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      剩余格的模糊濾子理論

      2016-11-16 02:40:03劉春輝赤峰學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院內(nèi)蒙古赤峰024001
      關(guān)鍵詞:濾子模糊集等價(jià)

      劉春輝(赤峰學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,內(nèi)蒙古赤峰024001)

      剩余格的模糊濾子理論

      劉春輝
      (赤峰學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,內(nèi)蒙古赤峰024001)

      運(yùn)用模糊集的方法和原理進(jìn)一步深入研究剩余格的濾子問(wèn)題.在剩余格中引入了模糊預(yù)線性濾子,模糊可除濾子和模糊G livenko濾子三類新的模糊濾子概念,給出了它們的若干性質(zhì)和等價(jià)刻畫.系統(tǒng)討論了這三類模糊濾子以及模糊正關(guān)聯(lián)濾子,模糊Boolean濾子,模糊MV濾子和模糊正則濾子間的相互關(guān)系,證明了一個(gè)模糊濾子為模糊MV濾子當(dāng)且僅當(dāng)它既是模糊正則濾子又是模糊可除濾子的結(jié)論.

      剩余格;模糊濾子;模糊預(yù)線性濾子;模糊可除濾子;模糊G livenko濾子

      1 引言

      非經(jīng)典數(shù)理邏輯理論是人工智能領(lǐng)域處理不確定信息的重要工具,其主要研究方向之一是對(duì)與各種邏輯系統(tǒng)相匹配的邏輯代數(shù)系統(tǒng)的研究,相關(guān)的研究成果既促進(jìn)了非經(jīng)典數(shù)理邏輯理論的發(fā)展,又豐富了代數(shù)學(xué)的內(nèi)容[1].在為數(shù)眾多的非經(jīng)典邏輯代數(shù)系統(tǒng)中,由Ward和Dilworth于上個(gè)世紀(jì)30年代在文獻(xiàn)[2]中首次提出的剩余格是一類重要且應(yīng)用廣泛的代數(shù)系統(tǒng),它是Heyting代數(shù)的合理推廣.Pavelka以Lukasiew icz公理系統(tǒng)為背景,將剩余理論引入到非經(jīng)典數(shù)理邏輯的研究中,建立了一類相當(dāng)寬泛的邏輯結(jié)構(gòu),并以此為基礎(chǔ),成功地解決了Lukasiew icz公理系統(tǒng)的語(yǔ)義完備性問(wèn)題[3].目前,剩余格已經(jīng)被學(xué)者們公認(rèn)為一類重要的非經(jīng)典數(shù)理邏輯代數(shù)結(jié)構(gòu),是模糊邏輯中相當(dāng)理想的代數(shù)框架,諸如M TL代數(shù),BL代數(shù),MV代數(shù),R?模和G livenko代數(shù)等著名的邏輯代數(shù)系統(tǒng)都是其特殊子類,因此對(duì)剩余格結(jié)構(gòu)的深入研究具有廣泛而基本的重要意義,相關(guān)研究成果也頗為豐富[4-10].

      眾所周知,濾子是非經(jīng)典邏輯代數(shù)研究領(lǐng)域的一個(gè)重要的概念,它們對(duì)各種邏輯系統(tǒng)及與之匹配的邏輯代數(shù)的完備性問(wèn)題的研究發(fā)揮著極其重要的作用.因此,這方面的研究工作一直深受學(xué)者們的廣泛關(guān)注[11-18].其中,文獻(xiàn)[14]在剩余格中引入了布爾濾子和正關(guān)聯(lián)濾子的概念并研究了它們的性質(zhì).文獻(xiàn)[15]又在剩余格中引入了MV-濾子和正則濾子等概念,較為深入地研究了它們的特性和模糊化問(wèn)題,并討論了各類濾子概念間的相互關(guān)系.文獻(xiàn)[16-18]對(duì)剩余格的濾子及其模糊化問(wèn)題作了更進(jìn)一步的研究和探討.在上述工作的基礎(chǔ)上,本文進(jìn)一步深入系統(tǒng)地研究剩余格的模糊濾子問(wèn)題,給出了剩余格的模糊正關(guān)聯(lián)濾子,模糊Boolean濾子,模糊MV-濾子和模糊正則濾子的若干新的等價(jià)刻畫.引入模糊預(yù)線性濾子,模糊可除濾子和模糊Glivenko濾子幾類新的概念,考察了它們的性質(zhì)和等價(jià)刻畫,并利用它們的性質(zhì)獲得了幾類特殊剩余格的特征定理.最后,系統(tǒng)梳理了各類模糊濾子概念間的相互關(guān)系.獲得了一些有意義的結(jié)果.進(jìn)一步豐富和完善了剩余格的濾子問(wèn)題的理論體系.

