李惠　朱炬錕　張世豪

摘要：本文提出“分層共用”和“均分流量”的理念，設(shè)計出收費廣場新方案的雛形。然后，通過流體力學(xué)模擬理論和排隊論建立車輛通過收費廣場的延誤時間的函數(shù)模型，得出在3條道路基礎(chǔ)上，收費站個數(shù)為7個為最優(yōu)方案。至此，進一步明確新收費廣場的形狀、尺寸和并和模式。隨后，我們基于數(shù)學(xué)建模思想建立評估模型論證新方案的優(yōu)越性，同時對方案做進一步修訂。具體如下：第一，量化車輛跨越距離，從而建立事故預(yù)防的安全等級評估機制。第二，建立吞吐量和車流量的函數(shù)式評估吞吐量。第三，建立基于不同流量下的吞吐量和安全評價等級新評估標(biāo)準(zhǔn)；第四，考慮土地和建設(shè)成本建立成本函數(shù)式。最后，我們得出，我們的方案在安全、性能、成本上均優(yōu)于原方案。

關(guān)鍵字：流體力學(xué)模擬理論；排隊論；評估模型；收費廣場設(shè)計

一、概述

交通運輸是人類進步的重要物質(zhì)基礎(chǔ)。隨著科技的進步，對交通設(shè)備的要求也越來越高。收費站作為交通運輸?shù)囊徊糠?，如何改善其已有模式，如何提高它的便捷性和效率性是?dāng)下面臨的重要問題。

一方面，我們需要研究收費站的通行能力及其影響因素，這對能否充分發(fā)揮高速公路的功能具有重要意義。另一方面，減少機動車延誤時間來提高現(xiàn)有道路的使用效率，從而緩解道路的擁堵情況。收費站不僅影響車流運行是否暢順，更是影響服務(wù)品質(zhì)的重要因素。因此，我們需要結(jié)合其通行能力、事故預(yù)防、成本等多種因素，提出新的收費廣場的設(shè)計方案。同時，考慮新方案的科學(xué)性、性能也必不可少。

二、方案雛形

通常情況下，收費廣場是將收費站放在同一垂直線上，而我們新方案的解決思路是將直線分成兩層，并在同一水平線上實現(xiàn)共用。我們將此思路定義為“分層共用”。這樣，在考慮空間的利用率和整體的流暢性的同時，也增大了同一垂直方向的利用率，進而在一定程度上減緩交通流。

為減緩道路壓力同時盡可能增大安全系數(shù)，同時對并和模式做優(yōu)化，我們提出“均分流量”思路，即對車輛扇入到單邊道路的路面形狀和并和模式做對稱處理，使得車輛從兩邊扇入到高速路時更均勻。

我們將上述兩個理念設(shè)計整合，得到新方案的雛形，總設(shè)計草圖見圖1。

圖1 方案雛形圖

三、優(yōu)化方案

為進一步明確尺寸問題，我們結(jié)合現(xiàn)有水平的收費廣場做進一步的理論分析，從而在優(yōu)化方案的同時，為評估模型的建立提供切入口。

（一）延誤時間函數(shù)模型。

我們將收費廣場分為三個部分，分別為扇入?yún)^(qū)（fan-in area）、扇出區(qū)（fan-out area）和收費障礙區(qū)（toll barrier）（見圖2）。為了量化分析雛形，同時明確具體參數(shù)，我們使用流體力學(xué)模擬理論和排隊論建立車輛通過收費廣場的延誤時間函數(shù)模型。以車輛通過收費廣場的總延誤時間為目標(biāo)函數(shù)，建立總延誤時間和收費站個數(shù)間的函數(shù)關(guān)系式。延誤時間越少，對應(yīng)的收費站數(shù)最佳。其中，用流水力學(xué)模擬模型分析扇入?yún)^(qū)和扇出區(qū)，用排隊論分析收費障礙區(qū)。

1.流體力學(xué)模擬理論。

由于交通流具有波動、流動、擴散等流體屬性。并且，在進入扇入?yún)^(qū)和扇出區(qū)時，交通流密度較大，基于此，我們對這兩個區(qū)域使用流體力學(xué)理論將交通流視為連續(xù)流進行研究。

其中，表示進入扇出區(qū)消耗的平均時間。表示進入扇入?yún)^(qū)消耗的平均時間。表示扇出區(qū)的水平長度。表示高速公路單向的垂直長度。表示收費障礙區(qū)的垂直長度。表示車輛從扇出到扇出區(qū)時刻的速度。表示車輛從扇入?yún)^(qū)扇入到公路時刻的速度。表示扇出、扇入?yún)^(qū)與水平線的夾角。根據(jù)相關(guān)研究，該角度需要滿足

2.排隊論。

當(dāng)車輛進入收費障礙區(qū)時，就處于一種排隊等候服務(wù)的排隊論模型。所以對這段區(qū)域的分析，我們采用排隊論中的標(biāo)準(zhǔn)M/M/B模型分析。由排隊論相關(guān)理論知識，有

（二）結(jié)果。

通過MATLAB對（式3-6）進行帶值計算，得出對應(yīng)收費站個數(shù)下的逗留時間（見表1），其中，道路數(shù)我們采取的是常規(guī)的3道。

