趙新波，韓生超，楊秀娟，閆相禎,3，張立松

熱固耦合作用下的套管?水泥環(huán)?地層多層組合系統(tǒng)應(yīng)力分析

趙新波1,2，韓生超1，楊秀娟1，閆相禎1,3，張立松1

(1.中國石油大學(xué)(華東)儲運(yùn)與建筑工程學(xué)院，山東青島，266580；2.青島理工大學(xué)理學(xué)院，山東青島，266033；3.中國石油大學(xué)(華東)油氣CAE技術(shù)研究中心，山東青島，266580)

考慮非均勻地應(yīng)力、內(nèi)壓和地層高溫對高溫高壓井套管?水泥環(huán)?地層多層組合系統(tǒng)的作用，應(yīng)用彈性力學(xué)理論，結(jié)合邊界條件、接觸條件和連續(xù)條件，獲得熱固耦合作用下套管?水泥環(huán)?地層多層組合系統(tǒng)應(yīng)力分布的解析解。討論水泥環(huán)厚度、彈性模量、泊松比、地層溫度、套管?水泥環(huán)層數(shù)對最內(nèi)層套管內(nèi)壁M ises應(yīng)力分布規(guī)律的影響。研究結(jié)果表明：上述因素對最內(nèi)層套管內(nèi)壁M ises應(yīng)力的分布均有影響；對比套管?水泥環(huán)?地層的單層和多層組合系統(tǒng)，多層組合系統(tǒng)的最內(nèi)層套管內(nèi)壁的M ises應(yīng)力較單層系統(tǒng)明顯降低，這說明多層組合系統(tǒng)具有重要的工程價值。

套管?水泥環(huán)?地層；熱固耦合；多層組合系統(tǒng)；彈性力學(xué)

準(zhǔn)確獲取套管?水泥環(huán)?地層多層組合系統(tǒng)的應(yīng)力分布對于防止套管損壞具有重要工程價值?，F(xiàn)階段，高溫高壓井(HPHT)越來越多，套管處于非均勻高地應(yīng)力、高內(nèi)壓和高地層溫度的聯(lián)合作用下，這進(jìn)一步加劇了套管的損壞，故開展熱固耦合作用下的套管?水泥環(huán)?地層多層組合系統(tǒng)的受力特性分析具有重要價值。國內(nèi)外學(xué)者取得了大量套管?水泥環(huán)?地層三層組合系統(tǒng)的受力特性研究成果。YIN等[1]基于彈性力學(xué)理論，研究了平面問題垂直井筒受地應(yīng)力作用時的力學(xué)行為；殷有泉等[2?5]先后用彈性理論及數(shù)值方法求解得到井筒受地應(yīng)力荷載問題的理論解，并研究了系統(tǒng)接觸表面的應(yīng)力分布規(guī)律；LAST等[6]對構(gòu)造應(yīng)力引起的套管位移進(jìn)行了研究；李軍等[7]用彈性理論及有限元方法對傾斜井組合系統(tǒng)受力進(jìn)行了研究。前人的研究大多基于套管?水泥環(huán)?地層三層組合系統(tǒng)，難以將研究結(jié)果直接應(yīng)用于實際的多層套管受力分析。王宴濱等[8]研究了套管?水泥環(huán)?地層多層組合系統(tǒng)受力特性，然而未考慮地層溫度的作用，并不能直接用于高溫高壓井多層組合系統(tǒng)受力特性分析?；诖耍疚淖髡咭蕴坠?水泥環(huán)?地層多層組合系統(tǒng)為對象，應(yīng)用彈性力學(xué)方法，考慮熱固耦合作用，獲取多層組合系統(tǒng)在非均勻地應(yīng)力下的應(yīng)力分布規(guī)律，并討論水泥環(huán)厚度、水泥環(huán)彈性模量、水泥環(huán)泊松比、套管?水泥環(huán)層數(shù)對最內(nèi)層套管內(nèi)壁M ises應(yīng)力分布規(guī)律的影響。套管?水泥環(huán)?地層多層組合系統(tǒng)對于保證最內(nèi)層套管安全具有重要作用。