      2 預(yù)備知識(shí)

      定義2.1[2,4,10,15](i)稱(2,2,2,2,0,0)型代數(shù)(L,≤,∧,∨,?,→,0,1)為一個(gè)剩余格,簡(jiǎn)稱L為一個(gè)剩余格,如果下列各條件成立:

      (RL1)(L,∧,∨,0,1)是分別以0和1為最小元和最大元的有界格;

      (RL2)(L,?,1)是一個(gè)以1為單位元的交換半群;

      (RL3)(?,→)是L上的伴隨對(duì),即(?x,y,z∈L)(x?y≤z?x≤y→z).

      (ii)稱剩余格L為一個(gè)預(yù)線性剩余格,如果L滿足:(?x,y∈L)((x→y)∨(y→x)=1).

      (iii)稱剩余格L為一個(gè)可除剩余格,如果L滿足:(?x,y∈L)(x∧y=x?(x→y)).

      (iv)稱剩余格L為一個(gè)正則剩余格,如果L滿足:(?x∈L)(x′′=x).其中x′=x→0.

      (v)稱剩余格L為一個(gè)G livenko代數(shù),如果L滿足:(?x∈L)((x′′→x)′′=1).

      (vi)稱剩余格L為一個(gè)BL代數(shù),如果L為可除的預(yù)線性剩余格.

      (vii)稱剩余格L為一個(gè)MV代數(shù),如果L為可除的正則剩余格[15].

      引理2.1[2-10,14-18]設(shè)L是剩余格,則下列各條件成立:

      (RL4)(?x,y∈L)(x≤y?x→y=1);

      (RL5)(?x∈L)(x→x=1,x→1=1,1→x=x);

      (RL6)(?x,y∈L)(y≤x→y,x∨y≤(x→y)→y);

      (RL7)(?x,y∈L)(x?y≤x?(x→y)≤x∧y≤x∧(x→y)≤x);

      (RL8)(?x,y,z∈L)((x→y)→z≤x→(y→z));

      (RL9)(?x,y∈L)(x?(x→y)≤y≤x→(x?y));

      (RL10)(?x,y,z∈L)((x→y)?(y→z)≤x→z);

      (RL11)(?x,y,z∈L)((x≤y)?(x?z≤y?z,z→x≤z→y,y→z≤x→z));

      (RL12)(?x,y,z∈L)(x→(y→z)=(x?y)→z=y→(x→z));

      (RL13)(?x,y,z∈L)((y∨z)?x=(y?x)∨(z?x),x∨(y?z)≥(x∨y)?(x∨z));

      (RL14)(?x,y,z∈L)((y∨z)→x=(y→x)∧(z→x),特別地:(y∨z)→y=z→y);

      (RL15)(?x,y,z∈L)(x→(y∧z)=(x→y)∧(x→z),特別地:y→(y∧z)=y→z);

      (RL16)(?x,y,z∈L)(x→(y∨z)≥(x→y)∨(x→z),(y∧z)→x≥(y→x)∨(z→x));

      (RL17)(?x,y,z∈L)(y→z≤(x→y)→(x→z)≤x→(y→z));

      (RL18)(?x,y,z∈L)(x→y≤(y→z)→(x→z));

      (RL19)(?x,y∈L)(((x→y)→y)→y=x→y);

      (RL20)(?x,y,z∈L)(x?(y→z)≤y→(x?z)≤(x?y)→(x?z));

      (RL21)(?x,y,z∈L)((y→x)?((x∧y)→z)≤(y→(x∧y))∧(y?z));

      (RL22)(?x,y,z,w∈L)((x→y)?(z→w)≤(x∨z)→(y∨w));

      (RL23)(?x,y,z,w∈L)((x→y)?(z→w)≤(x∧z)→(y∧w));

      定義2.2[16-17]設(shè)L是剩余格,?/=F?L.稱F為L(zhǎng)的濾子,若F滿足

      (F1)(?x,y∈L)((x∈F且x≤y)?y∈F);

      (F2)(?x,y∈L)((x∈F且y∈F)?x?y∈F).

