高考新亮點(diǎn)
——幾何概型

湖北省襄陽(yáng)市襄州區(qū)古驛鎮(zhèn)二中(441122) 吳春菊●

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高考新亮點(diǎn)
——幾何概型

湖北省襄陽(yáng)市襄州區(qū)古驛鎮(zhèn)二中(441122)
吳春菊●

縱觀近年高考試題及高考模擬試題，幾何概型問題頻頻出現(xiàn)，這類問題新穎別致，構(gòu)思精妙，極富思考性和挑戰(zhàn)性.幾何概型的概率求解一般分三步：1.判斷試驗(yàn)是否為幾何概型；2.將試驗(yàn)構(gòu)成的區(qū)域和所求事件構(gòu)成的區(qū)域轉(zhuǎn)化為幾何圖形，并加以度量(如長(zhǎng)度、面積、體積或角度)；3.應(yīng)用幾何概型的概率公式求概率.下面結(jié)合實(shí)例分類解析，旨在探索題型規(guī)律，揭示解題方法.

一、與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型

解析 先利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解出不等式，再根據(jù)幾何概型的概率計(jì)算公式求出概率.

點(diǎn)評(píng) 本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用和幾何概型.求解對(duì)數(shù)不等式考查了運(yùn)算求解能力，幾何概型概率的求解考查了創(chuàng)新應(yīng)用意識(shí).

解析 先根據(jù)方程有兩個(gè)負(fù)根求得p的取值范圍，然后利用幾何概型的概率計(jì)算公式求出概率.

∵方程x2+2px+3p-2=0有兩個(gè)負(fù)根x1,x2，

點(diǎn)評(píng) 本題考查一元二次方程根的分布和幾何概型.根據(jù)一元二次方程根的分布情況建立不等式組求p的取值范圍，考查了邏輯思維能力與運(yùn)算求解能力.將一元二次方程根的分布與概率相結(jié)合，體現(xiàn)了化歸意識(shí)在解題中的應(yīng)用.

例3 (2015·長(zhǎng)沙市模擬題)平面上畫了一組彼此平行且相距2a的平行線.把一枚半徑r

解析 設(shè)“硬幣不與任一平行線相碰”為事件A.

如圖1，在兩相鄰平行線間畫出與平行線間距為r的兩平行虛線，則當(dāng)硬幣中心落在兩虛線間時(shí)，與平行線不相碰.

點(diǎn)評(píng) 本題中把硬幣不與平行線相碰轉(zhuǎn)化為硬幣中心到平行線的距離是關(guān)鍵，可方便地確定事件A的區(qū)域長(zhǎng)度和所有可能結(jié)果的區(qū)域長(zhǎng)度.將概率問題轉(zhuǎn)化為幾何問題來計(jì)算是幾何概型的精華所在.

二、與面積有關(guān)的幾何概型

解析 先求C點(diǎn)的坐標(biāo)，再求D點(diǎn)與A點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求得矩形的面積與陰影部分圖形的面積，代入幾何概型的概率計(jì)算公式求解即可.

故選B.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查幾何概型、分段函數(shù)圖象的識(shí)圖與應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查考生的轉(zhuǎn)化與化歸能力、運(yùn)算求解能力，同時(shí)考查數(shù)形結(jié)合思想.

解析 根據(jù)復(fù)數(shù)的模構(gòu)造出基本事件空間和隨機(jī)事件對(duì)應(yīng)的幾何圖形，轉(zhuǎn)化為面積的比值.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查復(fù)數(shù)的模、幾何概型以及直線與圓的位置關(guān)系等.通過將復(fù)數(shù)的模的關(guān)系式轉(zhuǎn)化為圓面考查抽象概括能力，利用面積求幾何概型的概率考查轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想、運(yùn)算求解能力及創(chuàng)新應(yīng)用意識(shí).