1 熱固耦合作用下的多層組合系統(tǒng)力學(xué)模型

假設(shè)高溫高壓井套管?水泥環(huán)?地層多層組合系統(tǒng)無縱向變形，即不考慮垂向主應(yīng)變的變化，此時套管?水泥環(huán)?地層多層組合系統(tǒng)可簡化為平面應(yīng)變問題。根據(jù)套管?水泥環(huán)?地層的實際服役條件，建立高溫高壓井套管?水泥環(huán)?地層多層組合系統(tǒng)熱固耦合模型如圖1所示(其中，hσ和Hσ分別為最小和最大非均勻地應(yīng)力)。

在圖1所示的熱固耦合模型中，套管及水泥環(huán)為理想圓形、厚度均勻的各向同性材料。多層組合系統(tǒng)受到的載荷主要為非均勻地應(yīng)力Hσ和hσ、套管內(nèi)壓p0、套管內(nèi)溫度T0與地層溫度Tf的溫差載荷。整個系統(tǒng)共包括n層，其中，第n層為地層，第n?1層為最外層的水泥環(huán)，第n?2層為最外層套管，以此類推。第i層的參數(shù)為內(nèi)半徑Ri?1、外半徑Ri、彈性模量Ei、泊松比μi。

圖1 多層組合系統(tǒng)熱固耦合模型Fig.1 Thermo-structural coup ling analysismodel of multilayer composite system

2 熱固耦合作用下的多層組合系統(tǒng)應(yīng)力分析

2.1 邊界應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換

在圖1所示的熱固耦合模型中，需將直角坐標(biāo)變換為極坐標(biāo)進(jìn)行應(yīng)力求解。選取極坐標(biāo)系下的模型外邊界(r=Rn處)足夠遠(yuǎn)，即不考慮外邊界溫度變化[9]。因此，由溫度變化引起的內(nèi)外邊界熱應(yīng)力分量為0。利用坐標(biāo)變化[10?11]，組合系統(tǒng)應(yīng)力邊界條件可描述為

2.2 熱固耦合分析

對于各向同性材料，穩(wěn)態(tài)溫度場及包含熱力學(xué)耦合項的結(jié)構(gòu)場控制方程為[12]

溫度場邊界條件為

結(jié)構(gòu)場邊界條件為其中：δ為傳導(dǎo)系數(shù)；h為對流換熱系數(shù)；t1為溫度；Δt1為變溫；Γ為溫度場區(qū)域邊界；uj為位移向量；fj為體力分量；Ejklm為結(jié)構(gòu)彈性模量張量；t1*為已知溫度；Q*為邊界已知熱流量； u*為已知位移向量；f*為已

1

j

j知外力矢量；εkj，σjk和αjk分別為應(yīng)變、應(yīng)力和熱膨脹系數(shù)張量；應(yīng)力σjk為溫度場t1的函數(shù)，下標(biāo)j和k表示對坐標(biāo)的微分；nk為面分量。

由式(2)中第4式可知，σjk由結(jié)構(gòu)應(yīng)力和溫度應(yīng)力線性疊加得到，因此，熱固耦合問題中的應(yīng)力分量可直接由平均應(yīng)力場和偏差應(yīng)力場引起的結(jié)構(gòu)應(yīng)力以及溫度應(yīng)力疊加得到。

2.3 平均應(yīng)力場作用下的組合系統(tǒng)結(jié)構(gòu)應(yīng)力分析

由彈性力學(xué)可得組合系統(tǒng)中第i層圓環(huán)受均勻壓力的拉梅解答[9]，其相對于外邊界均勻壓力的無因次表達(dá)式為

由極坐標(biāo)幾何方程和物理方程[9]，并結(jié)合均勻內(nèi)外壓作用下圓環(huán)環(huán)向位移為0的條件，可得第i層圓環(huán)徑向位移的方程為

由多層組合系統(tǒng)接觸面徑向位移相等可得n?1個方程，形式如下：

式中：系數(shù)ai，bi和ci為包含材料參數(shù)和幾何尺寸的表達(dá)式；i=1,2,3,…,n?1。

2.4 偏差應(yīng)力場作用下的組合系統(tǒng)結(jié)構(gòu)應(yīng)力分析

在偏差應(yīng)力場作用下，通過應(yīng)力函數(shù)求解得到組合系統(tǒng)第i層圓環(huán)相對于外邊界非均勻應(yīng)力的無因次表達(dá)式為

