嚴(yán)興泉

學(xué)習(xí)了三角形全等和等腰三角形有關(guān)知識(shí)后，可以尋找到幾何證明入門的一些方法。以證明兩條線段相等為例來談點(diǎn)體會(huì)，與大家商榷。

一、基本圖形是尋找論證兩條線段相等途徑的基石

在初學(xué)幾何圖形中，我們可以把兩個(gè)三角形全等和一個(gè)等腰三角形當(dāng)做基本圖形。另外，我們?cè)谧C題中還要注意以下的圖形：

①與一個(gè)角的一邊平行的直線與另一邊和這個(gè)角的平分線相交構(gòu)成的三角形是等腰三角形。如圖1：AP平分∠MAN，C在AM上，CB//AN，CB交AP于B，則△ACB是等腰三角形。由AP平分∠MAN得∠1=∠2，由BC//AN得∠2=∠3，所以∠1=∠3，所以AC=BC。

②一個(gè)角的平分線的垂線與這個(gè)角的兩邊相交所得的三角形是等腰三角形。如圖2：

AP平分∠MAN，D為AP上任一點(diǎn)，過點(diǎn)D作BCAP，交AM于C，交AN于B，則△ABC是等腰三角形.由AP平分∠MAN得∠1=∠2，由BCAP得∠3=∠4=90°，易得△ABD△ACD，則AC=AB.

另外還有一個(gè)圖形也值得大家去領(lǐng)會(huì)與掌握：

③一個(gè)三角形的兩條高中任意一條高與另一條高所在邊組成的銳角相等。如圖3：

△ABC中，AD，BE是兩條高，則∠1=∠2，由AD是高得∠3=90°，所以∠1+∠C=90°，同理∠2+∠C=90°，所以∠1=∠2.

以上五個(gè)圖形在尋求證題方法時(shí)我們要把他們當(dāng)作基本圖形來看待，會(huì)得到事半功倍的效果。

二、尋找被證線段所在圖形的位置是證等線段的基本思路

證兩條線段相等的基本思路是：（1）所證等線段分居在兩個(gè)三角形中，可設(shè)法證全等；（2）所證等線段在一個(gè)三角形中可設(shè)證等腰三角形；（3）若不能直接利用前面兩種方法時(shí)可借助第三等量轉(zhuǎn)換或綜合利用（1）與（2）來思考?，F(xiàn)在就從兩線段所處的位置關(guān)系來思考，可從以下四種情況出發(fā)尋找證明途徑：

1.所證等線段有公共端點(diǎn)，且不共線，一般可證全等或等腰三角形。

如圖4：△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，BE平分∠ABC，BE交CD于F，則CE=CF.

思考： 將CE，CF放在一個(gè)△CEF中，證∠5=∠6，借助基本圖形3，可得∠1=∠A，用角間關(guān)系得∠5=∠A+∠3，∠6=∠1+∠4，而BE平分∠ABC，所以∠3=∠4，所以∠5=∠6，從而得CE=CF。證明略。

如圖5：△ABC中，BD，CE是高，在射線BD上截取BF=AC，在射線CE上截取CG=AB，連結(jié)AF，AG。求證AG=AF。

思考：我們將AF，AG放一個(gè)三角形△AGF中，但不易證出，由條件借助基本圖3易得∠1=∠2，從而可將AF，AG放在△ABF和△GCA中，用SAS證△ABF△GCA，得出AG=AF。

由以上兩題可知我們務(wù)必把握已知條件，結(jié)合圖形特點(diǎn)，尋找恰當(dāng)?shù)娜切危▋蓚€(gè)或一個(gè)）來證明。

2.所證等線段有公共點(diǎn)，且共線，可證其公共點(diǎn)為中點(diǎn)，考慮構(gòu)造全等或?qū)で蟮谌攘俊?/p>

如圖6：在四邊形ABCD中，AB//CD，AD//BC，求證：AC，BD互相平分。

思考：AC，BD互相平分，即證OA=OC，OB=OD。我們可以把它們放在△AOD和△COB或△AOB與△COD中，證其全等。由平行條件可得兩組對(duì)應(yīng)角相等，缺少一組對(duì)應(yīng)邊相等，根據(jù)AB//CD，AD//BC，可證△ABD△CDB或△ABC△CDA，得AD=CB或AB=CD，從而可證。