      引理2.2[16-17]設(shè)L是剩余格,?/=F?L.則F為L(zhǎng)的濾子當(dāng)且僅當(dāng)F滿足

      (F3)1∈F;

      (F4)(?x,y∈L)((x∈F且x→y∈F)?y∈F).

      定義2.2[16,18]設(shè)L是剩余格,f:L→[0,1]為L(zhǎng)上的模糊集.稱f為L(zhǎng)的模糊濾子,若f滿足

      (FF1)(?x,y∈L)(x≤y?f(y)≥f(x));

      (FF2)(?x,y∈L)(f(x?y)≥f(x)∧f(y)).

      注2.1設(shè)L是剩余格,f為L(zhǎng)的模糊濾子,則對(duì)任意的x,y∈L有f(x)=f(y)=f(1)?f(x∧y)=f(1)?f(x?y)=f(1)?f(x?(x→y))=f(1).

      引理2.3[16]設(shè)L是剩余格,f為L(zhǎng)上的模糊集.則f為L(zhǎng)的模糊濾子當(dāng)且僅當(dāng)f滿足

      (FF3)(?x∈L)(f(1)≥f(x));

      (FF4)(?x,y∈L)(f(y)≥f(x)∧f(x→y)).

      引理2.4[16]設(shè)L是剩余格,f為L(zhǎng)上的模糊集.則f為L(zhǎng)的模糊濾子當(dāng)且僅當(dāng)f滿足

      (FF5)(?x,y,z∈L)(x?y≤z?f(z)≥f(x)∧f(y)).

      3 剩余格的幾類特殊模糊濾子的新刻畫

      定義3.1[12,15]設(shè)L是剩余格,f為L(zhǎng)的模糊濾子.稱f為L(zhǎng)的模糊正關(guān)聯(lián)濾子,若f滿足

      (FP)(?x,y,z∈L)(f(x→z)≥f(x→(y→z))∧f(x→y)).

      注3.1在文獻(xiàn)[15]和眾多相關(guān)文獻(xiàn)中,模糊正關(guān)聯(lián)濾子也稱為模糊G-濾子.關(guān)于模糊正關(guān)聯(lián)濾子的等價(jià)刻畫請(qǐng)參閱文獻(xiàn)[12]定理2.5和文獻(xiàn)[15]定理4.21.

      定理3.1設(shè)L是剩余格,f為L(zhǎng)的模糊濾子.則下列各條件等價(jià):

      (1)f是L的模糊正關(guān)聯(lián)濾子;

      (2)(?x,y∈L)(f((x∧(x→y))→y)=f(1));

      (3)(?x,y∈L)(f((x∧y)→(x?y))=f(1));

      (4)(?x,y∈L)(f((x∧(x→y))→(x?y))=f(1));

      (5)(?x,y∈L)(f((x?(x→y))→(x?y))=f(1));

      (6)(?x,y∈L)(f((x∧(x→y))→(x∧y))=f(1));

      (7)(?x,y∈L)(f((x∧(x→y))→(x?(x→y)))=f(1));

      (8)(?x,y∈L)(f((x∧(x→y))→(y∧(y→x)))=f(1)).

      證(1)?(2):設(shè)f是L的模糊正關(guān)聯(lián)濾子.任取x,y∈L,因?yàn)閤∧(x→y)≤x→y且x∧(x→y)≤x,所以由(RL4)得(x∧(x→y))→(x→y)=1且(x∧(x→y))→x=1.故由(FP)得f((x∧(x→y))→y)≥f((x∧(x→y))→(x→y))∧f((x∧(x→y))→x)= f(1)∧f(1)=f(1),因此結(jié)合(FF3)便得f((x∧(x→y))→y)=f(1),即(2)成立.

      (2)?(3):設(shè)(2)成立,則?x,y∈L,f((x∧(x→(x?y)))→(x?y))=f(1).又因?yàn)橛桑≧L9)得y≤x→(x?y),所以x∧y≤x∧(x→(x?y)),從而由(RL11)得(x∧y)→(x?y)≥(x∧(x→(x?y)))→(x?y).故由(FF1)得f((x∧y)→(x?y))≥f((x∧(x→(x?y)))→(x?y))=f(1),因此結(jié)合(FF3)便得f((x∧y)→(x?y))=f(1),即(3)成立.