在式(8)～(10)中，共含有4n個未知量。為此，求解偏差應(yīng)力場下的組合系統(tǒng)應(yīng)力需建立4n個方程。利用偏差應(yīng)力場邊界條件及各層交界面的應(yīng)力和位移連續(xù)性條件可組成4n個方程。

2.5 熱載荷作用下的組合系統(tǒng)溫度應(yīng)力分析

2.5.1 溫度場分析

工程上多數(shù)材料的熱導(dǎo)率λ是溫度的函數(shù)[13]，組合系統(tǒng)第i層圓環(huán)的熱傳導(dǎo)率可表示為λi=λ0i(1+eiθ)，進(jìn)而可求得第i層圓環(huán)的線熱流量qi：

式中：θi?1為第i層圓環(huán)的內(nèi)壁溫度；θi為第i層圓環(huán)的外壁溫度；λ0i為第i層圓環(huán)溫度為0℃時材料熱導(dǎo)率；ei為第i層圓環(huán)熱導(dǎo)率隨溫度的變化梯度。

由能量守恒原理，可得求解組合系統(tǒng)穩(wěn)定溫度場的n?1個方程，形式為qi=qi+1(i=1,2,3,…,n?1)，利用試算法[14]可求得n?1個交界面的溫度θi(i=1,2,3,…, n?1)，得到其溫度場分布為

2.5.2 溫度應(yīng)力分析

通過求解滿足平衡微分方程的位移勢函數(shù)，獲得相應(yīng)于位移特解的應(yīng)力分量。由滿足相容條件的應(yīng)力函數(shù)Φ=2?1·Fr2獲得應(yīng)力補(bǔ)充解σr=σφ=F，τrφ=0(F為常數(shù))，最終求得第i層圓環(huán)的溫度應(yīng)力，其相對于內(nèi)壓p0的無因次表達(dá)式為

其中：Fi和Hi為第i層與力學(xué)參數(shù)有關(guān)的常數(shù)；iα為第i層材料的線脹系數(shù)；i=1,2,3,…,n。利用極坐標(biāo)下的幾何方程和物理方程，第i層圓環(huán)徑向位移可表示為

在式(13)和(14)中，共含有2n個未知量。為此，需建立2n個方程求解溫度應(yīng)力。利用溫度場應(yīng)力邊界條件及各層交界面的應(yīng)力和位移連續(xù)性條件可組成2n個方程。

3 算例分析

以新疆油田KS-XX井為例，該井地層壓力系數(shù)高、地溫梯度高、地層情況復(fù)雜，為此在2 800m段采用多層組合系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。各層管的幾何尺寸、彈性模量、泊松比、線脹系數(shù)和熱導(dǎo)率如表1所示，其中：最大水平主應(yīng)力Hσ為70MPa、最小水平主應(yīng)力σh為62MPa；最內(nèi)層套管內(nèi)徑R0為64.95mm；內(nèi)部壓力p0為28MPa；套管溫度T0為60℃；地層溫度θf為340℃。

表1 計算參數(shù)Table1 Calculated parameters

3.1 高溫高壓井多層組合系統(tǒng)應(yīng)力分析

利用本文推導(dǎo)的理論，編寫程序并采用上述參數(shù)計算組合系統(tǒng)多層組合系統(tǒng)關(guān)鍵位置處的M ises應(yīng)力，計算結(jié)果如圖2所示。

由圖2可知：在9層的套管?水泥環(huán)?地層多層組合系統(tǒng)中，套管內(nèi)壁的M ises應(yīng)力明顯高于水泥環(huán)內(nèi)壁的M ises應(yīng)力，這與套管及水泥環(huán)的彈性模量相差較大密切相關(guān)。套管M ises應(yīng)力的最大值與最小水平主應(yīng)力hσ方向重合，最小值與最大水平主應(yīng)力σH方向重合。套管M ises應(yīng)力沿井周分布不均勻，呈現(xiàn)正弦曲線分布規(guī)律，這主要源自偏差應(yīng)力場的作用。套管M ises應(yīng)力的非均勻性在第1層和第4層套管內(nèi)壁體現(xiàn)最明顯，應(yīng)力非均勻系數(shù)[8]分別高達(dá)1.678和1.569。對于第9層的套管?水泥環(huán)?地層組合系統(tǒng)，第4層套管是系統(tǒng)的最外層套管，直接受到非均勻地應(yīng)力作用，這使得該層套管M ises應(yīng)力非均勻性較強(qiáng)。

