藍(lán)寶石表面形貌的功率譜與分形特征分析

許永超, 陸 靜* , 徐西鵬

(1.華僑大學(xué) 制造工程研究院，福建 廈門 361021;2.華僑大學(xué) 脆性材料加工技術(shù)教育部工程研究中心，福建 廈門 361021)

藍(lán)寶石表面形貌的功率譜與分形特征分析

許永超1,2, 陸 靜1,2*, 徐西鵬1,2

(1.華僑大學(xué) 制造工程研究院，福建 廈門 361021;2.華僑大學(xué) 脆性材料加工技術(shù)教育部工程研究中心，福建 廈門 361021)

運(yùn)用二維功率譜和分形理論的關(guān)聯(lián)維數(shù)分析了藍(lán)寶石晶片的表面形貌特征。介紹了利用二維快速傅立葉變換計(jì)算二維功率譜在藍(lán)寶石表面形貌中的應(yīng)用方法；通過時(shí)間延遲技術(shù)重構(gòu)相空間，利用G-P算法計(jì)算了藍(lán)寶石表面形貌的關(guān)聯(lián)維數(shù)。分別利用二維功率譜和關(guān)聯(lián)維數(shù)對藍(lán)寶石的原始表面、加工后表面和單個取樣長度的形貌特征進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)分析。結(jié)果表明：二維功率譜和關(guān)聯(lián)維數(shù)能夠表征藍(lán)寶石表面形貌，且克服了傳統(tǒng)的表征參數(shù)只包含有垂直方向上的信息而不能準(zhǔn)確表征整個藍(lán)寶石晶片表面形貌特征的缺點(diǎn)，它比傳統(tǒng)的表面形貌表征方法具有準(zhǔn)確、便捷和信息量大等優(yōu)勢。

藍(lán)寶石;二維功率譜;關(guān)聯(lián)維數(shù);表面形貌

1 引 言

藍(lán)寶石因具有良好的熱特性、極好的電氣特性和介電特性而被廣泛應(yīng)用于制造GaN基發(fā)光二極管LED的襯底片材料[1-3]。隨著光電子技術(shù)和光通訊技術(shù)的發(fā)展，對藍(lán)寶石晶片的加工質(zhì)量有著非常高的要求。表面形貌歷來就作為評價(jià)藍(lán)寶石晶片加工質(zhì)量的一項(xiàng)重要指標(biāo)[4]。

目前關(guān)于表面粗糙度的國家標(biāo)準(zhǔn)主要是針對二維輪廓進(jìn)行評定的，提出了三類評定表面粗糙度的參數(shù)，其中包括用于描述表面輪廓高度的統(tǒng)計(jì)特性、極值特性和分布特性的幅值參數(shù)，描述表面峰值間距特性的空間參數(shù)和用來綜合反映表面輪廓形狀特性的綜合參數(shù)[5-6]。各種不同的測量技術(shù)和測量儀器的使用使超精密加工后藍(lán)寶石晶片的表面質(zhì)量和粗糙度的測試和評價(jià)變得更加便利，但這些儀器所測得的粗糙度等參數(shù)僅是通過一些簡單的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)來描述的，如平均粗糙度、PV值和均方根值粗糙度等。這些表征參數(shù)只包含有垂直方向上的信息，忽略了很重要的橫向和縱向空間信息的分布情況，因此不能準(zhǔn)確表征整個藍(lán)寶石晶片的表面形貌特征[7-8]。如何對整個藍(lán)寶石表面形貌進(jìn)行準(zhǔn)確描述已成為一項(xiàng)重大課題。

藍(lán)寶石表面形貌信號的空間波形是極不光滑的，其變化趨勢沒有一個確定的函數(shù)關(guān)系，但這些非線性特征信號在一定的尺度范圍內(nèi)都具有隨機(jī)性和混沌特征。隨著以隨機(jī)過程理論為基礎(chǔ)的表面形貌識別技術(shù)和非線性動力學(xué)中混沌時(shí)間序列信號的相空間重構(gòu)理論研究的不斷深入，時(shí)序模型的功率譜已發(fā)展為輪廓與表面的功率譜，它可以更確切地描述表面形貌的各項(xiàng)特征，而混沌理論中的分形維數(shù)是定量描述混沌吸引子的一個重要參數(shù)，被廣泛應(yīng)用于定量描述系統(tǒng)的非線性行為[9]。本文將通過功率譜和分形理論來分析藍(lán)寶石的表面形貌特征，探討表征藍(lán)寶石表面形貌特征的新方法。

2 功率譜和分形維數(shù)算法

2.1 功率譜法

表面譜分析是時(shí)域或空域信息轉(zhuǎn)換到頻率域的強(qiáng)有力工具[10]，其將表面輪廓波形分解為不同正弦表面的疊加，能夠突出單個頻率或空間波長的信息，還可以反映出不同空間波長成分在整個信息中所占的比重，從而相對地揭示出不同空間波長成分對表面粗糙度的影響。經(jīng)過超精密加工的光滑表面在微觀程度上都表現(xiàn)為三維的高低起伏，表面粗糙度就是對這種表面上的微峰谷在Z方向上進(jìn)行的統(tǒng)計(jì)描述z(x，y)。若，以柵格掃描方式對單晶藍(lán)寶石片在x，y方向上按Nyquist準(zhǔn)則選擇采樣步距，分別以固定間隔Tx、Ty，采樣點(diǎn)數(shù)分別為M和N進(jìn)行采樣，則函數(shù)z(x，y)變?yōu)閦(pTx，qTy)，其中p=0,1,2,……,M-1；q=0,1,2,……,N-1。則其對應(yīng)的離散二維FFT為

