華曉如

[摘 要] 論文基于問(wèn)題教學(xué)法和“說(shuō)數(shù)學(xué)”理論，通過(guò)一節(jié)《零點(diǎn)存在性定理》的教學(xué)實(shí)踐，論述如何在開(kāi)展教學(xué)對(duì)話中，以達(dá)到“以問(wèn)誘思，以說(shuō)促學(xué)”的教學(xué)效果.

[關(guān)鍵詞] 以問(wèn)誘思；以說(shuō)促學(xué)；教學(xué)對(duì)話

古代中國(guó)孔子奉行“不憤不啟，不悱不發(fā)”，在教學(xué)中對(duì)學(xué)生循循善誘、相機(jī)啟發(fā). 在古希臘，蘇格拉底運(yùn)用“精神助產(chǎn)術(shù)”通過(guò)“提問(wèn)—回答—反詰”的模式幫助學(xué)生一步步逼近正確的結(jié)論. 這些都是進(jìn)行教學(xué)對(duì)話的典范. 本文筆者從一節(jié)“零點(diǎn)存在性定理”的教學(xué)實(shí)踐出發(fā)，通過(guò)開(kāi)展教學(xué)對(duì)話，以達(dá)到“以問(wèn)誘思，以說(shuō)促學(xué)”的教學(xué)效果，讓學(xué)生體會(huì)到知識(shí)的來(lái)源，建構(gòu)自己的知識(shí)框架，深入理解問(wèn)題.

案例描述

1. 片段1：高一新授課“函數(shù)零點(diǎn)存在性定理”的講解

開(kāi)始教師先簡(jiǎn)單講解了函數(shù)零點(diǎn)的概念和幾道求函數(shù)零點(diǎn)的練習(xí)題，為主體知識(shí)的講解熱身. 接著，教師開(kāi)始提出一系列問(wèn)題：

問(wèn)題1：?jiǎn)握{(diào)函數(shù)有幾個(gè)零點(diǎn)？請(qǐng)舉例說(shuō)明.

問(wèn)題2：假設(shè)函數(shù)f（x）在[a，b]上的圖像是一段連續(xù)不斷的曲線，請(qǐng)發(fā)揮你的想象力，作出符合以下要求的函數(shù)圖像.

（1）f（a）·f（b）>0且f（x）在（a，b）上只有一個(gè)零點(diǎn).

（2）f（a）·f（b）>0且f（x）在（a，b）上不止一個(gè)零點(diǎn).

（3）f（a）·f（b）>0且f（x）在（a，b）上無(wú)零點(diǎn).

（4）f（a）·f（b）<0且f（x）在（a，b）上只有一個(gè)零點(diǎn).

（5）f（a）·f（b）<0且f（x）在（a，b）上不止一個(gè)零點(diǎn).

（6）f（a）·f（b）<0且f（x）在（a，b）上無(wú)零點(diǎn).

問(wèn)題3：觀察上圖你可以得出什么結(jié)論？

問(wèn)題拋出去后，學(xué)生立即展開(kāi)思考和熱烈討論并陳述自己的所得. 問(wèn)題1：大部分同學(xué)能異口同聲地說(shuō)出答案“一個(gè)或零個(gè)”，并舉出了指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)等例子. 問(wèn)題2：陸續(xù)有學(xué)生走上講臺(tái)畫出了（1）～（5）問(wèn)的圖像，第（6）問(wèn)學(xué)生猶豫不決，但最終畫出了反比例函數(shù)的圖像.

這時(shí)，教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)出在解決上述問(wèn)題中的發(fā)現(xiàn).

學(xué)生A：“圖（1）～（3）可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值同號(hào)時(shí)函數(shù)在該區(qū)間有可能存在零點(diǎn)，也有可能不存在零點(diǎn)，即使存在也無(wú)法斷定函數(shù)有幾個(gè)零點(diǎn). ”

教師馬上給予評(píng)價(jià)：“很好，能夠?qū)D（1）～（3）歸為同一類型‘區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值同號(hào)來(lái)分析，并得到了準(zhǔn)確的結(jié)論，請(qǐng)大家繼續(xù)觀察圖（4）～（6）. ”

課堂上馬上有不少學(xué)生對(duì)圖（6）提出質(zhì)疑：圖（6）所作的反比例函數(shù)不符合“假設(shè)函數(shù)f（x）在[a，b]上的圖像是一段連續(xù)不斷的曲線”的要求，所作圖像是無(wú)效的.