圖2 多層組合系統(tǒng)各層內(nèi)壁的M ises應(yīng)力Fig.2 M ises stress distribution on inner facesofmultilayer com posite system model

對于第1層套管的內(nèi)壁，直接面臨臨空面，其發(fā)生的應(yīng)力集中必然使得該層套管M ises應(yīng)力非均勻性最高。由于最內(nèi)層套管的應(yīng)力非均勻性較高，使得套管的抗外擠能力大大降低。在第2層和第3層套管內(nèi)壁M ises應(yīng)力非均勻性下降較多，應(yīng)力非均勻系數(shù)分別為1.330和1.389。對于水泥環(huán)內(nèi)壁的M ises應(yīng)力，其應(yīng)力非均勻性明顯降低，這與其彈性模量明顯低于套管的彈性模量直接相關(guān)。

根據(jù)圖2所示結(jié)果，由于第1層、第4層套管的組合應(yīng)力高于第2層、第3層套管，因此，各層套管應(yīng)分別進(jìn)行鋼級選擇。為了充分發(fā)揮套管管材的力學(xué)性質(zhì)，第1層和第4層套管的鋼級應(yīng)高于第2層和第3層套管的鋼級。以新疆油田KS-XX井為例，第1層和第4套管建議選擇N80套管(最小屈服強(qiáng)度為552 MPa)，而第2層和第3層套管建議選擇K55套管(最小屈服強(qiáng)度為379MPa)。

3.2 影響因素分析

根據(jù)以上分析結(jié)果，在套管?水泥環(huán)?地層組合系統(tǒng)中，最內(nèi)層套管內(nèi)壁的M ises應(yīng)力最大，即最危險區(qū)域為最內(nèi)層套管內(nèi)壁。換句話說，只要最內(nèi)層套管內(nèi)壁的M ises應(yīng)力小于許用應(yīng)力，套管強(qiáng)度即滿足。因此，為了保證套管安全，應(yīng)重點關(guān)注最內(nèi)層套管內(nèi)壁的M ises應(yīng)力。考慮到套管的彈性模量與泊松比基本不變，討論水泥環(huán)厚度、彈性模量、泊松比、地層溫度及套管及水泥環(huán)層數(shù)對最內(nèi)層套管內(nèi)壁M ises應(yīng)力的影響。設(shè)套管壁厚為7.5mm，彈性模量為210 GPa，泊松比為0.25；水泥環(huán)壁厚為25mm，彈性模量為11GPa，泊松比為0.3；地層彈性模量2GPa，泊松比為0.3；地層溫度為340℃，內(nèi)壁溫度為60℃。

3.2.1 水泥環(huán)厚度

保持其他參數(shù)不變，改變水泥環(huán)厚度，分析水泥環(huán)厚度對最內(nèi)層套管內(nèi)壁的M ises應(yīng)力的影響。水泥環(huán)厚度變化范圍為10～150mm。

圖3 水泥環(huán)壁厚對最內(nèi)層套管內(nèi)壁M ises應(yīng)力的影響Fig.3 Influenceof cement thicknesson Misesstress distribution of innermost casing insidewall

由圖3可知：隨著水泥環(huán)厚度的增加，最內(nèi)層套管內(nèi)壁的M ises應(yīng)力增大，但增長趨勢變小；當(dāng)水泥環(huán)厚度從10mm增加到30mm時，最大M ises應(yīng)力從417.237MPa增加到470.991MPa，增加53.754MPa，然而，當(dāng)水泥環(huán)厚度從130mm增加到150mm時，最大M ises應(yīng)力從656.744MPa增加到677.162MPa，增加20.418MPa；另外，隨著水泥環(huán)厚度增加，最內(nèi)層套管內(nèi)壁M ises應(yīng)力的非均勻性降低。當(dāng)水泥環(huán)厚度為10mm時，非均勻系數(shù)為2.499 5，然而，當(dāng)水泥環(huán)厚度增加到150 mm時，非均勻系數(shù)降低為1.389 3。