(1)

式中，u=0，1，2，……，M-1；v=0，1，2，……，N-1。fu=u/(MTx)，fv=v/(NTy)。采用最有效和廣泛使用的周期圖法來估計(jì)其相應(yīng)的離散功率譜密度可近似表示為

當(dāng)用這種周期圖法作譜估計(jì)時(shí)，存在著功率譜密度的統(tǒng)計(jì)變異和能量泄漏兩個問題，前者為統(tǒng)計(jì)誤差，是由于采集數(shù)據(jù)數(shù)量有限而引起的不確定度；后者是譜分析中的固有問題，其會引起譜估計(jì)的偏度誤差，因此在實(shí)際處理技術(shù)上往往需要對周期圖法進(jìn)行修改以盡量減小誤差。如對測量數(shù)據(jù)進(jìn)行分段平滑處理，以減小統(tǒng)計(jì)變異性，以及采用數(shù)據(jù)窗處理以減小泄漏等[10]。

2.2 分形法

經(jīng)研磨后的藍(lán)寶石表面結(jié)構(gòu)具有很強(qiáng)的自相似性。將分形維數(shù)應(yīng)用于介觀尺度下藍(lán)寶石表面特征的研究，為研究藍(lán)寶石復(fù)雜表面特征提供了一種新的思路和方法。由Takens重構(gòu)定理可知，一個動力系統(tǒng)在演化過程中其各個變量之間存在內(nèi)在的聯(lián)系，系統(tǒng)中任一變量的演化都是與系統(tǒng)其他變量相互作用所決定的，任一變量的演化過程中也就隱含了系統(tǒng)的演化信息[11]。分形維數(shù)是定量描述分形特征的主要參數(shù)。表面分形維數(shù)越大，表面結(jié)構(gòu)越復(fù)雜。在眾多的分形維數(shù)中，關(guān)聯(lián)維數(shù)由于對吸引子的不均勻性反應(yīng)敏感，更能反映吸引子的動態(tài)結(jié)構(gòu)，且關(guān)聯(lián)維數(shù)易于從實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中直接測定，求解關(guān)聯(lián)維數(shù)的G-P算法簡單可靠，所以關(guān)聯(lián)維數(shù)常被用來描述時(shí)間序列的分析特征。根據(jù)此重構(gòu)定理，采用時(shí)間延遲技術(shù)重構(gòu)相空間。相空間重構(gòu)后選擇關(guān)聯(lián)維數(shù)作為系統(tǒng)狀態(tài)空間吸引子的分維數(shù)，根據(jù)Grassberg和Procaccia提出的用于計(jì)算關(guān)聯(lián)維數(shù)的G-P算法[12]，關(guān)聯(lián)積分C(r)可表示為

(3)

式中，L為重構(gòu)后向空間矢量個數(shù)；r為重構(gòu)相空間的標(biāo)度。

(4)

(5)

一般情況下，常作出關(guān)聯(lián)積分C(r)與標(biāo)度r的雙對數(shù)曲線，即關(guān)聯(lián)積分曲線。把曲線中一段近似直線范圍所對應(yīng)的標(biāo)度范圍作為標(biāo)度區(qū)，再通過最小二乘法擬合出對應(yīng)的直線，該直線的斜率即為所求的關(guān)聯(lián)維數(shù)。

其中，計(jì)算過程中所需確定的延遲時(shí)間τ取其自相關(guān)函數(shù)值首次出現(xiàn)零點(diǎn)時(shí)的時(shí)延為所需確定的時(shí)間延遲；利用系統(tǒng)特征飽和法，嵌入維數(shù)m取其關(guān)聯(lián)維數(shù)達(dá)到飽和時(shí)所對應(yīng)的嵌入維數(shù)。

3 實(shí)驗(yàn)分析

現(xiàn)選用未經(jīng)過拋光的原始表面和經(jīng)過金剛石磨粒拋光后的藍(lán)寶石晶片表面進(jìn)行具體分析。通過三維表面輪廓測量ZYGO測量儀對兩藍(lán)寶石晶片的表面形貌進(jìn)行觀察。藍(lán)寶石原始表面兩個不同部位測得的表面形貌如圖1所示。經(jīng)金剛石磨粒拋光后的藍(lán)寶石晶片不同部位的表面形貌如圖2所示。

圖2 經(jīng)過金剛石磨粒拋光后藍(lán)寶石晶片不同部位的表面Fig.2 Surfaces of different parts of the sapphire wafer after polishing by diamond abrasives

