面，上節(jié)中計(jì)算相關(guān)函數(shù)的式（3）實(shí)際上也是一個(gè)內(nèi)積，若以gτ表示g（t-τ），則式（3）變?yōu)?/p>

仍記|R（τ）|取得最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的τ=τ0，將f（t）向目標(biāo)波形g（t-τ0）作投影，該投影為

從f（t）中減去式（7）給出的投影分量，就得到f（t）與g（t-τ0）正交的分量：

投影分量fproj代表f（t）中與目標(biāo)波形g（t-τ0）形態(tài)相同的部分，而正交分量forth則可描述f（t）相對(duì)于g（t-τ0）的偏離。因此，forth與fproj的范數(shù)之比可用于評(píng)價(jià)f（t）相對(duì)于目標(biāo)波形g（t-τ0）的失真度，不妨稱之為 “廣義失真度”，記為γG。其定義式為

3.2 廣義失真度的性質(zhì)

3.2.1 正交性

容易驗(yàn)證，廣義失真度定義中出現(xiàn)的forth與fproj是被測(cè)信號(hào)f（t）在上文所述內(nèi)積空間中的一個(gè)正交分解：

3.2.2 對(duì)稱性

注意到內(nèi)積空間中可定義任意兩向量間的“夾角”，若記f（t）與g（t-τ0）之間的“夾角”為θ，則有

因此有

故知，對(duì)于任意兩個(gè)周期為T=2π/ω且在閉區(qū)間[0， T]上平方可積的實(shí)信號(hào)f（t）與g（t），本文定義的廣義失真度γG具有對(duì)稱性。即f（t）相對(duì)于g（t）的廣義失真度等于g（t），相對(duì)于f（t）的廣義失真度。

3.2.3 相容性

對(duì)于任一周期為T=2π/ω的實(shí)信號(hào)f（t），易知其相對(duì)于cosωT的投影分量fproj正是其基波分量，而正交分量forth則為全體諧波之和。因此，當(dāng)目標(biāo)波形為正弦波時(shí)，本文定義的廣義失真度γG就是全諧波失真（THD），亦即γG的定義與THD的定義是相容的。

另一方面，在所有形如k·g（t-τ0）的信號(hào)（k為任意非零實(shí)數(shù)，亦即與目標(biāo)波形g（t-τ0）形態(tài)一致的信號(hào)）中。當(dāng)且僅當(dāng)k=R（τ0）時(shí)，||f（t）- k·g（t-τ0）||取得最小值。此時(shí)，k·g（t-τ0）正是f（t）在g（t-τ0）上的投影分量 fproj。換言之，本文定義的廣義失真度γG與文獻(xiàn)[6]-[8]中從最佳均方逼近的角度定義的任意周期波形總失真度γM是相容的。

必須指出，文獻(xiàn)[6]-[8]對(duì)任意周期波形總失真度γM的定義中有意剔除了f（t）與g（t）的直流分量，因此其定義實(shí)質(zhì)上只適合于分析純交流信號(hào)。

3.3 離散條件下的廣義失真度

在實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)合，被測(cè)波形f（t）通常是離散的采樣序列，而目標(biāo)波形g（t）可能是分段連續(xù)函數(shù)，也可能為離散序列。

第一種情形：若被測(cè)波形為離散序列x[n]而目標(biāo)波形為分段連續(xù)函數(shù)g（t），設(shè)x[n]對(duì)應(yīng)的采樣周期為Ts=T/N（即每個(gè)周期T內(nèi)包含N個(gè)采樣點(diǎn)），則式（4）中的積分對(duì)x[n]改為求和即可：

第二種情形：被測(cè)波形為離散序列x[n]，目標(biāo)波形亦為離散序列y[n]，則式（4）中的積分同樣改為求和：

如此，廣義失真度γG的定義在離散條件下仍然有效，且積分變?yōu)榍蠛秃蟾阌谟?jì)算。但需注意，離散情形下，采樣周期Ts與信號(hào)周期T之比可能不是整數(shù)。此時(shí)，將式（4）的積分變?yōu)槭剑?3）的求和會(huì)造成誤差。為消除此種誤差，設(shè)T/Ts=NF，而N=[NF]為NF的整數(shù)部分，則式（13）應(yīng)改為