3.2.2 水泥環(huán)彈性模量

保持其他參數(shù)不變，改變水泥環(huán)彈性模量，分析水泥環(huán)彈性模量對最內(nèi)層套管內(nèi)壁的M ises應(yīng)力的影響。水泥環(huán)彈性模量變化范圍為10～80GPa。

由圖4可知：隨著水泥環(huán)彈性模量的增加，最內(nèi)層套管內(nèi)壁M ises應(yīng)力呈現(xiàn)先增加后降低的趨勢。在水泥環(huán)彈性模量達(dá)到30 GPa時，最內(nèi)層套管內(nèi)壁M ises應(yīng)力達(dá)到極大值。當(dāng)繼續(xù)增大水泥環(huán)彈性模量，最內(nèi)層套管內(nèi)壁M ises降低。上述分析說明，對于多層組合系統(tǒng)，較低的水泥環(huán)彈性模量對于保護(hù)最內(nèi)層套管安全是有益的。

圖4 水泥環(huán)彈性模量對最內(nèi)層套管內(nèi)壁Mises應(yīng)力的影響Fig.4 Influence of cementelasticity moduluson M ises stress distribution of innermost casing insidew all

3.2.3 水泥環(huán)泊松比

保持其他參數(shù)不變，改變水泥環(huán)泊松比，分析水泥環(huán)泊松比對最內(nèi)層套管內(nèi)壁的M ises應(yīng)力的影響。水泥環(huán)泊松比變化范圍為0.1～0.4。

由圖5可知：隨著水泥環(huán)泊松比增大，最內(nèi)層套管內(nèi)壁M ises應(yīng)力降低，但降低幅度較??；隨著水泥環(huán)泊松比的變化，套管M ises應(yīng)力的非均勻性變化不大。這說明水泥環(huán)泊松比的變化對最內(nèi)層套管內(nèi)壁M ises應(yīng)力的影響較小。

3.2.4 地層溫度

保持其他參數(shù)不變，改變地層溫度，分析地層溫度對最內(nèi)層套管內(nèi)壁的M ises應(yīng)力的影響。地層溫度變化范圍為140～490℃。

圖5 水泥環(huán)泊松比對最內(nèi)層套管內(nèi)壁M ises應(yīng)力的影響Fig.5 Influence of cement Poisson’s ratio on M ises stress distribution of innermost casing insidewall

圖6 地層溫度對最內(nèi)層套管內(nèi)壁Mises應(yīng)力的影響Fig.6 Influence of formation temperature on M ises stress distribution of innermost casing insidewall

由圖6可知：隨著地層溫度增加，最內(nèi)層套管內(nèi)壁的M ises應(yīng)力增大。由式(12)可知，距離套管中心相等的位置溫度載荷相等，相應(yīng)的溫度應(yīng)力相等。換句話說，對于距離套管中心相等的位置，溫度應(yīng)力是一個均勻應(yīng)力場，這不會改變最內(nèi)層套管內(nèi)壁M ises應(yīng)力沿井周的變化趨勢，即M ises應(yīng)力沿井周的變化趨勢由非均勻地應(yīng)力控制。

3.2.5 套管及水泥環(huán)層數(shù)

水泥環(huán)壁厚15mm，保持其他參數(shù)不變，改變套管及水泥環(huán)層數(shù)，分析套管及水泥環(huán)層數(shù)對最內(nèi)層套管內(nèi)壁的M ises應(yīng)力的影響。套管層數(shù)變化范圍為1～4。

圖7 套管層數(shù)對最內(nèi)層套管內(nèi)壁Mises應(yīng)力的影響Fig.7 Influenceof casing layer numberon Mises stress distribution of innermost casing insidewall

由圖7可知：隨著多層組合系統(tǒng)層數(shù)增大，最內(nèi)層套管內(nèi)壁的M ises應(yīng)力急劇減小。當(dāng)套管?水泥環(huán)層數(shù)從1增加到4時，M ises應(yīng)力最大值從947.207MPa降低到437.232MPa，降幅509.975MPa；非均勻應(yīng)力系數(shù)從2.863減小到2.119。從以上分析可知，套管?水泥環(huán)?地層多層組合系統(tǒng)，對于降低最內(nèi)層套管內(nèi)壁的M ises應(yīng)力及非均勻應(yīng)力系數(shù)具有重要作用，具有工程應(yīng)用的合理性。

