段杉杉

(東莞市第六高級中學 廣東 東莞 523420)

談電磁學中的“場”和“路”

段杉杉

(東莞市第六高級中學 廣東 東莞 523420)

“場”和“路”是電磁學中的兩個基本內容，它們在物理內容上有著內在的聯(lián)系，而在研究方法上又有所區(qū)別．由此簡要回顧對電磁場和電路問題的基本認識；給出電磁場物理量與電路物理量的對應關系；從電荷守恒和電磁場方程出發(fā)，推導出直交流電路均適用的基爾霍夫第一、第二方程式，指出直流電路的基爾霍夫方程式只是其中的特例．

電磁場 電路 基爾霍夫方程 似穩(wěn)條件

1 電磁場和電路概述

電磁場是物質存在的一種形式，“場”這種物質與實物一樣具有能量、質量和動量，它的傳播具有一定的速度．在研究場的物理性質時，由于場是空間的點函數，故我們關心的是場中各點的物理過程以及電磁能量在空間的分布，描寫電磁場的基本物理量便相應地成為空間矢量點函數．

在電場中，用一個矢量點函數E

(1)

來描寫電場在該點的性質，稱為電場強度．

在磁場中用磁感應強度B的大小

(2)

來反映該點磁場的強弱，B的方向恰好使運動的正點電荷在該點的受力F與矢量(v×B)同方向．

為了便于描述有介質時的電磁場，引入電位移矢量D和磁場矢量H，定義式為

D=ε0E+P

(3)

(4)

其中P為極化強度，M為磁化強度．E和B為描述電磁場的基本物理量，D和H為相應的輔助物理量．

1819年以前，人們沒有認識到電現(xiàn)象與磁現(xiàn)象的相互聯(lián)系．隨著電磁學的發(fā)展，人們逐漸發(fā)現(xiàn)了變化的電場與變化的磁場間的聯(lián)系．麥克斯韋在前人實踐和認識的基礎上對電磁現(xiàn)象做了系統(tǒng)研究和總結，創(chuàng)建了宏觀電磁場理論，得出麥克斯韋電磁場方程組．

在電路問題中，是用電路模型和電路的物理量來描述一個系統(tǒng)的電磁過程的，這些物理量有電流i，電壓u，電荷量q，磁通ψ等．常見的電路模型由電阻、電感、電容等無源元件和電壓源、電流源等有源元件聯(lián)結而成．對于一定的電路結構和電路參數求出電路中各物理量，則物理系統(tǒng)中的能量變化與轉換、信號的傳輸與再現(xiàn)等狀況都會得到解決．故運用電路方程是解決電路問題的基本方法．

根據電磁場的觀點，電路中能量的儲藏、損耗與轉換是通過電磁場在空間各點進行的，故，可以說電磁場的研究方法是比較一般地對物理過程進行全面描述的方法，而電路的研究方法則有其局限性．將二者比較可以看出，場的特點在于逐點地考察電磁場系統(tǒng)中所發(fā)生的物理過程，而在電路中，其參數概括了一部分介質的電磁特性，表征電路性質的物理量是一個區(qū)域中場量表現(xiàn)的總和．例如，電流強度是一塊面積上電流密度的面積分；電壓是一段路徑上電場強度的線積分，等等．說明場量描述的是一般情況，而“路”的問題是“場”的一種特殊情形．

2 電磁場物理量與電路物理量的關系

前面談到，在物理內容上，電磁場與電路間有著內在的聯(lián)系，而在研究電磁過程的方法上則有所不同．電磁場物理量描述場的一般過程，而電路物理量描述電路中場的特殊形式，體現(xiàn)著場量表現(xiàn)的總和．在一定意義上說，場和路是一般與特殊的關系，微分量與積分量的關系．下面表1中，給出場的概念常用物理量和路的概念常用物理量之間的對應關系．

表1 路量與場量的對應關系

從表1可以看出：

(1)電路的物理量都可用場的物理量的空間坐標積分來表示．反之，場的物理量也可以用電路物理量的空間坐標的微商來表示，即“路”量是積分量，“場”量是微分量．前者與較大的空間尺度相關；后者則描述空間各場點的電磁性質．