由圖1可知，對于加工精度要求要達(dá)到納米級的藍(lán)寶石晶片而言，同一個晶片表面上不同部位的輪廓最大高度相差0.446μm已是一個非常大的差異，但實(shí)際中經(jīng)常用來評價(jià)表面質(zhì)量的Ra值在這兩個不同部位的數(shù)值卻同為0.086nm。在圖2中，金剛石磨粒在不同部位留下的加工痕跡差別也是比較大的，但這兩個部位的Ra值卻同為0.006nm。由此可知，傳統(tǒng)的表面形貌表征方法不能全面反映表面信息，甚至有時(shí)會給出錯誤的反映。

現(xiàn)分別用二維功率譜法和分形法分析這兩個不同藍(lán)寶石晶片的表面特征。

根據(jù)上文2.1的內(nèi)容得出藍(lán)寶石原始表面和加工后表面的二維功率譜圖如圖3和圖4所示。

由圖3和圖4可知，不同的藍(lán)寶石表面形貌所對應(yīng)的功率譜分布存在著很大差異。在分布圖邊緣上功率譜分布為零，說明藍(lán)寶石的表面形貌是非線性的。分四段計(jì)算兩表面結(jié)構(gòu)分別對應(yīng)的關(guān)聯(lián)維數(shù)分別為0.0322、0.0335、0.0374、0.0299和-2.8433e-19、0.0045、4.1912e-8、-2.2747e-19。藍(lán)寶石經(jīng)拋光后的表面結(jié)構(gòu)發(fā)生很大變化，表面微峰大量減少，更趨于平整。對應(yīng)于二維功率譜中，任意兩正交頻率對應(yīng)的功率譜波峰分布也更為均勻；關(guān)聯(lián)維數(shù)也更小，趨向于零。

圖3 藍(lán)寶石原始表面的二維功率譜圖Fig.3 2D power spectrum of original surface of sapphire

圖4 加工后的藍(lán)寶石表面二維功率譜圖Fig.4 2D power spectrum of surface of sapphire after processing

在加工過的藍(lán)寶石表面分別選取兩個測試點(diǎn)(a和b)，得到取樣長度內(nèi)的表面形貌和功率譜分布如圖5所示。

由圖5可知，a和b測試點(diǎn)的表面形貌是不盡相同的，但兩處的Ra值同為0.022μm。兩處的表面形貌在宏觀上雖比較相似，但仍有差異，所以對應(yīng)的二維功率譜分布也是不相同的，且兩處得到的關(guān)聯(lián)維數(shù)分別為2.0131和2.8893。

圖5 單個取樣長度形貌和其對應(yīng)的功率譜圖Fig.5 Morphology of individual sampling length and its corresponding power spectrum

4 結(jié) 論

傳統(tǒng)的表面形貌參數(shù)不能準(zhǔn)確表征整個藍(lán)寶石晶片的表面形貌特征。本文通過運(yùn)用二維功率譜和分形理論中的關(guān)聯(lián)維數(shù)對藍(lán)寶石晶片在未加工、金剛石磨粒拋光后的表面以及單個采樣長度內(nèi)的形貌進(jìn)行了表征。藍(lán)寶石微觀表面越平坦，則其對應(yīng)的二維功率譜波峰在任意兩正交頻率上的分布越均勻，關(guān)聯(lián)維數(shù)越小。二維功率譜分布和關(guān)聯(lián)維數(shù)包含了工件表面形貌多方面的信息，能夠?qū)ζ溥M(jìn)行準(zhǔn)確表征。

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Analysis of Power Spectrum and Fractal Characteristics of theSurface Topography of Sapphire

XU Yong-chao1,2, LU Jing1,2*, XU Xi-peng1,2

(1.InstituteofManufacturingEngineering,HuaqiaoUniversity,Xiamen,Fujian,China361021;2.MOEEngineeringResearchCenterforBrittleMaterialsMachining,HuaqiaoUniversity,Xiamen,Fujian,China361021)

The surface morphology of the sapphire wafer has been analyzed by 2D power spectrum and correlation dimension of fractal theory. The application of power spectrum calculation by 2D FFT (Fast Fourier Transform) in the surface morphology of sapphire has been introduced; phase space was reconstructed through time delay technology and the correlation dimension of the surface morphology of sapphire was calculated by G-P algorithm. The topographic characteristics of the original surface, processed surface and individual sampling length of sapphire were analyzed through experiment by 2D power spectrum and correlation dimension. Result shows that the surface morphology of sapphire can be characterized by 2D power spectrum and correlation dimension. It avoid the shortcoming of the traditional characterization parameter which contains only information on the vertical direction and can not accurately characterize the surface morphology of the entire sapphire wafer. This type of characterization method has the advantages of being accurate, convenient and informative compared to the traditional methods.

sapphire; 2D power spectrum; correlation dimension; surface topography

2016-09-12

許永超(1986-)，男，河南省輝縣市，華僑大學(xué)制造工程研究院博士研究生，主要從事高效精密加工的研究。

許永超, 陸 靜, 徐西鵬.藍(lán)寶石表面形貌的功率譜與分形特征分析[J].超硬材料工程，2017，29(2)：56-60.

TS933;TQ164

A

1673-1433(2017)02-0056-05