從表1中，我們得到等待時間的負數(shù)值，負數(shù)值結(jié)果顯示結(jié)果是不穩(wěn)定的，所以我們不考慮負數(shù)值的情況。同時，我們應(yīng)選用最小的總時間對應(yīng)下的收費站個數(shù)?；谶@兩點，我們可以得出最佳的收費站個數(shù)為7個。

四、評價模型

（一）建立評估標(biāo)準(zhǔn)。

1.事故預(yù)防評價模型。

一方面，通常車輛從扇入?yún)^(qū)扇入的公路過程中，必須按照規(guī)定的導(dǎo)向線行駛。若跨越車道數(shù)越多，則事故發(fā)生率越高，相應(yīng)地，其安全系數(shù)就越低。另一方面，并和模式的設(shè)計影響著事故預(yù)防的能力，不同的并和模式對應(yīng)不同的安全系數(shù)。因此，有必要建立基于不同并和模式下的安全系數(shù)評估方法。

我們知道車輛在垂直方向上移動的距離越多，越不安全，隨著跨越的距離越大，安全隱患呈現(xiàn)逐步增大的趨勢。所以，我們把車輛垂直方向上移動的距離的遠近作為初步量化安全系數(shù)的因素。同時，我們考慮其安全系數(shù)隨距離遠近的變化的趨勢，理論上，跨越道數(shù)增多，危險系數(shù)相應(yīng)增大。所以，我們對量化后的初步安全系數(shù)進行隨跨越道路數(shù)變化的標(biāo)準(zhǔn)化處理。最后，為了合理表征隨距離增大的變化趨勢，我們使用冪函數(shù)來量化。

我們設(shè)表示車輛跨越米的危險度。設(shè)道路寬度為，收費車道和收費島總的寬度設(shè)為。我們假設(shè)的中點所處的水平直線為換道標(biāo)準(zhǔn)基線，同時，當(dāng)車輛行駛到車道上，也以中點所處的水平直線為換道標(biāo)準(zhǔn)基線。其中，跨越的距離結(jié)合和以實際計算為標(biāo)準(zhǔn)。

2.衡量吞吐量標(biāo)準(zhǔn)。

每小時從高速公路扇出到扇出區(qū)的車輛和車輛每小時扇入到高速路的吞吐量的定義是一致的。為了定量評估吞吐量，當(dāng)車輛流入到收費障礙區(qū)，需要額外消耗因收費障礙引起的等待和服務(wù)時間。

至此，我們只需分析每小時扇出車輛，即可計算出吞吐量。

3.優(yōu)化評估模型。

由于我們的解決方案在尺寸、形狀、成本上基本固定，且在正常車流量下，其安全性能及吞吐量都可以通過相應(yīng)的評估機制評定。然而，當(dāng)涉及輕重流量的性能分析時，我們僅僅結(jié)合吞吐量模型方程式分析流量已經(jīng)不能滿足要求，同時，我們需要進一步考慮事故預(yù)防。在這里，通過單個車輛的跨越距離來評估道路的安全性能已經(jīng)不能滿足基于輕重流量的分析。所以，我們需要基于車流量的大小，重新定義新的標(biāo)準(zhǔn)。

（二）對比評估。

事故預(yù)防和并入方式對比：

首先，我們將考慮事故預(yù)防和并入方式對原方案和我們的解決方案進行對比分析。

因為每種設(shè)計方案都存在很多有限解的情況，為了平衡流量和處于實際考慮，我們在結(jié)果檢驗中選取的并入方式為各條道路上盡可能平均分配的方案來對比。結(jié)果見表4。

尺寸和成本對比：

我們分析原方案和我們的解決方案的尺寸，進而對比兩種方案在成本上的性能。在此，為簡化分析過程，我們采用作圖分析（見圖3）。

結(jié)果分析：圖中藍色區(qū)域為原方案，紅色區(qū)域?qū)?yīng)我們的解決方案并和方式。紅色區(qū)域的面積明顯小于藍色區(qū)域。所以，通過費用評估函數(shù)分析可知：我們的方案的成本低于原方案。

綜上，新方案在形狀和并和模式上有所創(chuàng)新，在減少尺寸的基礎(chǔ)上，節(jié)約了成本；在并和模式創(chuàng)新基礎(chǔ)上，提高了安全性能。

五、綜述

本文結(jié)合相關(guān)理念設(shè)計出新的收費廣場方案，并通過數(shù)學(xué)模型對現(xiàn)有收費廣場進行了分析，從而得出新方案的一些具體可靠的參數(shù)。在此基礎(chǔ)上，引入評價模型對方案進行優(yōu)越性分析，進一步完善了方案的設(shè)計，給方案的優(yōu)越性提供了科學(xué)的依據(jù)。

為使新方案設(shè)計的更完整，同時使得方案中空閑區(qū)域合理利用，我們考慮引入綠化區(qū)、潮汐車道和應(yīng)急車道。具體如下：

1.一方面，我們在雙向道路中間增加一個車道的綠化帶，可以凈化空氣。另一方面，我們把兩個收費廣場之間的綠化帶清除，作為潮汐車道用。當(dāng)一邊交通堵塞，就可以開啟潮汐通道，以解決交通壓力。

2.考慮到緊急情況的處理，可以在設(shè)計的收費廣場外，增加一條應(yīng)急車道。

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