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數(shù)學(xué)化，是指人們運(yùn)用數(shù)學(xué)的方法觀察現(xiàn)實(shí)世界，分析研究各種具體現(xiàn)象，并加以整理組織，以發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過(guò)程。弗賴登塔爾首先提出把“數(shù)學(xué)化”作為數(shù)學(xué)教學(xué)的基本原則之一。作為教育任務(wù)的具體數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)化教學(xué)的課堂，其實(shí)就是讓學(xué)生經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型的過(guò)程。在這一過(guò)程中，孩子像專家一樣思考，經(jīng)歷知識(shí)的來(lái)龍去脈，尤其突出反思能力的培養(yǎng)，使反思成為一種生長(zhǎng)的力量。

一、數(shù)學(xué)化教學(xué)需要與反思結(jié)伴而行

反思習(xí)慣只是數(shù)學(xué)習(xí)慣的一部分，為什么數(shù)學(xué)化教學(xué)對(duì)此情有獨(dú)鐘？究其原因，是數(shù)學(xué)化教學(xué)過(guò)程中的高度抽象特點(diǎn)決定的。

弗賴登塔爾把數(shù)學(xué)化分為兩種類型，一種是“橫向數(shù)學(xué)化”，即強(qiáng)調(diào)生活問(wèn)題到數(shù)學(xué)模型，這一過(guò)程是建模的過(guò)程，如1個(gè)蘋果加上1個(gè)蘋果等于2個(gè)蘋果，諸如此類的生活問(wèn)題，都可以抽象地用算式1+1=2表示，形成一種數(shù)學(xué)的符號(hào)模型；另一種是“縱向數(shù)學(xué)化”，即強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)符號(hào)到數(shù)學(xué)符號(hào)，這一過(guò)程是變模的過(guò)程，如根據(jù)乘法算式12×3=36，可以寫出兩道除法算式36÷3=12和36÷12=3，從乘法模型變化成除法模型。學(xué)習(xí)的過(guò)程是兩種數(shù)學(xué)化交織的過(guò)程，抽象不離其中，困難與機(jī)遇并存。

進(jìn)一步說(shuō)，孩子浸潤(rùn)在兩種類型的數(shù)學(xué)化過(guò)程中，如果不反思建模和變模的全過(guò)程，只是囫圇吞棗地接受一些精密的數(shù)學(xué)結(jié)果和事實(shí)，其過(guò)程必然是痛苦的，學(xué)習(xí)結(jié)果可想而知。所以，為了孩子的終生發(fā)展，數(shù)學(xué)化教學(xué)拒絕單向知識(shí)“傳播”，著重引導(dǎo)經(jīng)歷知識(shí)發(fā)生的過(guò)程，從無(wú)到有，從粗糙到精細(xì)，從外顯到內(nèi)化?？梢源_定的是，沒(méi)有反思在場(chǎng)，學(xué)習(xí)很難像呼吸一樣自然。

二、反思促進(jìn)數(shù)學(xué)化教學(xué)縱深推進(jìn)

1.從無(wú)到有，反思知識(shí)的發(fā)生

數(shù)學(xué)本身就是最好的數(shù)學(xué)化例證。很多知識(shí)“為什么是這樣的”，也就是說(shuō)，知識(shí)發(fā)生的原因是什么，如果不能追根溯源弄明白，困擾就會(huì)糾纏左右。數(shù)學(xué)化教學(xué)著重引導(dǎo)孩子經(jīng)歷知識(shí)從無(wú)到有的過(guò)程，并從反思走向理解。

例如在《升的認(rèn)識(shí)》一課中，先通過(guò)比較兩只玻璃杯盛水量的多少，自然過(guò)渡到裝水多的，其容量就大的事實(shí)，直觀感知容量大和小的存在；接著再比較與兩個(gè)容量比較接近的水壺的容量，通過(guò)“小包大，小的吃不下”和“大包小，大的有剩余空間”的視覺(jué)沖擊，初步建立整體的、模糊的容量表象；然后將研究的視角聚焦到大水壺上，“這個(gè)水壺容量到底是多大呢？”借助大小兩個(gè)不同的杯子，左邊倒?jié)M5杯，右邊倒?jié)M4杯，盡管沒(méi)有剩余，但是到底選擇哪個(gè)來(lái)代表水壺的容量呢？順勢(shì)引導(dǎo)反思：“如果再換不同的杯子，其結(jié)果又會(huì)怎樣？”孩子在積極思考中發(fā)現(xiàn)，原來(lái)對(duì)于相同的水壺，如果用不同的標(biāo)準(zhǔn)去計(jì)量它的容量，其結(jié)果不統(tǒng)一，不方便交流，這樣做也就沒(méi)有現(xiàn)實(shí)意義?；谶@樣的情感積淀，自然過(guò)渡到“為了準(zhǔn)確測(cè)量或計(jì)量容器的容量，要使用同一的單位。”最后，升的出場(chǎng)，認(rèn)識(shí)和了解它變得水到渠成。