(2)電路(以及磁路)的物理量既然可由場量來定義，那么，電路(以及磁路)的規(guī)律也一定可以由電磁場的規(guī)律推導出來．

3 從場方程到路方程

3.1 基爾霍夫第一方程式

圖1所示的一般電路中，包含變化電源e及電阻R，電感L，電容C各純元件．

圖1 一般電路圖

作一閉合曲面A′包圍節(jié)點1，非穩(wěn)恒情況下，對A′曲面，由電荷守恒定律

(5)

式中j為A′面內導線上的傳導電流密度(非高頻場中，可略去導線中的位移電流)，dA′為A′面上的面元，上式左邊的積分等于流出節(jié)點1的傳導電流之和，即

∮A′j·dA′=∑im

(6)

(7)

式(5)可寫為

∑im=-∑id

(8)

令

∑i=∑im+∑id

(9)

得到

∑i=0

(10)

式(10)稱為基爾霍夫第一方程式(第一定律)，又稱為節(jié)電電流方程．∑i是節(jié)點1處流出的傳導電流與流出的位移電流的總代數和，即全電流．式(10)表明，在電路(直流或交流)的任一節(jié)點處，傳導電流和位移電流的總代數和為零，或說全電流的代數和為零．

以圖1所示電路為例，從A′面或節(jié)點1處流出的傳導電流代數和為

∑im=ie+iR+iL+iC

此式右側各項分別是通過電源、電阻、電感、電容各支路的瞬時電流．令流出節(jié)點的電流流向為正，id為節(jié)點1處流過分布電容的瞬時位移電流，于是式(10)的具體形式為

∑i=ie+iR+iL+iC+id=0

在頻率很低或直流電情形，id可忽略或為零．

以上運用電荷守恒定律，在非穩(wěn)恒電路的一般情況下，推導出直流電路的基爾霍夫第一方程式．對于直流電路的特殊情況，因為電路中沒有電感、電容元件，且無位移電流．故基爾霍夫第一方程式(10)的形式更為簡單．在電磁學中，導直流電路的基爾霍夫第一方程式時，是從電荷守恒定律的特殊形式，即電流的穩(wěn)恒條件

∮A′j·dA′=0

(11)

出發(fā)，而導出在電路任一節(jié)點處直流電流強度的代數和為零，即

∑I=0

(12)

顯然，它只是(10)式的特例．

3.2 基爾霍夫第二方程式

圖2所示為一個任意閉合電路，包含有電源e，電阻R，電感L和電容C．在電磁學中，對直流電路基爾霍夫第二方程式(第二定律)是從穩(wěn)恒電場的場強環(huán)路定理∮lE·dl=0出發(fā)而推導出來的．這里對閉合回路l，運用麥克斯韋方程組中的電場環(huán)流方程，即

(13)

圖2 任意閉合電路圖

式中l(wèi)為閉合電路的幾何路徑，A為l所圍得面積，B是包括l在內的回路面積處的磁感應強度．

在有非靜電力的區(qū)域，歐姆定律的微分形式為

j=σ(E+E非)

(14)

電源內部的電場強度

(15)

對電源外部的導線和電阻中，電場強度為

(16)

由式(13)左邊

(17)

上式右端第一項是閉合電路中除電容器兩極之間以外其他各段上的電勢降落，第二項是電容器兩端的電勢降落，第三項為電源的電動勢，即

(18)

(19)

(20)

式中l(wèi)′為回路l中除電容兩極板間之外其他各段路徑．則式(17)變?yōu)?/p>

∮lE·dl=iR總+uc-ε0

(21)

對式(13)右邊，按磁感應強度B及磁通變化率的含義，其應等于回路上自感電動勢與互感電動勢的代數和，即

(22)

其中L′是除電路內的電感L外的寄生電感．因為電路構成的回路包圍一定的面積，并在其中產生磁通，故總會產生一定的寄生電感．用LΣ=L+L′表示該回電路的總電感，用∑ε=ε0+εM表示回路的總電動勢，即電源電動勢加互感電動勢(這里未包括自感電動勢，它將以電勢降落的形式在下面式子中出現(xiàn))．綜合式(13)、(21)、(22)得