      (3)?(4):設(shè)(3)成立,則?x,y∈L,f((x∧(x→y))→(x?(x→y)))=f(1).因?yàn)橛桑≧L7)得x?(x→y)≤x∧y,所以由(RL11)得(x∧(x→y))→(x?(x→y))≤(x∧(x→y))→(x∧y),故由(FF1)得f((x∧(x→y))→(x∧y))≥f((x∧(x→y))→(x?(x→y)))=f(1).又因?yàn)橛桑≧L10)得((x∧(x→y))→(x∧y))?((x∧y)→(x?y))≤(x∧(x∧y))→(x?y),所以由(FF1),(FF2)和(3)便得f((x∧(x∧y))→(x?y))≥f(((x∧(x→y))→(x∧y))?((x∧y)→(x?y)))≥f((x∧(x→y))→(x∧y))∧f((x∧y)→(x?y))=f(1)∧f(1)=f(1),因此結(jié)合(FF3)便得f((x∧(x∧y))→(x?y))=f(1),即(4)成立.

      (4)?(5):設(shè)(4)成立.任取x,y∈L,因?yàn)橛桑≧L7)得x?(x→y)≤x∧(x→y),所以由(RL11)得(x?(x→y))→(x?y)≥(x∧(x→y))→(x?y).故由(FF1)和(4)得f((x?(x→y))→(x?y))≥f((x∧(x→y))→(x?y))=f(1),因此結(jié)合(FF3)便得f((x?(x→y))→(x?y))=f(1),即(5)成立.

      (5)?(1):設(shè)(5)成立.則在(5)中取y=x并利用(RL12)和(RL5)便得f(1)=f((x?(x→x))→(x?x))=f((x?1)→(x?x))=f(x→(1→(x?x)))=f(x→(x?x)).因此由文獻(xiàn)[15]定理4.21便得f是L的模糊正關(guān)聯(lián)濾子,即(1)成立.

      (4)?(6)?(7)?(8):設(shè)(4)成立.任取x,y∈L,因?yàn)橛桑≧L7)得x?y≤x?(x→y)≤x∧y≤y∧(y→x),所以由(RL11)得(x∧(x→y))→(x?y)≤(x∧(x→y))→(x?(x→y))≤(x∧(x→y))→(x∧y)≤(x∧(x→y))→(y∧(y→x)).故由(FF1)和(4)得f((x∧(x→y))→(y∧(y→x)))≥f((x∧(x→y))→(x∧y))≥f((x∧(x→y))→(x?(x→y)))≥f((x∧(x→y))→(x?y))=f(1).因此結(jié)合(FF3)得f((x∧(x→y))→(x∧y))=f(1)且f((x∧(x→y))→(x?(x→y)))=f(1)且f((x∧(x→y))→(y∧(y→x)))=f(1),即(4)?(6)?(7)?(8)成立.

      (8)?(3):設(shè)(8)成立.任取x,y,z∈L,因?yàn)橛桑≧L7)得(x?z)∧((x?z)→x)≤x?z,所以由(RL11)得(x∧(x→(x?z)))→((x?z)∧((x?z)→x))≤(x∧(x→(x?z)))→(x?z).故由(FF1)和(8)得f((x∧(x→(x?z)))→(x?z))≥f((x∧(x→(x?z)))→((x?z)∧((x?z)→x)))=f(1).又因?yàn)橛桑≧L9)得z≤x→(x?z),所以x∧z≤x∧(x→(x?z)),從而由(RL11)得(x∧z)→(x?z)≥(x∧(x→(x?z)))→(x?z).故再由(FF1)得f((x∧z)→(x?z))≥f((x∧(x→(x?z)))→(x?z))≥f(1),因此結(jié)合(FF3)便得f((x∧z)→(x?z))=f(1),即(3)成立.綜上,定理得證.

      定義3.2[12,15]設(shè)L是剩余格,f為L(zhǎng)的模糊濾子.稱f為L(zhǎng)的模糊Boolean濾子,若f滿足

      (FB)(?x∈L)(f(x∨x′)=f(1)).

      注3.2在文獻(xiàn)[15]和眾多相關(guān)文獻(xiàn)中,模糊Boolean濾子也稱為模糊關(guān)聯(lián)濾子.關(guān)于模糊Boolean濾子的等價(jià)刻畫請(qǐng)參閱文獻(xiàn)[12]定理2.4及文獻(xiàn)[15]定理4.12和推論4.13.