式（14）亦可作類似修正。

綜上所述，本文定義的廣義失真度γG可用于離散情形。

3.4 非周期情形的廣義失真度

從數(shù)學(xué)角度而言，式（4）定義的內(nèi)積和式（5）定義的范數(shù)并不要求f（t）與g（t）具有周期性，因此本文定義的廣義失真度γG亦適用于非周期波形。此時(shí)，閉區(qū)間[0，T]可改為任意感興趣的區(qū)間。因此，廣義失真度γG原則上可用于對(duì)任意波形局部特征的比對(duì)和檢測(cè)。

3.5 與廣義失真度相關(guān)的概念及應(yīng)用

式（12）表明，廣義失真度γG與內(nèi)積空間中兩向量的夾角有關(guān)。而在光譜（包括紫外、紅外、拉曼、熒光等）分析中，“夾角余弦法”是一種常用的判斷光譜相似度的方法[9-10]。實(shí)際上，式（11）給出的cosθ反映的是f（t）與g（t）的相似度，而本文定義的γG=|tanθ|則可用于衡量f（t）與g（t）的差異。

另一方面，若以單相交流供電的電壓波形u（t）作為式（4）中的目標(biāo)波形g（t），而以電流波形i（t）為f（t），則式（4）給出的內(nèi)積即等于[0，T]時(shí)間段內(nèi)負(fù)載的平均功率（有功功率），而式（5）定義的范數(shù)則對(duì)應(yīng)電壓、電流的有效值。

進(jìn)一步地，若不計(jì)算u（t）與i（t）的相對(duì)延時(shí)，而是直接計(jì)算i（t）相對(duì)于u（t）的投影分量iproj與正交分量iorth，則顯然有

故iproj與iorth分別是電流i（t）的“有功分量”與“無功分量”。這一正交分解與著名的Fryze功率理論以及基于周期函數(shù)空間的“通用功率”理論[11-12]相一致。然而，正如3.4節(jié)所述，本文對(duì)廣義失真度的定義并不局限于周期波形，因而有助于將有功功率、無功功率的計(jì)算與測(cè)量推廣到非周期情形。

4 仿真算例

對(duì)于正弦波、方波和三角波這三種常見波形，按本文定義的廣義失真度，可計(jì)算出三者之間的失真度理論值，如表1所示。

假定采樣率為250ksps，采樣分辨率為12bit，信號(hào)頻率范圍10～70kHz，失真度仿真結(jié)果如表2所示。由表2可見，對(duì)1kHz以下的信號(hào)，失真度測(cè)量結(jié)果與信號(hào)頻率基本無關(guān)，不存在FFT法固有的柵欄效應(yīng)及頻譜泄漏等缺點(diǎn)；而當(dāng)信號(hào)頻率為1kHz及以上時(shí)，失真度測(cè)量結(jié)果開始出現(xiàn)大于0.01%的絕對(duì)誤差。

仍設(shè)采樣率250ksps，信號(hào)頻率固定為1kHz，不同采樣分辨率下的失真度仿真結(jié)果如表3所示。由表3可知，若要使量化誤差引起的失真度絕對(duì)誤差小于0.01%，則采樣分辨率應(yīng)達(dá)到10bit以上。

接下來仍取采樣率為250ksps，分辨率12bit，信號(hào)頻率1kHz。當(dāng)被測(cè)波形與目標(biāo)波形的相對(duì)延時(shí)τ0存在誤差時(shí)，失真度仿真結(jié)果如表4所示。由表4可見，當(dāng)相對(duì)延時(shí)τ0的誤差小于采樣周期時(shí)，對(duì)失真度測(cè)量結(jié)果基本無影響。

5 結(jié)束語

本文借助內(nèi)積空間的相關(guān)概念及理論，將正弦信號(hào)的失真度概念推廣到任意波形，提出了廣義失真度的定義并進(jìn)行了理論分析與數(shù)值仿真。廣義失真度的概念及其相關(guān)理論不僅有助于正弦波失真度測(cè)量技術(shù)的進(jìn)一步發(fā)展，也為任意波形間的比對(duì)、鑒別和評(píng)價(jià)提供了新的視角與途徑。廣義失真度與譜分析、功率因數(shù)計(jì)算與補(bǔ)償?shù)让芮邢嚓P(guān)，其更多的應(yīng)用還有待于今后不斷地發(fā)掘與拓展。

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