教師：“既然作不出滿足要求的圖像，這說(shuō)明什么呢？”“區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值異號(hào)函數(shù)在該區(qū)間上必定有零點(diǎn).” 在教師和同學(xué)們的提醒，學(xué)生C更準(zhǔn)確地表述出了他的觀點(diǎn)：“一個(gè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，并且區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值異號(hào)，則函數(shù)在該區(qū)間上必定有零點(diǎn).” 準(zhǔn)確的表述獲得了教師的贊許和同學(xué)們的掌聲. 再引導(dǎo)學(xué)生把問(wèn)題1和問(wèn)題2聯(lián)系起來(lái)，學(xué)生D馬上發(fā)言：“單調(diào)函數(shù)有一個(gè)或零個(gè)零點(diǎn)，如果區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值同號(hào)，就不可能有零點(diǎn)了；但如果區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值異號(hào)，那就肯定存在一個(gè)零點(diǎn)！”教師立即高度肯定該同學(xué)：“一不小心就把函數(shù)零點(diǎn)存在性定理給講出來(lái)了！”于是，在教師設(shè)置的一系列相關(guān)問(wèn)題中，學(xué)生思考問(wèn)題，說(shuō)出自己的看法和觀點(diǎn)的過(guò)程中，自然而然地對(duì)這節(jié)課的難點(diǎn)“零點(diǎn)存在性定理”的條件、結(jié)論有了深刻的認(rèn)識(shí).

2. 片段2：“函數(shù)零點(diǎn)存在性定理”的運(yùn)用

教師給出例題“求函數(shù)f（x）=lnx+2x-6的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)”，并設(shè)問(wèn)題1：能否轉(zhuǎn)化為方程的根，通過(guò)解方程來(lái)得到答案？問(wèn)題2：題目要核心解決的是什么問(wèn)題？有沒(méi)有快速解決的辦法？問(wèn)題3：題目給出的函數(shù)具有什么特性？能不能想象一下函數(shù)圖像的樣子？問(wèn)題4：作為一道解答題，我們應(yīng)該怎樣進(jìn)行邏輯說(shuō)理？

學(xué)生E：“無(wú)法通過(guò)解方程解決，也沒(méi)有必要，因?yàn)轭}目的核心問(wèn)題是零點(diǎn)個(gè)數(shù)，而非零點(diǎn)是什么. 但是可以參考解方程的過(guò)程，把lnx+2x-6=0轉(zhuǎn)化為lnx=6-2x，從而通過(guò)作出等式左右兩邊的圖像快速得到答案是1個(gè).”設(shè)置問(wèn)題1和問(wèn)題2的目的已經(jīng)達(dá)到：強(qiáng)調(diào)了審題的重要性和解題方法的靈活性. 問(wèn)題3的解答也很順利，學(xué)生發(fā)言踴躍：“在（0，+∞）上連續(xù)不斷地遞增.”并自然地聯(lián)想到了可以運(yùn)用剛學(xué)的“零點(diǎn)存在性定理”來(lái)解答此題. 再繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生回顧定理內(nèi)容，整理解題思路，最后學(xué)生F總結(jié)發(fā)言：“解題過(guò)程由三部分組成，要說(shuō)出函數(shù)的連續(xù)性、函數(shù)的單調(diào)性和找到兩個(gè)異號(hào)的函數(shù)值.”教師補(bǔ)充說(shuō)明：“單調(diào)性必須給出嚴(yán)格的證明，尋找異號(hào)函數(shù)值是個(gè)難點(diǎn)，要適當(dāng)?shù)胤趴s處理.”最后學(xué)生開(kāi)始動(dòng)筆答題，從而水到渠成.

3. 片段3：零點(diǎn)問(wèn)題的拓展

教師給出例題（2009年天津高考題改編）：設(shè)函數(shù)f（x）=x-lnx（x>0），分別討論y=f（x）在區(qū)間，1和（1，e）內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

此時(shí)，不用教師多說(shuō)，學(xué)生已經(jīng)能夠利用解決上一題的成功經(jīng)驗(yàn)“圖形初判”快速得到答案，并利用“零點(diǎn)存在定理”順利地解答“在（1，e）存在一個(gè)零點(diǎn)”的問(wèn)題. 但在區(qū)間，1上卻遇到了困難，不少學(xué)生開(kāi)始抱怨“定理不管用了”. 教師鼓勵(lì)學(xué)生把觀察到的現(xiàn)象說(shuō)出來(lái)，學(xué)生G發(fā)言：“在區(qū)間，1上，函數(shù)f（x）=lnx的圖像一直在x軸下方，而g（x）=x的圖像在x軸上方，怎么可能有交點(diǎn)呢？這不是一目了然嗎？還需要邏輯說(shuō)理嗎？”學(xué)生H立馬補(bǔ)充：“對(duì)哦！那說(shuō)明lnx

案例分析

本節(jié)課的主體結(jié)構(gòu)是依靠教師一環(huán)扣一環(huán)的提問(wèn)來(lái)構(gòu)建的，以此來(lái)不斷地促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)思考，尋求解決問(wèn)題的辦法.

1. 以問(wèn)誘思

以問(wèn)誘思，關(guān)鍵在于“誘”，核心在于“導(dǎo)”，結(jié)果在于“發(fā)現(xiàn)”. 縱觀整個(gè)教學(xué)案例，所有的設(shè)問(wèn)都是想達(dá)到讓學(xué)生明白“為什么這樣”“可以怎么解決”的目的.

