賈沛宇

摘 要：逾滲理論是處理強(qiáng)無序和具有隨機(jī)幾何結(jié)構(gòu)系統(tǒng)常用的理論方法之一。用fortran語言模擬逾滲模型將為科技工作者的研究提供極大便利。本文給出了用fortran語言模擬二維逾滲模型的一種運(yùn)行時(shí)間短、結(jié)果較為準(zhǔn)確的程序方法，并詳細(xì)分析模擬結(jié)果。

關(guān)鍵詞：二維逾滲 fortran 語言逾滲 閾值

一、用fortran模擬二維逾滲

建立二維點(diǎn)逾滲模型如下：把平面分為正方形格子，每一個(gè)格子有占據(jù)和空兩種概率。分別以灰和白表示。如圖所示。設(shè)每一個(gè)格點(diǎn)被占據(jù)的概率為P，這一概率與周圍環(huán)境無關(guān)。若一組占據(jù)格點(diǎn)其間任意二格點(diǎn)滿足直接相連或間接相連，則這組占據(jù)格點(diǎn)稱為集團(tuán)。其中跨越邊界的大集團(tuán)稱為跨越集團(tuán)，沒有跨越邊界的小集團(tuán)稱為孤立集團(tuán)。

本法用fortran語言在計(jì)算機(jī)上模擬二維點(diǎn)逾滲模型主要有以下三步：第一步生成逾滲集團(tuán)；第二步標(biāo)定集團(tuán)，即找出每個(gè)集團(tuán)所包含的格點(diǎn)，并對(duì)每個(gè)集團(tuán)編號(hào)，以便進(jìn)一步分析；第三步根據(jù)第二步結(jié)果具體計(jì)算逾滲閾值。

1.1生成逾滲集團(tuán)

1.1.1調(diào)用init_random_seed函數(shù)，產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)。設(shè)置100行100列的數(shù)組（i表示行，j表示列），按從下到上從左到右的順序?qū)⒚總€(gè)格子依次命名為（1，1），（1，2）……默認(rèn)產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)按照定義的順序（從下到上，從左到右）依次填充在給定的格子中。

1.1.2將區(qū)間[0，1]分成100份，給定概率P，使P從0開始以0.01的步幅不斷增大到1。

1.1.3表示該格點(diǎn)為占據(jù)格點(diǎn)；反之，則對(duì)應(yīng)為0，表示該格點(diǎn)為空白格點(diǎn)。這樣便將模型中占據(jù)、空白兩種情況在計(jì)算機(jī)模擬上予以了區(qū)分。

1.1.4統(tǒng)計(jì)占據(jù)格點(diǎn)的格點(diǎn)數(shù)目。即格點(diǎn)中數(shù)字為“1”的格點(diǎn)數(shù)目。

1.2標(biāo)定集團(tuán)編號(hào)

本文提供的標(biāo)定集團(tuán)編號(hào)方法由Hoshen和Kopelman算法發(fā)展而來。按照以下規(guī)則進(jìn)行：按照從下到上從左到右的順序考察每一個(gè)格點(diǎn)。若為空白格點(diǎn)，則將其跳過。若為占據(jù)格點(diǎn)，則考察其緊鄰的左和下二格點(diǎn)的占據(jù)情況。若左、下二格點(diǎn)均為空白格點(diǎn)（即均為“0”），則賦予該占據(jù)格點(diǎn)新的集團(tuán)編號(hào)；若左、下二格點(diǎn)中一個(gè)為占據(jù)格點(diǎn)（即為“1”），另一為空白格點(diǎn)（即為“0”），則該占據(jù)格點(diǎn)集團(tuán)編號(hào)與左、下二格點(diǎn)中占據(jù)格點(diǎn)集團(tuán)編號(hào)相同；若左、下二格點(diǎn)均為占據(jù)格點(diǎn)（即均為“1”），則比較兩占據(jù)格點(diǎn)集團(tuán)編號(hào)，將這三個(gè)占據(jù)格點(diǎn)集團(tuán)編號(hào)全部命名為左、下兩個(gè)占據(jù)集團(tuán)中編號(hào)數(shù)較小的編號(hào)。

但這一規(guī)則在第一行和第一列的具體運(yùn)行中有困難。原因是第一行的格點(diǎn)不存在下方格點(diǎn)，第一列格點(diǎn)不存在左方格點(diǎn)。為了使平面所有格點(diǎn)均遵循這一規(guī)則，精簡編程語言，加快計(jì)算機(jī)運(yùn)行速度，特?cái)U(kuò)充原有格點(diǎn)。定義“0”行，“0”列，補(bǔ)充在原有空間格點(diǎn)的下方和左方，并定義其全部為空白格點(diǎn)（即為“0”）。該擴(kuò)充格點(diǎn)解決了原有格點(diǎn)中第一行第一列不適用原有規(guī)則的問題，并且不影響原有格點(diǎn)集團(tuán)編號(hào)，使得上述標(biāo)定集團(tuán)編號(hào)規(guī)則在所有的平面格點(diǎn)中均適用。