如圖7：△ABC中，AD是高，∠ABC=2∠C，延長(zhǎng)AB到E，使BE=BD，連接ED并延長(zhǎng)交AC于F，求證：F為AC中點(diǎn)。

思考：先從條件出發(fā)，由BE=BD得∠1=∠E，又∠ABC=∠E+∠1=2∠C，所以2∠1=2∠C，所以∠1=∠C，又∠1=∠2，所以∠C=∠2，從而有DF=CF.下證AF=FD即可，由ADBC，所以∠3+∠2=90°，所以∠4+∠C=90°，已證∠2=∠C，所以∠4=∠3，所以FD=FA，從而有AF=CF，得F為AC中點(diǎn).這里我們借助第三等量DF來證明F為AC中點(diǎn)。

如圖8：四邊形ABCD中，AD//BC，BE平分∠ABC交CD于E，若AEBE，求證：DE=CE。

分析已有條件可發(fā)現(xiàn)與基本圖形①②相仿，如圖8-1延長(zhǎng)AE交BC的延長(zhǎng)線于F，得基本圖形②，易得△ABE△FBE，所以AE=FE，再證明△ADE△FCE可得DE=CE?；蛉鐖D8-2延長(zhǎng)BE，AD交于G，得基本圖形①，由條件得∠1=∠2=∠G，所以AB=AG，又AEBG，所以BE=GE，證△DGE△CBE，得出DE=CE。

由此可見，在平時(shí)的論證中要注重反思，不斷積累經(jīng)驗(yàn)與方法，才能更有效來解題。

3.所證等線段沒有公共點(diǎn)，且共線，尋找（構(gòu)造）三角形全等或借助全等和等腰三角形來轉(zhuǎn)換。

如圖9：在四邊形ABCD中，AB=CD，AD=CB，作AEBD于E，CFBD于F，求證：BE=DF。

思考：從條件可以直接得到△ABD△CDB，從而有∠1=∠2，∠3=∠4，如果我們把BE，DF放在△ABE與△CDF中，就用∠1=∠2即可.（若證BF=DE，可放在△BCF與△DAE中，利用∠3=∠4）。證明略。

如圖10：△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC交AC于E，交CD于F，過F作FG∥AB，F(xiàn)G交AC于G。求證：AG=CE。

分析：由圖4題的結(jié)論可知CE=CF，下可證AG=CF，抓住BE是角平分線與FG//AB，可構(gòu)造兩個(gè)直角三角形，作FHBC于H，作GIAB于I，由角平分線的性質(zhì)得FH=FD，由GF//AB得GI=FD，所以GI=FH，可證Rt△AGIRt△CFH，或利用圖9中的第二種方法，設(shè)法證AE=CG，可作EMAB于M，這時(shí)EM=CE，所以EM=CF，從而△AEM△GCD，具體證明請(qǐng)讀者完成。

4.所證等線段沒有公共點(diǎn)，且不共線，可證全等與等腰或借助全等與等腰三角形來轉(zhuǎn)換。

如圖11： △ABC中，AB>AC，∠BAC的平分線與BC的垂直平分線交于D，作DEAB于E，DFAC，交AC的延長(zhǎng)線于F，求證：BE=CF。

由角平分線的性質(zhì)可得DE=DF，由垂直平分線的性質(zhì)可得BD=DF，從而構(gòu)造△BDE與△CDF。

如圖12：△ABC中，D在AC上，E在AB上，BD、CE交于F，且∠DBC=∠ECB=∠A。求證：BE=CD。

思考：把BE，CD放在△BEF與△CDF中，顯然這兩個(gè)三角形不全等，根據(jù)給出的角的關(guān)系可在△BEF上截出一個(gè)△BEG，設(shè)法證出等腰△BEG和△BG F△CDF，這樣來做：在FE上截取FG=FD，連接BG，可證△BGF△CDF，然后再

證BG=BE.設(shè)∠DBC=∠ECB=∠A=∠α，設(shè)∠ACE=∠β，則∠1=∠α+∠α+∠β=2∠α+∠β，∠2=∠A +∠β=2∠α+∠β，所以∠1=∠2，所以BE=BG，從而BE=CD。

以基礎(chǔ)知識(shí)和基本圖形為基石，以從證明線段所在位置的四種情形來思考，尋找全等或等腰三角形，適當(dāng)時(shí)添加輔助線構(gòu)成全等或等腰，得到問題的解決，從而提升幾何入門學(xué)習(xí)的效率和步伐。