4 結(jié)論

1)考慮熱固耦合作用，建立了套管?水泥環(huán)?地層多層組合系統(tǒng)的力學(xué)模型，利用彈性力學(xué)理論獲取了套管?水泥環(huán)?地層多層組合系統(tǒng)應(yīng)力分布的解析解。該解析解表明，溫度對套管?水泥環(huán)?地層多層組合系統(tǒng)的當(dāng)量應(yīng)力影響不能忽略。

2)水泥環(huán)厚度和地層溫度的增加，最內(nèi)層套管內(nèi)壁的M ises應(yīng)力增大；水泥環(huán)彈性模量的增加，最內(nèi)層套管內(nèi)壁M ises應(yīng)力呈現(xiàn)先增大后減小的趨勢；水泥環(huán)泊松比的變化對最內(nèi)層套管內(nèi)壁M ises應(yīng)力的影響較??；多層組合系統(tǒng)層數(shù)增多，最內(nèi)層套管內(nèi)壁的M ises應(yīng)力急劇減小。

3)在套管?水泥環(huán)?地層多層組合系統(tǒng)中，最內(nèi)層套管和最外層套管的M ises應(yīng)力比中間層的高。該系統(tǒng)對于降低最內(nèi)層套管內(nèi)壁的M ises應(yīng)力、保證服役期間的套管安全具有重要工程價值。

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(編輯 趙俊)

M echanical characteristicsanalysisof casing?cement sheath?formationmultilayer com posite system w ith thermo-structural coup ling effects

ZHAO Xinbo1,2,HAN Shengchao1,YANG Xiujuan1,YAN Xiangzhen1,3,ZHANG Lisong1

(1.College of Pipelineand Civil Engineering,China University of Petroleum(EastChina),Qingdao 266580,China; 2.College of Science,Qingdao Technology University,Qingdao 266033,China; 3.Oiland Gas CAE Technology Research Center,China University of Petroleum(EastChina),Qingdao 266580,China)

According to elastic mechanics,analytical solution of the equations under the action of thermo-structural coupling wasobtained by considering contact,continuity and boundary conditions in themultilayer com posite system of casing?cement sheath?formation in HPHT production well.The multilayer composite system was subjected to non-uniform in-situ stress,uniform inner pressure and tem perature pressure.The influences of cement thickness,cement elastic modulus,cement Poisson’s ratio,formation temperature and layer number of casing?cement sheath on M ises stress distribution of the insidewall of innermost layer casingwere discussed.The results show thatall the above factors have great influences on the M ises stress distribution.Comparing monolayer and multilayer casing?cement sheath?formation system of casing?cement sheath?formation,the M ises stress distribution of the inside wall of innermost layer casing inmultilayer casing?cementsheath?formation system is distinctly decreased,and so themultilayer casing?cement sheath?formation system hasan importantengineering value to ensure the safety of casing strength during service.

casing?cementsheath?formation;thermo-structural coupling;multilayer com positesystem;elasticmechanics

TE329

A

1672?7207(2017)03?0837?07

10.11817/j.issn.1672-7207.2017.03.035

2016?03?06；

2016?05?30

國家自然科學(xué)基金資助項目(51274231，51374228)；國家自然科學(xué)基金?石化聯(lián)合基金資助項目(U1262208)；中國石油天然氣集團(tuán)公司重點實驗室課題資助項目(2014A-4214)；青島市應(yīng)用基礎(chǔ)研究計劃項目(15-9-1-71-jch)(Projects(51274231,51374228) supported by the National Natural Science Foundation of China;Project(U1262208)supported by the National Science Foundation of China and Petrochem ical Foundation;Project(2014A-4214)supported by the Key Laboratory of China National Petroleum Corporation;Project (15-9-1-71-jch)supported by the Applied Basic Research Program of Qingdao City)

趙新波，博士，講師，從事油氣田地下工程力學(xué)研究；E-mail:zxbups@163.com