邵雪杰，顧圣平，曹愛武，何海祥，于婷婷

(河海大學 水利水電學院，南京 210098)

多沙河流水沙變化特征小波分析

邵雪杰，顧圣平，曹愛武，何海祥，于婷婷

(河海大學 水利水電學院，南京 210098)

為了給多沙水庫運行調(diào)度提供依據(jù)，降低水沙序列長度和隨機性的影響，將小波變換應用于研究流域徑流與含沙量的變化特性。采用db3小波對標準化徑流與含沙量序列進行多分辨率分析，研究徑流與含沙量變化的趨勢性；選用復Morlet小波繪制出小波方差圖，分析徑流過程與含沙量過程存在的周期性。以崖羊山水電站所在的李仙江流域為例，針對電站壩址斷面的月平均流量與含沙量序列進行小波分析，從低頻重構序列的結果中可以看出該流域徑流與含沙量的變化趨勢；并結合當?shù)氐慕涤炅颗c水土保持狀況分析，表明結果是合理的。根據(jù)小波方差圖可以看出，崖羊山水電站所在流域徑流過程與含沙量過程存在非常接近的顯著周期，均為2 a左右，且兩者變化周期具有同步性。研究結果表明小波分析是研究非平穩(wěn)隨機時間序列的有效方法。

小波變換；水沙序列；徑流；含沙量；時間尺度；多分辨率分析；小波方差

水沙序列一般是非平穩(wěn)的離散等間距序列，具有隨機性與周期性[1]。為了給多沙水庫運行調(diào)度提供依據(jù)，需要掌握水庫所在流域水沙序列的變化規(guī)律。以往的水文學中常常用譜分析法和相關分析法來分析水沙序列的變化特性，前者受序列長度影響較大，后者受數(shù)據(jù)的隨機性影響較大。由于具備較好的時頻局部化的特點，小波分析方法非常適合用于顯示水沙時間序列的細微結構[2]，其核心為小波變換。小波變換通過計算數(shù)據(jù)中能反映變化特性的小波變換系數(shù)，降低序列長度和隨機性的影響，能夠凸顯序列的變化規(guī)律。

1 小波分析原理

(1)

式中：ψa,b(t)為子小波；a為尺度伸縮因子，又稱頻域參數(shù)；b為時間平移因子，又稱時域參數(shù)。

(2)

當研究離散函數(shù)f(iΔt)(i=1,2,…,N；N為樣本容量；Δt為取樣時間間隔)時，式(2)的離散形式表達為

(3)

當基本小波滿足容許性條件時，即

(4)

(5)

2 小波理論在水沙序列分析中的應用

水沙序列受季節(jié)變化的影響。為降低這類影響，在小波理論應用到水沙序列分析之前，一般對原始序列進行標準化處理[4]，即

(6)

2.1 水沙序列趨勢性分析

水沙序列過程一般認為由3部分構成，即趨勢項、隨機項以及周期項。其中趨勢項對應序列的低頻成分，隨機項對應序列的高頻成分。

應用小波理論進行水沙序列分析時，首先要選擇適當?shù)男〔ê瘮?shù)，通常有2種方法：一種是通過多次試算來挑選誤差較小的小波函數(shù)；另一種方法是參照研究對象的分布形態(tài)特征[5]，依靠經(jīng)驗選擇與其序列形態(tài)相近的小波函數(shù)，本文使用的是這種方法。dbN小波是一種具有N階消失矩的緊支撐正交小波[6]。當N取3時，即db3小波，其尺度函數(shù)和小波函數(shù)存在明顯的波峰和波谷[7]，能較好地反映標準徑流與含沙量序列的豐枯變化，選用其作為基本小波進行水沙序列趨勢性分析比較合適。db3小波的小波基(尺度函數(shù)和小波函數(shù))沒有明確的解析表達式，可以通過給定的濾波器生成。

在實際研究過程中，水沙時間序列大多是離散的，運用相應的離散小波變換對水沙序列進行趨勢性分析，通常從多分辨率分析(MRA)的方法入手，其基本原理為：對?f(t)∈L2(R)，都可以分解為

(7)

設f1,f2∈L2(R)，它們的內(nèi)積定義為

(8)

