例談一類雙變量不等式的證明

■陜西省西安市臨潼區(qū)馬額中學(xué) 童永奇

例談一類雙變量不等式的證明

■陜西省西安市臨潼區(qū)馬額中學(xué) 童永奇

雙變量問題難度大,試題新穎,很多同學(xué)無從下手,下面通過舉例剖析的形式,著重說明兩個(gè)問題:一是證明與函數(shù)緊密相關(guān)的雙變量不等式問題的常用方法;二是幫助同學(xué)們理清內(nèi)在規(guī)律,便于迅速求解同類問題。

例題：已知函數(shù)f(x)=l nx-ax(a∈R)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1,x2,求證:x1x2＞e2。

分析：本題看似簡單,但實(shí)際較難,具有一定的綜合性,涉及函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式等知識(shí)。從題設(shè)出發(fā),需要進(jìn)一步明確已知條件,借助數(shù)形結(jié)合、適當(dāng)變形,發(fā)現(xiàn)特點(diǎn);從待證式出發(fā),可活用分析法等價(jià)轉(zhuǎn)化目標(biāo)問題,以便構(gòu)造函數(shù),借助導(dǎo)數(shù)加以證明。

又f(1)=-a＜0,不失一般性,若設(shè)x1＜x2,則由f(x)的圖像知

因?yàn)閤1,x2是函數(shù)f(x)=l nx-ax的零點(diǎn),所以f(x1)=l nx1-ax1=0,f(x2)= l nx2-ax2=0。

故l nx1=ax1,① l nx2=ax2。②

由①+②得,l n(x1x2)=a(x1+x2)。③

由①-②得,l nx1-l nx2=a(x1-x2)。④

接下來,可采取幾種不同的思維方法加以靈活證明,請(qǐng)賞析。

方法一：因?yàn)橛散壑?要證x1x2＞e2,即證a(x1+x2)＞2,即證設(shè)函數(shù)則因?yàn)?,所以函數(shù)g(t)在(0,1)上單調(diào)遞增,所以g(t)＜g(1)=0,即 ,故得證。

方法二：由③÷④得:

于是,要證x1x2＞e2,即證2,即證以下同方法一,略。

方法三：由方法一知,要證x1x2＞e2,即證

又易知f(x1)=f(x2),所以即證f(x1)

評(píng)注:上述各方法的共同特點(diǎn)是均需要構(gòu)造新函數(shù),并利用新函數(shù)的單調(diào)性加以證明,但具體探尋新函數(shù)的途徑不盡相同——其中方法一、方法二的關(guān)鍵在于經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖冃巍Q元,并借助分析法,等價(jià)轉(zhuǎn)化為證明關(guān)于“t”的不等式問題;方法三的關(guān)鍵在于借助分析法,結(jié)合函數(shù)f(x)的性質(zhì),等價(jià)轉(zhuǎn)化為證明關(guān)于“x1”的不等式問題。此外,對(duì)比方法一、方法二可知,方法二的變形較為簡單,值得我們?nèi)セ匚?、深思?/p>

練一練：

1.已知函數(shù)f(x)=l nx-ax2(a∈R)。

(2)在(1)的條件下,若f(m)=f(n),且m＜n,求證:m+n＞4a。

2.已知函數(shù)f(x)=ax2-ex(a∈R)在(0,+∞)上的兩個(gè)零點(diǎn)分別為x1,x2,并且x1＜x2。

(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

(2)求證:x1+x2＞4。

(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍;

(責(zé)任編輯 徐利杰)