偏序集上的局部極大濾子

王逸芬，盧濤（淮北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 淮北 235000）

偏序集上的局部極大濾子

王逸芬，盧濤
（淮北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 淮北 235000）

在偏序集上引入局部極大濾子的概念，討論局部極大濾子在格、分配格、Heyting代數(shù)、Boole代數(shù)中的相關(guān)性質(zhì)，得到一些等價(jià)條件，進(jìn)一步地豐富偏序集的內(nèi)容.

偏序集；極大濾子；局部極大濾子

0 引言

濾子作為偏序集上的一個(gè)特殊的集合，同時(shí)也具有很多好的性質(zhì)，對(duì)濾子的研究也一直沒有間斷過.本文受文獻(xiàn)［1-2］啟發(fā)，引入偏序集上的局部極大濾子的概念，并在格、分配格、Heyting代數(shù)、Boole代數(shù)中討論其相關(guān)性質(zhì).

1 偏序集上局部極大濾子的概念

定義1［3］設(shè)L為偏序集，L的任意余定向上集成為L的濾子.L的全體濾子記作FIL(L)對(duì)于L的濾子F，若0?F，則稱F為真濾子.

定義2 設(shè)L為偏序集，M是其上的真濾子，若存在某元素x∈LM，使得M在不含x的所有的濾子中極大（x?F?M蘊(yùn)涵著F=M），那么稱M是L的關(guān)于元素x的極大濾子，簡稱偏序集上的局部極大濾子.

注1 偏序集上的極大濾子都是局部極大濾子，但是反之不一定成立.

例1 如圖1所示，在偏序集L中，{a,c,1}，{b,c,1}是L的極大濾子，且它們分別是關(guān)于點(diǎn)b和a的極大濾子，然而{1}是L關(guān)于c點(diǎn)的極大濾子，不是極大濾子，且{c,1}不僅不是極大濾子，同時(shí)也不是局部極大濾子.

注2 例1不僅說明極大濾子類是局部極大濾子類的真子類；也說明局部極大濾子是濾子類的真子類.

引理1 對(duì)偏序集L上的真濾子F，?x∈LF，則必存在關(guān)于元素x的極大濾子M，使得x?M?F.

證明 記P={?:?是L的真濾子且x???F}.由條件知，F(xiàn)?P，故P≠?，并且P是關(guān)于集合包含關(guān)系?的一個(gè)偏序集，顯然P中任意鏈均有上界，故根據(jù)Zorn引理知，P中必有極大元，該極大元就是關(guān)于元素x的極大濾子M.

引理2 設(shè)F是格L的真濾子，且x∈LF，令F1=?{↓(x∧a):a∈F}，則F1是濾子，且F1?F.

證明 任取b1,b2∈F1，那么分別存在a1,a2∈F，使得b1≤x∧a1,b2≤x∧a2，從而有b1∧b2≤(x∧a1) ∧(x∧a2)=x∧(a1∧a2)，也就是b1∧b2∈↓(x∧(a1∧a2)).由于F是濾子，a1∧a2∈F，從而有b1∧b2∈F1，即F1余定向.又因?yàn)镕1是上集，故F1是L的濾子，且F1?F.又x∈F1,x?F，故F1?F.

圖1 偏序集上的局部極大濾子不是極大濾子

引理3 設(shè)F是格L的真濾子，且x∈LF，那么F是L關(guān)于元素x的極大濾子當(dāng)且僅當(dāng)?y∈LF，存在a∈F，使y∧a≤x.

證明 必要性.設(shè)F是L關(guān)于元素x的極大濾子，對(duì)任意y∈LF，令F1=?{↓(y∧a):a∈F}，由引理2，F(xiàn)1是濾子，且F1?F.又由F的極大性，x∈F1，那么存在a∈F，使y∧a≤x.

充分性.由x∈LF，根據(jù)引理1，存在關(guān)于元素x的極大濾子M，使得x?M?F.下證M=F.假設(shè)M≠F，從而根據(jù)條件，存在a∈F，使得y∧a≤x.又M?F，故a∈M，又M是濾子從而y∧a∈M，根據(jù)M是上集知，x∈M，這與x?M相矛盾，故M=F，即F是L關(guān)于元素x的極大濾子.