低頻成分在更低的分辨率下還可以進一步分解成高頻成分與低頻成分，分解公式為

(9)

其中：

圖1 多分辨率分析過程Fig.1 Process of Multiple Resolution Analysis (MRA)

相應地，分辨率為M的低頻成分重構公式為

(10)

多分辨率分析逐步地去除高頻成分，使得低頻成分得以保留，水沙序列的總體趨勢性越來越明顯。

2.2 水沙序列周期性分析

在周期分析方面，本文選用復Morlet小波[8]作為水沙序列周期分析的基本小波，其小波函數(shù)為

(11)

式中:ω0為常數(shù)；i為虛數(shù)單位。與實數(shù)小波相比，復數(shù)小波更能準確地反映水沙序列各時間尺度的周期大小及其在時域中的分布。

徑流與含沙量序列經(jīng)過復Morlet小波變換后可得到小波變換系數(shù)的模及實部。分析小波變換系數(shù)的實部，可判斷同一時間尺度的信號在不同時域的強弱，信號較強的時間段即為大致的周期范圍。

在上述所得到的周期范圍的基礎上，借助小波方差，可以進一步確定序列隱含的顯著周期。方差的大小反映不同時間尺度自身信號的強弱，方差越大，信號越強[9]。當小波方差達到最大值時，小波函數(shù)所選的尺度與隱含周期匹配度最高。離散時間序列的小波方差可以根據(jù)方差公式計算得出，其公式為

(12)

式中W(a,xj)代表頻域參數(shù)為a、時域參數(shù)為xj時的小波變換系數(shù)。由式(12)可知，在尺度a處，方差V(a)等于每個樣本對應的小波變換系數(shù)平方W2(a,xj)的均值。對于復小波函數(shù)的W2(a,xj)而言，即為小波變換系數(shù)模的平方。

3 實例分析

本文以崖羊山水電站所在的云南省思茅地區(qū)的李仙江流域為例，針對電站壩址斷面的月平均流量與徑流含沙量序列，進行小波分析，研究水沙序列的趨勢性和周期性特征。

3.1 數(shù)據(jù)標準化

根據(jù)電站壩址處的月平均流量與對應的平均含沙量序列(1976—1995年，以月為單位，各240個樣點)，運用式(6)進行標準化處理，得到標準化的月平均流量序列和平均含沙量序列(見圖2)。

圖2 標準化處理序列與低頻重構序列對比Fig.2 Comparison between standardized monthly series and reconstruction series of the lowest frequency

3.2 水沙序列趨勢性小波分析

采用多分辨率分析方法，以db3小波為基本小波，對水沙序列進行分辨率為7(分辨率取log2N，N為樣本容量)的小波分解，提取序列的低頻成分。

徑流與含沙量序列的小波分解重構結果如圖2中的點劃線所示。為直觀起見，作經(jīng)過低頻重構序列突變點(2個序列的突變點均為樣點133處，對應于1987年1月)的水平直線，可以看出在突變點兩側，2個序列的趨勢明顯不同，徑流呈先下降后上升趨勢，含沙量呈先上升后下降趨勢。

圖3 年降雨量序列Fig.3 Yearly rainfall series

經(jīng)分析，徑流的趨勢性改變可能與該流域降雨量變化有關[10]。根據(jù)李仙江流域?qū)崪y的降雨量序列(見圖3)可以看出，年降雨量在1976—1987年大致呈下降趨勢，在1987—1995年大致呈上升趨勢，徑流的趨勢性變化基本與降雨量變化同步，二者是正相關關系。而含沙量的趨勢性改變可能與該流域水土保持狀況有關。在20世紀80年代中期之前的一段時期內(nèi)，該流域上游地區(qū)的森林覆蓋率較低，土壤侵蝕較強，且一度有逐年加重的趨勢，導致徑流的含沙量不斷升高。自80年代中期前后起，該地區(qū)逐漸認識到水土流失的危害性，開始重視水土保持建設，采取退耕還林、植樹造林的措施，逐漸恢復并增加森林植被的覆蓋面積，使得徑流含沙量呈下降趨勢。