      定理3.2設(shè)L是剩余格,f為L(zhǎng)的模糊濾子.則下列各條件等價(jià):

      (1)f是L的模糊Boolean濾子;

      (2)(?x∈L)(f(x∨(x→y))=f(1));

      (3)(?x,y∈L)(f(((x→y)→x)→x)=f(1));

      (4)(?x∈L)(f((x′→x)→x)=f(1));

      (5)(?x,y,z∈L)(f((((x∨y)→z)→y)→(x∨y))=f(1));

      (6)(?x,y∈L)(f(((x∨y)′→y)→(x∨y))=f(1)).

      證(1)?(2):設(shè)f是L的模糊Boolean濾子.任取x,y∈L,因?yàn)?≤y,所以由(RL11)得x′= x→0≤x→y,從而x∨x′≤x∨(x→y).故由(FF1)和(FB)得f(x∨(x→y))≥f(x∨x′)=f(1).因此結(jié)合(FF3)便得f(x∨(x→y))=f(1),即(2)成立.

      (2)?(3):設(shè)(2)成立.任取x,y∈L,因?yàn)橛桑≧L6)得x∨(x→y)≤((x→y)→x)→x,所以由(FF1)和(2)得f(((x→y)→x)→x)≥f(x∨(x→y))=f(1).因此結(jié)合(FF3)便得f(((x→y)→x)→x)=f(1),即(3)成立.

      (3)?(4):設(shè)(3)成立.則在(3)中取y=0便得f(1)=f(((x→0)→x)→x)=f((x′→x)→x),即(4)成立.

      (4)?(1):設(shè)(4)成立.任取x∈L,一方面,由(FF4),(4)和(FF3)得f(x)≥f((x′→x)→x)∧f(x′→x)=f(1)∧f(x′→x)=f(x′→x).另一方面,因?yàn)橛桑≧L6)得x≤x′→x,所以由(FF1)又得f(x′→x)≥f(x).故綜合兩方面便得f(x)=f(x′→x).因此由文獻(xiàn)[15]定理4.12(2)得f是L的模糊Boolean濾子.

      (3)?(5):設(shè)(3)成立.任取x,y,z∈L,因?yàn)橛桑≧L5)和(RL4)得x∨y=1→(x∨y)=(y→(x∨y))→(x∨y)且由(RL10)得(((x∨y)→z)→y)?(y→(x∨y))≤((x∨y)→z)→(x∨y),所以由(RL12)和(RL11)得故由(FF1)和(3)得f((((x∨y)→z)→y)→(x∨y))≥f((((x∨y)→z)→(x∨y))→(x∨y))= f(1),因此結(jié)合(FF3)便得f((((x∨y)→z)→y)→(x∨y))=f(1),即(5)成立.

      (5)?(6):設(shè)(5)成立.在(5)中取z=0便得f(1)=f((((x∨y)→0)→y)→(x∨y))= f(((x∨y)′→y)→(x∨y)),即(6)成立.

      (6)?(4):設(shè)(6)成立.在(6)中取y=x便得f(1)=f(((x∨x)′→x)→(x∨x))=f((x′→x)→x),即(4)成立.綜上,定理得證.

      定義3.3[12,15]設(shè)L是剩余格,f為L(zhǎng)的模糊濾子.稱f為L(zhǎng)的模糊MV濾子,若f滿足

      (FMV)(?x,y∈L)(f(((x→y)→y)→x)≥f(y→x)).

      注3.3在文獻(xiàn)[15]和相關(guān)文獻(xiàn)中,模糊MV濾子也稱為模糊fantastic濾子或模糊交換濾子.關(guān)于模糊MV濾子的等價(jià)刻畫請(qǐng)參閱文獻(xiàn)[15]中注4.23,定理4.24和定理4.25.

      定理3.3設(shè)L是剩余格,f為L(zhǎng)的模糊濾子.則下列各條件等價(jià):

      (1)f是L的模糊MV濾子;

      (2)(?x,y∈L)(f(((x→y)→y)→(x∨y))=f(1)).