推論1 設(shè)F是L關(guān)于元素x的極大濾子，那么有?y∈F,a∈F，則必有y∧a?x.

證明 假設(shè)y∧a≤x，由y∈F,a∈F以及F是理想，知y∧a∈F，而F是上集，于是x∈F，這與x?F矛盾，故y∧a?x.

2 偏序集上局部極大濾子的相關(guān)性質(zhì)

定理1 格L上的局部極大濾子全是不可約濾子.

證明 設(shè)M是一個(gè)L關(guān)于元素x的極大濾子，x?M，若假設(shè)存在濾子F和H，使M=F?H，且F?M,H?M，則存在a∈F,a?M，b∈H,b?M.又由引理3知，分別存在c,d∈M，使a∧c≤x,b∧d≤x，由F?M,H?M,從而有c∈F,d∈H.又因?yàn)閍∈F,b∈H,故a∧c∈F,b∧d∈H,從而有x∈F,x∈H，于是x∈F?H，即x∈M，然而這與x?M相矛盾，故M是不可約濾子.

注3 極大濾子都是不可約濾子，但反之不一定成立.

例2 如圖2所示，在格L中，F(xiàn)={a,b,c,1}是不可約濾子，但是不存在元素x∈LF，使得F是L關(guān)于元素x的極大濾子，從而F不是局部極大濾子.

推論2 格中的極大濾子全都是不可約濾子.

推論3 分配格中的局部極大濾子全都是素濾子.

注4 1）以上推論說明，在分配格中的局部極大濾子都是素濾子，但反之不一定成立.如在圖2中的L是分配格，F(xiàn)={a,b,c,1}是素濾子，但F不是L的局部極大濾子.

2）在格L中局部極大濾子是介于極大濾子和不可約濾子之間的一種類濾子.

定理2 設(shè)L是半格，F(xiàn)是L的真濾子，且LF是有限集，則下列條件中

1）F是濾子；

2）sup(LF)?F；

3）F是L的局部極大濾子.必有1）?2）?3）成立.

圖2 偏序集上的不可約濾子不是局部極大濾子

2）?3）.令t=sup(LF)，因t?F，由引理1，存在關(guān)于t的極大濾子M，使得t?M?F.下證M=F.假設(shè)M≠F，則存在x∈M,x?F，又t=sup(LF)，故x≤t，而x∈M，M是上集，故t∈M，而這與t?M相矛盾，故M=F，因此F是L的局部極大濾子.

推論4 設(shè)L是分配格，F(xiàn)是L的真濾子，且LF是有限集，則下列條件等價(jià)

1）F是濾子；

2）sup(LF)?F；

3）F是L的局部極大濾子.

定義2［4］設(shè)L是格，若對(duì)任意的a,b∈L存在對(duì)任意的c∈L，有c≤(a→b)?c∧a≤b，則稱L是Heyting代數(shù).

定義3［4］設(shè)L是含有最小元0的Heyting代數(shù)，a∈L，記?a=a→0=∨{x∈L:a∧x=0}，則稱?a是a的偽補(bǔ)或否定，特別，?0=1,?1=0.

定理3 設(shè)L是含有最大元1的Heyting代數(shù)，F(xiàn)是L的真濾子，x是L中任意元素，在下列條件中

1）F是L的局部極大濾子；

2）F是L的素濾子；

3）對(duì)任意x∈L，x和?x至少有一個(gè)在F中，而?x和??x有且只有一個(gè)在F中.則有1）?2）?3）成立.

證明 1）?2）.設(shè)F是L的局部極大濾子，由L是Heyting代數(shù)，L是分配格，再由推論3知，F(xiàn)是L的素濾子.