1.3計(jì)算逾滲閾值和臨界概率

1.3.1判斷跨越集團(tuán)，并統(tǒng)計(jì)跨越集團(tuán)中格點(diǎn)數(shù)目。在按照第二步給定的規(guī)則標(biāo)定好集團(tuán)編號(hào)之后，跨越集團(tuán)即為集團(tuán)內(nèi)格點(diǎn)包含所有行數(shù)（在本文程序中即為行數(shù)i取遍從1到100的所有行數(shù)）的集團(tuán)。

1.3.2求跨越集團(tuán)所占概率。

定義跨越集團(tuán)所占概率probability=

對(duì)于每生成的一組隨機(jī)數(shù)，P分別從“0”開始按照每次0.01的步幅不斷增大，即P依次取0.01，0.02……一直到1.分別算出每給定一個(gè)P值，對(duì)應(yīng)的跨越集團(tuán)所占的概率。隨著P的增大，跨越集團(tuán)從無到有。在P值很小時(shí)，概率probalility一直為0.直到P值增加到某一值時(shí)，概率probalility開始大于0，并隨著P的增加開始急劇增大。

1.3.3判斷逾滲閾值Pc。在P的一系列取值中，在某一數(shù)值處，概率probalility的開始不為0（即平面格點(diǎn)開始出現(xiàn)跨越集團(tuán)），并且急劇增加，則取該P(yáng)值為逾滲閾值Pc。在fortran語言中判斷的標(biāo)準(zhǔn)為：該P(yáng)值（即逾滲閾值Pc）對(duì)應(yīng)的概率probability不為0，而它前面的一項(xiàng)P值對(duì)應(yīng)的概率probability為0.給出多組隨機(jī)數(shù)，求出每組隨機(jī)數(shù)的逾滲閾值Pc。再將一系列Pc求平均，模擬出較為準(zhǔn)確的逾滲閾值Pc。

二、結(jié)果分析

本文給定的程序中共運(yùn)行30次100行100列的隨機(jī)數(shù)，分別計(jì)算出每次隨機(jī)數(shù)的逾滲閾值Pc，并將這一系列Pc多次求解平均數(shù)，以求達(dá)到更精確的擬合效果。運(yùn)用dislin軟件，繪制出三條跨越集團(tuán)所占概率probability對(duì)P值的關(guān)系曲線。由于程序運(yùn)行自動(dòng)給出隨機(jī)數(shù)，每次運(yùn)行結(jié)果略有不同。本文選取其中一次運(yùn)行結(jié)果并予以分析。

程序運(yùn)行之后，計(jì)算機(jī)給出的運(yùn)行結(jié)果臨界閾值Pc=0.60567，臨界指數(shù)為0.10240。

查閱相關(guān)文獻(xiàn)，對(duì)于二維正方形格點(diǎn)，逾滲閾值Pc≈0.5927。本文提供的程序達(dá)到了擬合的精確度。并且運(yùn)算速度快，運(yùn)行時(shí)間相對(duì)較短。但本程序存在一定誤差。多次運(yùn)行發(fā)現(xiàn)，30組隨機(jī)數(shù)和50組隨機(jī)數(shù)的運(yùn)行結(jié)果極其相似。誤差存在原因是模型給定的平面正方形格子為100行100列，讀者可以適當(dāng)擴(kuò)大行列數(shù)。同時(shí)本文只給出了30組隨機(jī)數(shù)的運(yùn)行結(jié)果，樣本數(shù)量不夠大。讀者可自行取更大的樣本數(shù)量，擬合結(jié)果將更加精確。

圖1給出了三條跨越集團(tuán)所占概率probability對(duì)給定P的關(guān)系曲線。每條曲線均由大量數(shù)據(jù)多次求平均值后畫出。當(dāng)0≤P≤0.55時(shí)，跨越集團(tuán)所占概率probability=0。當(dāng)P取為0.55—0.60的某一數(shù)值時(shí)，跨越集團(tuán)所占概率probability開始不為0，并且隨著P的增加而急劇增加。在P=0.8之后，跨越集團(tuán)所占概率probability接近1，并且隨著P的增加無限接近于1。從該曲線可以看出二維平面正方形格點(diǎn)模型逾滲閾值Pc在[0.55，0.60]區(qū)間范圍內(nèi)，在逾滲閾值Pc處，跨越集團(tuán)所占概率發(fā)生急劇變化。反映在二維逾滲的實(shí)際問題中，則是研究對(duì)象的物理性質(zhì)發(fā)生突變。擬合結(jié)果與實(shí)際結(jié)果完全符合。

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