（1）首先，好的提問(wèn)設(shè)計(jì)“可以激發(fā)學(xué)習(xí)者去解釋現(xiàn)象、事實(shí)以及它們之間的聯(lián)系”. 設(shè)問(wèn)要服務(wù)于教學(xué)內(nèi)容，巧拋繡球，突破重點(diǎn)，表現(xiàn)教師對(duì)教材的深入研究. 比如片段1中通過(guò)擺出若干問(wèn)題，層層誘導(dǎo)，都是為了幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)“區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值同異號(hào)與零點(diǎn)是否存在”之間的關(guān)系，使定理的內(nèi)容自然呈現(xiàn).

其次，好的提問(wèn)設(shè)計(jì)“可以激發(fā)學(xué)習(xí)者去探索概念、定理實(shí)際運(yùn)用的方法”，它必須富有啟發(fā)性、針對(duì)性，能解決教學(xué)難點(diǎn). 案例中的片段2和片段3通過(guò)層層設(shè)問(wèn)，啟發(fā)學(xué)生學(xué)會(huì)審題、破題，抓住解題的關(guān)鍵，整理解題的步驟，將題型總結(jié)歸類，實(shí)現(xiàn)了“一題多用”，觸類旁通.

最后，好的提問(wèn)設(shè)計(jì)應(yīng)該是設(shè)計(jì)好一系列問(wèn)題，要“收放自如”. “放”指由一個(gè)中心問(wèn)題向四周輻射展開(kāi)，比如文中的案例中心問(wèn)題是“零點(diǎn)存在性定理”，由此展開(kāi)的問(wèn)題包括“定理的內(nèi)容”“定理的運(yùn)用”“定理的拓展”；“收”指最后要設(shè)置讓學(xué)生可以由表及里，進(jìn)行總結(jié)歸納的問(wèn)題. 三個(gè)片段均有這樣的設(shè)置，讓學(xué)生既有所悟，又能及時(shí)梳理.

2. 以說(shuō)促學(xué)

以說(shuō)促學(xué)，重點(diǎn)在于“說(shuō)得通”. “說(shuō)數(shù)學(xué)”提高了學(xué)生的參與度，尤其是智力參與. 比如片段1，學(xué)生在談?wù)撝谢ハ啾葘?duì)，就能夠知道自己畫出來(lái)的圖像是否滿足要求，從而及時(shí)修正，一步步接近定理，最后提煉出定理的內(nèi)容，這過(guò)程就是創(chuàng)造型和反思型的智力參與過(guò)程. 在片段2中討論解題步驟時(shí)，又是一種操作型的智力參與. 在片段3中，尋找解決無(wú)零點(diǎn)問(wèn)題的辦法也是在學(xué)生討論的過(guò)程中和不斷地反思中找到的整節(jié)課的生成. 在“說(shuō)”的過(guò)程中，“培養(yǎng)了學(xué)生的注意力、觀察力、想象力和語(yǔ)言表達(dá)能力”，即促進(jìn)了學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂上的智力參與.

學(xué)生在“說(shuō)不通”或者“說(shuō)不下去”的時(shí)候最容易暴露錯(cuò)誤，此時(shí)也最容易糾正錯(cuò)誤. 相比課后批改作業(yè)、測(cè)驗(yàn)，“說(shuō)數(shù)學(xué)”是一種最直接、最高效的教學(xué)反饋手段. 在上述案例中，有的學(xué)生就由于忽略定理使用的條件，導(dǎo)致作圖錯(cuò)誤，但被教師和同學(xué)及時(shí)糾正；有的學(xué)生在解決無(wú)零點(diǎn)問(wèn)題時(shí)偏離了正常軌道，也在大家的幫助下找到了正確的解題途徑.

3. 課堂上教師的“問(wèn)”和學(xué)生的“說(shuō)”必須緊密地結(jié)合起來(lái)

教與學(xué)的本質(zhì)是互動(dòng)，其核心是思維互動(dòng)，而問(wèn)答具有促動(dòng)思維的功能. 有了語(yǔ)言的交流，我們就有了探查思維的途徑. 本文倡導(dǎo)的“問(wèn)”并不是單獨(dú)一個(gè)問(wèn)題，而是通過(guò)設(shè)置一系列問(wèn)題去搭建一節(jié)課的框架；本文倡導(dǎo)的“說(shuō)”，也不是局限于回答，而是盡量讓學(xué)生暢所欲言. 以問(wèn)誘思，以說(shuō)促學(xué)，對(duì)教師提出了更高的要求，也給了學(xué)生更多的表達(dá)機(jī)會(huì)，教師的肯定、幫助，學(xué)生在能力提高的同時(shí)，精神層面也更容易獲得滿足，對(duì)人格的完善也起到了促進(jìn)作用.