2）?3）.設(shè)F是L的素濾子，對(duì)任意x∈L，由于x∨?x=1∈F以及F是L的素濾子，則x和?x至少有一個(gè)在F中.由??x∨?x=1∈F及F是L的素濾子知，??x和?x至少有一個(gè)在F中，又由L是含有最大元1的Heyting代數(shù)知，???x=?x，從而??x和?x互為補(bǔ)元，即??x∧?x=0.由于F是L的真濾子，0?F，故??x與?x是不可能同時(shí)存在F中的，從而?x和??x有且只有一個(gè)在F中.

注5 1）在定理3中3）?1）是顯然不成立的，如圖3所示，令F={c,1}，則1∈F，?1=0?F，??1=1∈F；c∈F，?c=1∈F，??c=0?F，滿足條件3），然而F不是L的局部極大濾子，同時(shí)也不是L的素濾子.

2）例2中，L也是Heyting代數(shù)，F(xiàn)={a,b,c,1}是素濾子，易看出F卻不是L的局部極大濾子.

推論5 設(shè)L是包含最大元1的Heyting代數(shù)，F(xiàn)是L的濾子，x∈L，若?x與??x有且只有一個(gè)在F中，F(xiàn)是L的真濾子.

證明 由??1=1∈F，而?x和??x有且只有一個(gè)在F中，故?1=0?F，從而F是L的真濾子.

命題1［4］設(shè)L是包含最大元1的Heyting代數(shù)，則有L是Boole代數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)?x∈F,??x=x.

定理4 設(shè)L是Boole代數(shù)，x是L中任意元素，則下列條件等價(jià)：

1）F是L的素濾子；

2）任意x∈L，x與x′有且只有一個(gè)在F中；

3）F是L的極大濾子；

4）F是L的局部極大濾子.

證明 1）?2） 由于L是Boole代數(shù)可知，?x∈F,??x=x，且??x與?x互為補(bǔ)元，從而?x=x′，再根據(jù)定理3可證.

2）?3） 根據(jù)1∈F，可知0=1′?F，那么F是L的真濾子，設(shè)H是L的濾子，若有F?H,F≠H，則必存在x∈H,x?F，由條件，x′∈F?H，從而x′∈H，F(xiàn)=H，所以F是L的局部極大濾子.

3）?4） 根據(jù)注1得證.

4）?1） 設(shè)F是L的一個(gè)局部極大濾子，由L是Boole代數(shù)，易知L是分配格，又由推論3能夠推出F是L的素濾子.

注6 若L是Boole代數(shù)，則局部極大濾子、素濾子等價(jià).

圖3 Heyting代數(shù)中的真濾子F={c,1}不是局部極大濾子

［1］姜廣浩，徐羅山.偏序集上的濾子極大理想［J］.模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)，2007，21（4）：35-42.

［2］肖璨，姜廣浩，楊慧.偏序集上的理想極大濾子及其應(yīng)用［J］.吉林師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2013，34（1）：13-15.

［3］鄭崇友，樊磊，崔宏斌.Frame與連續(xù)格［M］.北京：首都師范大學(xué)出版社，2000：44-74.

［4］GIERZ G，HOFMANN K H，KEIMEL K，et al.Continuous lattices and domains［M］.Oxford:Cambridge University Press，2003：89-97.

Locally Maximal Filters on Posets

WANG Yifen，LU Tao
（School of Mathematical Sciences，Huaibei Normal University，235000，Huaibei，Anhui，China）

In this paper，the definition of the locally maximal filters on posets are given，and discuss some properties in lattices，distributive lattices，Heyting algebra，Boolean algebra，and get some equivalent proposi?tions，to further enrich the content of posets.

poset；maximal filters；locally maximal filters

O 153.1

A

2095-0691（2017）02-0006-03

2016-10-17

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（11171156）；安徽省高校自然科學(xué)研究重點(diǎn)項(xiàng)目（KJ2015A064）

王逸芬（1990— ），女，安徽淮北人，碩士生，研究方向：格上拓?fù)鋵W(xué).

盧 濤（1974— ），男，山東諸城人，博士，教授，研究方向：拓?fù)鋵W(xué)，范疇論.