“滾”動(dòng)中的數(shù)學(xué)

渠英（特級(jí)教師）

“滾”動(dòng)中的數(shù)學(xué)

渠英（特級(jí)教師）

數(shù)學(xué)來源于生活，生活中處處有數(shù)學(xué)，如“滾”動(dòng)在生活中處處可見，火車輪子沿鐵軌的滾動(dòng)，汽車輪子沿筆直的路面滾動(dòng)等，滾動(dòng)中蘊(yùn)含著很多數(shù)學(xué)規(guī)律及知識(shí)，下面就硬幣的滾動(dòng)、三角形的滾動(dòng)及矩形的滾動(dòng)三個(gè)方面介紹滾動(dòng)類問題的解法.

一、硬幣的滾動(dòng)

1.硬幣沿圓滾動(dòng).

例1已知兩圓，其中大圓的半徑是小圓半徑的5倍，將大圓固定，小圓在大圓外面沿大圓無滑動(dòng)地滾動(dòng)一周，那么，小圓自身轉(zhuǎn)運(yùn)了幾圈？小圓掃過的面積是多少？將大圓固定，小圓在大圓內(nèi)部沿大圓無滑動(dòng)地滾動(dòng)一周，那么，小圓自身轉(zhuǎn)運(yùn)了幾圈？

【分析】動(dòng)圓沿直線滾動(dòng)和動(dòng)圓沿定圓滾動(dòng)的距離實(shí)際上就是動(dòng)圓的圓心移動(dòng)的距離，抓住這些特點(diǎn)，就能順利地解決相關(guān)問題.小圓轉(zhuǎn)一周所掃過的面積，即為圓環(huán)的面積.

圖1 （1）

圖1 （2）

圖1 （3）

解：設(shè)小圓的半徑為r，則大圓的半徑為5r.

（1）如圖1（1），當(dāng)小圓在大圓外面沿大圓無滑動(dòng)地滾動(dòng)一周時(shí)，OP=5r+r=6r，所以，小圓圓心滾動(dòng)一周的距離為2π·6r=12πr，所以滾動(dòng)的圈數(shù)為（圈）；如圖1（2），動(dòng)圓掃過的為圓環(huán)，圓環(huán)的半徑是5r+2r=7r，大圓半徑為5r，圓環(huán)的面積是π（7r）2-π（5r）2=24πr2.

（2）如圖1（3），當(dāng)小圓在大圓內(nèi)部沿大圓無滑動(dòng)地滾動(dòng)一周時(shí)，OP=5r-r=4r，小圓圓心滾動(dòng)的距離為2π·4r=8πr，所以滾動(dòng)的圈數(shù)為

【點(diǎn)評(píng)】求動(dòng)圓轉(zhuǎn)動(dòng)的圈數(shù)時(shí)，關(guān)鍵求出動(dòng)圓圓心移動(dòng)的距離，用此距離除以動(dòng)圓的周長，即得到動(dòng)圓所轉(zhuǎn)動(dòng)的圈數(shù).

2.硬幣沿折線滾動(dòng).

例2（1）如圖2（1），⊙O作無滑動(dòng)滾動(dòng)，⊙O1、⊙O2、⊙O3、⊙O4均表示⊙O與線段AB或BC相切于端點(diǎn)時(shí)刻的位置，⊙O的半徑為r.∠ABC=90°，AB=BC=πr.⊙O從⊙O1的位置出發(fā)，在∠ABC外部沿A-B-C滾動(dòng)到⊙O4的位置，⊙O自轉(zhuǎn)多少周.

（2）如圖2（2），△ABC的周長為5πr，⊙O從與AB相切于點(diǎn)D的位置出發(fā)，在△ABC外部，按順時(shí)針方向沿三角形滾動(dòng)，又回到與AB相切于點(diǎn)D的位置，⊙O自轉(zhuǎn)了多少周？請(qǐng)說明理由.

圖2 （1）

圖2 （2）

（3）如圖2（3），多邊形的周長為5πr，⊙O從與某邊相切于點(diǎn)D的位置出發(fā)，在多邊形外部，按順時(shí)針方向沿多邊形滾動(dòng)，又回到與該邊相切于點(diǎn)D的位置，直接寫出⊙O自轉(zhuǎn)的圈數(shù).

圖2 （3）

【分析】求圓轉(zhuǎn)動(dòng)的圈數(shù)時(shí)，關(guān)鍵是求圓心移動(dòng)的距離.在折線的外側(cè)滾動(dòng)時(shí)，在拐點(diǎn)處移動(dòng)的距離是扇形的弧長，而扇形的圓心角的度數(shù)為180°與兩條折線夾角度數(shù)的差.扇形的半徑即為動(dòng)圓的半徑.

（2）∵△ABC的周長為5πr，⊙O在△ABC三頂點(diǎn)A、B、C處轉(zhuǎn)過的三條弧的中心角分別為：180°-∠A、180°-∠B、180°-∠C，這三條弧的中心角的和為360°，所以三條弧的和為一個(gè)圓即為2πr，因此圓移動(dòng)的距離為5πr+2πr=7πr，所以轉(zhuǎn)動(dòng)的圈數(shù)為

【點(diǎn)評(píng)】圓在多邊形的外面滾動(dòng)時(shí)，各拐點(diǎn)處弧的長度的和剛好為動(dòng)圓的周長.所以滾動(dòng)的路程為多邊形的周長與動(dòng)圓的周長的和.

二、三角形沿直線滾動(dòng)

例3如圖3（1）所示，邊長為2的等邊三角形ABC的三邊貼著直線l向右滾動(dòng)一周，等邊三角形ABC的中心O經(jīng)過的路程是多少？等邊三角形頂點(diǎn)A經(jīng)過的路程又是多少？

圖3 （1）

【分析】等邊三角形的中心就是三角形三條中線的交點(diǎn).三角形滾動(dòng)時(shí)，先繞點(diǎn)C，再繞點(diǎn)A，最后繞點(diǎn)B轉(zhuǎn)動(dòng).中心滾動(dòng)的路程是中心角為120°的三條弧長度的和.頂點(diǎn)A先繞點(diǎn)C，再繞點(diǎn)B繞轉(zhuǎn)，滾動(dòng)的路程是中心角為120°的兩條弧長度的和.

圖3 （2）

三、矩形沿直線滾動(dòng)

例4如圖4（1），將邊長為8cm的正方形ABCD的四邊沿直線l向右滾動(dòng)（不滑動(dòng)），當(dāng)正方形滾動(dòng)一周時(shí)，正方形的頂點(diǎn)A所經(jīng)過的路線的長是cm.

圖4 （1）

圖4 （2）

【分析】解決此類問題的關(guān)鍵是找出每一次的旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)半徑，旋轉(zhuǎn)次數(shù).

解：正方形在直線l上滾動(dòng)時(shí)，第一次旋轉(zhuǎn)中心為C，旋轉(zhuǎn)半徑是AC，路線長為第二次旋轉(zhuǎn)中心為D，旋轉(zhuǎn)半徑是AD，路線長為三次旋轉(zhuǎn)中心為B，旋轉(zhuǎn)半徑是AB，路線長為A所經(jīng)過的路線的長是4 2π +4π+4π=（8+4 2）π（cm）.

【點(diǎn)評(píng)】解決正多邊形的滾動(dòng)問題時(shí)，抓住關(guān)鍵的旋轉(zhuǎn)點(diǎn)，借助于紙片，動(dòng)手操作一下，可能更便于問題的解決.

（作者單位：江蘇省豐縣初級(jí)中學(xué)）