點(diǎn)評(píng) 本題考查約束條件表示的平面區(qū)域及幾何概型.把問題抽象概括為幾何概型問題求解，考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用.在比較概率大小時(shí)，考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

例7 (2013·四川省高考題)節(jié)日前夕，小李在家門前的樹上掛了兩串彩燈.這兩串彩燈的第一次閃亮相互獨(dú)立，且都在通電后的4秒內(nèi)任一時(shí)刻等可能發(fā)生，然后每串彩燈以4秒為間隔閃亮.那么這兩串彩燈同時(shí)通電后，它們第一次閃亮的時(shí)刻相差不超過2秒的概率是( ).

解析 結(jié)合線性規(guī)劃，利用幾何概型求解.

由幾何概型的概率計(jì)算公式得

點(diǎn)評(píng) 本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃和幾何概型的應(yīng)用.將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃和幾何概型問題求解，考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、創(chuàng)新應(yīng)用意識(shí)以及運(yùn)算求解能力.

三、與體積有關(guān)的幾何概型

例8 (2015·武漢市調(diào)考題)如圖6，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，E,H分別是棱A1B1,D1C1上的點(diǎn)(點(diǎn)E與B1不重合)，且EH∥A1D1，過EH的平面與棱BB1,CC1相交，交點(diǎn)分別為F,G.設(shè)AB=2AA1=2a.在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1內(nèi)隨機(jī)選取一點(diǎn)，記該點(diǎn)取自于幾何體A1ABFE-D1DCGH內(nèi)的概率為p，當(dāng)點(diǎn)E,F分別在棱A1B1,BB1上運(yùn)動(dòng)且滿足EF=a時(shí)，則p的最小值為( ).

點(diǎn)評(píng) 本題由2010年福建省高考題改編而成，考查立體幾何的有關(guān)知識(shí)、幾何概型、基本不等式的應(yīng)用等.考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力及“正難則反”的思想方法.

點(diǎn)評(píng) 如果試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域可用體積來度量，那么就要結(jié)合問題的背景，選擇好觀察角度，準(zhǔn)確找出構(gòu)成事件A的區(qū)域體積及試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域體積，再根據(jù)幾何概型的概率計(jì)算公式計(jì)算即可.

四、與角度有關(guān)的幾何概型

例10 (2015·南昌市調(diào)考題)在圓心角為90°的扇形中，以圓心O為起點(diǎn)作射線OC，則使得∠AOC和∠BOC都大于30°的概率為____.

點(diǎn)評(píng) 當(dāng)涉及射線的運(yùn)動(dòng)，扇形中有關(guān)落點(diǎn)區(qū)域問題時(shí)，常以角的大小作為區(qū)域度量來計(jì)算概率，切不可用線段代替，這是兩種不同的度量手段.作射線OD,OE，使∠AOD=30°,∠AOE=60°是求解本題的關(guān)鍵.

例11(2015·襄陽(yáng)市模擬題)在等腰Rt△ABC中，過直角頂點(diǎn)C在∠ACB的內(nèi)部任意作一條射線CM交AB邊于點(diǎn)M，則AM小于AC的概率為____.

分析 在∠ACB內(nèi)的射線CM是均勻分布的，所以射線CM在∠ACB內(nèi)的任何位置都是等可能的.因?yàn)锳M的大小與點(diǎn)M在AB上的位置有關(guān)，為了確保AM

解析 如圖9所示，在AB上截取AC′=AC，連接CC′，則∠ACC′=∠AC′C.在△CAC′中，∵∠A=45°,∴∠ACC′=67.5°.

點(diǎn)評(píng) 解答本題時(shí)，要特別注意“在∠ACB的內(nèi)部任意作一條射線CM交AB邊于點(diǎn)M”這句話，由此確定“測(cè)度”是角度.如果把這句話改為“在線段AB上找一點(diǎn)M”，則問題的情境立刻發(fā)生改變，相應(yīng)的“測(cè)度”應(yīng)改為線段的長(zhǎng)度.

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1008-0333(2017)10-0025-03