即

(23)

該式表明，任意一個閉合回路中，電動勢的代數和等于電阻、電感、電容上電勢降落的代數和．用∑u表示回路的電勢降落代數和，式(23)可寫成更一般的形式，即

∑ε=∑u

(24)

這就是直流電路的基爾霍夫第二方程(第二定律)，又稱回路電壓方程．

對于穩(wěn)恒(直流)電路，B和i不隨時間變化，且沒有電容C，于是式(23)簡化為

ε0=iR總

(25)

∑ε=∑U

(26)

它表明，在任一直流電路中，各電源的電動勢代數和等于各電阻上電勢降落的代數和，這正是直流電路的基爾霍夫第二方程式，它只是式(24)的特例．

直流電路的基爾霍夫第一、第二方程式，可以分別從電流的穩(wěn)恒條件和穩(wěn)恒電場的場強環(huán)路定理導出，顯然這兩個方程式只適用于穩(wěn)恒電流和穩(wěn)恒電場的情形．而交流的基爾霍夫方程式的成立條件則要求電路滿足似穩(wěn)條件，即所討論電路的尺寸遠小于電路激發(fā)的電磁波的波長，l?λ．在這個范圍內，可以認為電磁場變化足夠緩慢，允許忽略電磁波的傳播時間，以致在電路的尺寸范圍內，認為不存在因傳播過程而造成的位相差．例如，不論在電路的任何地方，其交流電流i，交流電壓u，交變電動勢ε，可以忽略它們之間的位相差，前面基爾霍夫第二方程的式(23)便是在此條件下推導出來的．對于迅變電磁場和高頻電路中，顯然已不滿足似穩(wěn)條件，上述的基爾霍夫第一、二方程式不再適用．

4 結論

電磁學中的場和路聯(lián)系十分密切，場的特點在于逐點地考察電磁場系統(tǒng)中所發(fā)生的物理過程，而電路的參量是一定區(qū)域中場量表現(xiàn)的總和，電路的過程是電磁場在特定邊界條件下的表現(xiàn)．描述電磁場的物理量和描述電路的物理量有著微分和積分的關系．運用電荷守恒定律和麥克斯韋方程組中的電場環(huán)流方程推導出交直流電的基爾霍夫第一、二方程式，它們將電磁學中直流電的基爾霍夫第一、二方程式作為特例概括于其中．

1 梁燦彬,秦克戎，梁竹鍵．電磁學．北京：高等教育出版社，1980.234～244，633～636

2 趙凱華,陳熙謀．電磁學(第二版)．北京：高等教育出版社，1985.290～296

3 胡友秋,程福臻．電磁學(第一版)．北京：高等教育出版社，1994.175～185，324～334

4 (美)J·D·克勞斯．電磁學．安紹萱，譯．北京：人民郵政出版社，1979.224～225，364～375

5 大學物理編輯部．大學物理(電磁學專輯)．北京：北京工業(yè)大學出版社，1988.262～264

6 賈起民,鄭永令．電磁學(上冊)．上海：復旦大學出版社.1987.317～323

7 馮茲璋．電磁場．北京：人民教育出版社.1980.450～452

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9 R.P.Winch.Electricity and Magnetism.Prentice-Hall，Inc，1955.19～23，226～228

Talkingaboutonthe“Field”and“Road”ofElectromagnetism

DuanShanshan

(DongguangNO.6SeniorHighSchool,Dongguan,Guandong523420)

Electromagnetic fields and electric circuits are two basic concepts in electromagnetics. They share an internal connection in physical meaning, while differ in research method. This paper mainly reviews the basic knowledge of electromagnetic fields and electric circuits. Additionally, the corresponding relationship between physical quantities of the two concepts is provided. Based on the conservation of charge and the electromagnetic field, the Kirchhoff first and second equations which can be applied to Direct AC circuit are deducted. The Kirchhoff equation is just an exception in the DC circuit.

electromagnetic fields;electric circuits;kirchhoff equation;quasi steady state

2016-11-23)