2. 從粗到細(xì)，反思知識(shí)的經(jīng)過(guò)

教材呈現(xiàn)的知識(shí)，有些是過(guò)程性的，而有些只是結(jié)果。孩子的學(xué)習(xí)不能只有“告訴”，被動(dòng)接受粗糙的知識(shí)，還應(yīng)該有入木三分的精細(xì)解讀。換句話說(shuō)，就是怎樣將靜態(tài)的文本知識(shí)有序地轉(zhuǎn)化為動(dòng)態(tài)的問(wèn)題，并引導(dǎo)孩子積極參與。

例如在《垂線和平行線》的第一課時(shí)，主要是引導(dǎo)孩子從已知的線段出發(fā)，線段向一端無(wú)限延長(zhǎng)，得到的圖形就是射線；而向兩端無(wú)限延長(zhǎng)，得到的圖形就是直線，然后，再比較三種圖形的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)。顯然，這樣的課堂，是把距離當(dāng)成事實(shí)性知識(shí)在傳授，孩子被動(dòng)接受的痕跡明顯。當(dāng)追問(wèn)“為什么從這個(gè)點(diǎn)到另一點(diǎn)的線段就是兩點(diǎn)之間的距離？”更多的是師者不明白，孩子更糊涂。其實(shí)，教師可以借助書中的主題圖，通過(guò)三種不同顏色線的對(duì)比，引導(dǎo)孩子反思對(duì)比，“兩點(diǎn)之間的連線還可以怎樣畫？能畫多少條？要描述兩點(diǎn)之間的長(zhǎng)度，選擇哪一條線比較合適？”通過(guò)小組討論，逐步逼近數(shù)學(xué)定律的本質(zhì)，原來(lái)在這些線中，兩點(diǎn)之間線段的長(zhǎng)度是確定的，而其他線的長(zhǎng)度不確定，所以為了方便交流，“兩點(diǎn)之間線段的長(zhǎng)度是兩點(diǎn)之間的距離”的規(guī)定，就自然被選擇和確定下來(lái)。有了反思的過(guò)程，粗糙的數(shù)學(xué)事實(shí)變成了靈動(dòng)的數(shù)學(xué)思考。

3.從外到內(nèi)，反思知識(shí)的聯(lián)系

知識(shí)也是有其自身的結(jié)構(gòu)的，尤其是數(shù)學(xué)學(xué)科邏輯性較強(qiáng)，其結(jié)構(gòu)特征更為明顯。數(shù)學(xué)化教學(xué)強(qiáng)調(diào)知識(shí)之間緊密的聯(lián)系，提倡將知識(shí)點(diǎn)嵌入整個(gè)知識(shí)鏈中，然后縱橫交錯(cuò)成完整的知識(shí)體系。而建構(gòu)完美的知識(shí)大廈，需要反思來(lái)助力。

例如在《多邊形面積計(jì)算的復(fù)習(xí)》中，一般情況下，課堂從復(fù)習(xí)圖形面積公式開(kāi)始，注重公式的背誦和運(yùn)用。而圖形之間的聯(lián)系，也只是參照書中的主題圖，以學(xué)習(xí)的先后順序，通過(guò)圖形的變化來(lái)感知公式內(nèi)在的聯(lián)系?？此泼總€(gè)圖形面積都復(fù)習(xí)了，由表及里細(xì)細(xì)分析，其實(shí)只是“炒冷飯”，思考沒(méi)有深度，對(duì)圖形面積的掌握，只會(huì)是費(fèi)時(shí)卻不達(dá)標(biāo)。缺少了反思，知識(shí)之間恰似一盤散沙?？梢砸龑?dǎo)思考“面積計(jì)算中最基本的圖形是誰(shuí)？”“未知的圖形都轉(zhuǎn)化成了已知的圖形，轉(zhuǎn)化的過(guò)程一樣嗎？”“為什么三角形和梯形的面積公式中要除以2，而平行四邊形的公式卻不需要？”“圓的面積轉(zhuǎn)化又有什么有別于其他轉(zhuǎn)化的地方？” 通過(guò)不同層次和不同角度的反思，有力地促進(jìn)了孩子對(duì)轉(zhuǎn)化本質(zhì)的把握。◆（作者單位：江蘇省如皋市外國(guó)語(yǔ)學(xué)校）

□責(zé)任編輯：潘中原