3.3 水沙序列周期性小波分析

對徑流與含沙量序列，經(jīng)過復Morlet小波變換后可得到小波變換系數(shù)的模及實部，其實部的時頻分布如圖4所示。圖4中圖例是色標，亮度最大為1，最小為0，實部越大，對應的亮度也越大，相應的時間尺度信號越強。從圖中可看出徑流序列和含沙量序列分別存在時間尺度為42～54個月與40～58個月的周期。

圖4 標準月徑流序列與含沙量序列復Morlet 小波變換系數(shù)實部的時頻分布Fig.4 Real part of CWT for standardized monthly flow series and sediment series using complex valued Morlet wavelet

根據(jù)式(12)計算得到2個序列的小波方差,見圖5。

圖5 徑流與含沙量小波方差Fig.5 Flowandsedimentwaveletvariance

由圖5可知，2個序列小波方差的最大峰值均出現(xiàn)在時間尺度為48處，表示該時間尺度下的周期振蕩最強，即可判斷徑流與含沙量序列的大周期應該為48個月，約4a；第2大峰值均出現(xiàn)在時間尺度為24處，可判斷小周期應該為24個月，約2a。

從實部的時頻分布中抽取2個序列大周期對應的縱坐標(時間尺度)的序列，繪制對應時間尺度下的小波變換系數(shù)(實部)圖，結果如圖6所示。

圖6 徑流與含沙量序列大周期(4a)對應的復Morlet小波變換系數(shù)的實部時頻分布Fig.6 RealpartofcomplexvaluedMorletwaveletcoefficientcorrespondingtothedominantperiod(4years)offlowseriesandsedimentseries

圖6中復小波變換系數(shù)實部為正數(shù)時，代表流量與含沙量在此時段偏多，對應豐水期；為負數(shù)時，代表流量與含沙量在此時段偏少，對應枯水期?？梢悦黠@看出2個序列的大致變化規(guī)律是在2年一個小周期內(nèi)均呈1年大1年小的交替變化，且二者的周期大小變化在時域上基本同步。

4 結 語

采用db3小波對水沙序列進行多分辨率分析，研究徑流與含沙量變化趨勢；選用復Morlet小波分析水沙序列的隱含周期，結果合理可信。表明小波分析作為時頻分析的重要手段能夠較為準確地反映水沙序列的變化特性，降低序列長度和隨機性的影響，進而為多沙水庫運行調(diào)度決策提供科學依據(jù)。

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(編輯：陳 敏)

Wavelet Analysis on Flow and Sediment Variation in Sandy Rivers

SHAO Xue-jie, GU Sheng-ping, CAO Ai-wu, HE Hai-xiang, YU Ting-ting

(College of Water Conservancy and Hydropower Engineering, Hohai University,Nanjing 210098, China)

In the aim of providing basis for the operation of sandy reservoir and reducing the influences of length and randomness of flow and sediment series, wavelet transform was adopted to analyze the variation characteristics of flow and sediment series. Standardized monthly flow and sediment series were decomposed by Multi-resolution Analysis using the db3 wavelet function, and continuous wavelet transform was used to evaluate the periodic variations of the two standardized series using the complex valued Morlet function. The flow and sediment series at the dam site of Yayangshan Hydropower Station located in Lixianjiang watershed were taken as an example. The reconstruction of the lowest frequency part revealed the trend of the flow and sediment series. According to the local rainfall and soil and water conservation, the result is considered reasonable. Wavelet variances were obtained to identify the dominant period as 2-year approximately for both flow series and sediment series and reveal the synchronization between them. The results indicate that wavelet transform is effective for nonstationary stochastic series analysis.

wavelet transform; flow and sediment series; runoff; sediment concentration; time scale; multi-resolution analysis; wavelet variances

2016-05-19；

2016-06-26

國家“十二五”科技支撐計劃項目(2013BAB06B01)

邵雪杰(1992-)，男，江蘇南通人，碩士研究生，研究方向為水利水電系統(tǒng)規(guī)劃與工程經(jīng)濟，(電話)15850603872(電子信箱)1289770074@qq.com。

顧圣平(1957-)，男，江蘇泰州人，教授，碩士，研究方向為水利水電系統(tǒng)規(guī)劃與工程經(jīng)濟，(電話)13951893043(電子信箱)spgu@hhu.edu.cn。

10.11988/ckyyb.20160482

2017,34(5):5-8

P333.9

A

1001-5485(2017)05-0005-04