      (2)?(1):設(shè)(2)成立.任取x,y∈L,因?yàn)橛桑≧L6)得x∨y≤(y→x)→x,所以由(RL11)可得((x→y)→y)→(x∨y)≤((x→y)→y)→((y→x)→x),故由(FF1)和(2)便得f(((x→y)→y)→((y→x)→x))≥f(((x→y)→y)→(x∨y))=f(1),再結(jié)合(FF3)得f(((x→y)→y)→((y→x)→x))=f(1).因此由文獻(xiàn)[15]中定理4.25便得f是L的模糊MV濾子.定理得證.

      定義3.4[15]設(shè)L是剩余格,f為L(zhǎng)的模糊濾子.稱f為L(zhǎng)的模糊正則濾子,若f滿足

      (FR)(?x∈L)(f(x′′→x)=f(1)).

      注3.4模糊正則濾子的等價(jià)刻畫請(qǐng)參閱文獻(xiàn)[15]定理5.14,注5.15,定理5.17和定理5.18.

      定理3.4設(shè)L是剩余格,f為L(zhǎng)的模糊濾子.則下列各條件等價(jià):

      (1)f是L的模糊正則濾子;

      (2)(?x,y∈L)(f((y′→x′)→(x→y)))=f(1));

      (3)(?x,y∈L)(f((y′→x)→(x′→y)))=f(1)).

      證(1)?(2):設(shè)f是L的模糊正則濾子.任取x,y∈L,因?yàn)橛桑≧L29),(RL28)和(RL11)可得y′→x′≤x′′→y′′≤x→y′′,所以由(RL11)和(RL17)得(y′→x′)→(x→y)≥(x→y′)→(x→y)≥y′′→y.故由(FF1)和(FR)得f((y′→x′)→(x→y))≥f(y′′→y)=f(1),因此結(jié)合(FF3)便得f((y′→x′)→(x→y))=f(1),即(2)成立.

      (2)?(1):設(shè)(2)成立.任取x,y∈L,由引理2.3和(2)得f(x→y)≥f((y′→x′)→(x→y))∧f(y′→x′)=f(1)∧f(y′→x′)=f(y′→x′),故由文獻(xiàn)[15]定理5.14得f是模糊正則濾子.

      (1)?(3):設(shè)f是L的模糊正則濾子.任取x,y∈L,因?yàn)橛桑≧L29)可得y′→x≤x′→y′′,所以由(RL11)和(RL17)得(y′→x)→(x′→y)≥(x′→y′′)→(x′→y)≥y′′→y.故由(FF1)和(FR)得f((y′→x)→(x′→y))≥f(y′′→y)=f(1),因此結(jié)合(FF3)便得f((y′→x)→(x′→y))=f(1),即(3)成立.

      (3)?(1):設(shè)(3)成立.任取x,y∈L,由引理2.3和(2)得f(x′→y)≥f((y′→x)→(x′→y))∧f(y′→x)=f(1)∧f(y′→x)=f(y′→x),故由文獻(xiàn)[15]定理5.14得f是L的模糊正則濾子.

      4 剩余格的幾類新型模糊濾子及其特征

      本節(jié)我們將在剩余格中引入三類新型的模糊濾子概念并考察它們的性質(zhì)特征.

      定義4.1設(shè)L是剩余格,f為L(zhǎng)的模糊濾子.稱f為L(zhǎng)的模糊預(yù)線性濾子,若f滿足

      (FPL)(?x,y∈L)(f((x→y)∨(y→x))=f(1)).

      定理4.1設(shè)L是剩余格,f為L(zhǎng)的模糊濾子.則下列各條件等價(jià):

      (1)f是L的模糊預(yù)線性濾子;

      (2)(?x,y,z∈L)(f((x→y)∨(x→z))≥f(x→(y∨z)));

      (3)(?x,y,z∈L)(f((x→(y∨z))→((x→y)∨(x→z)))=f(1));

      (4)(?x,y,z∈L)(f((y→x)∨(z→x))≥f((y∧z)→x));

      (5)(?x,y,z∈L)(f(((y∧z)→x)→((y→x)∨(z→x)))=f(1));

      (6)(?x,y,z∈L)(f((x→y)∨(y→z))≥f(x→z));

      (7)(?x,y,z∈L)(f((x→z)→((x→y)∨(y→z)))=f(1));

      (8)(?x,y,z∈L)(f(((y→x)→z)→z)≥f((x→y)→z));

      (9)(?x,y,z∈L)(f(((x→y)→z)→(((y→x)→z)→z))=f(1)).

      證(1)?(2):設(shè)f是L的模糊預(yù)線性濾子.?x,y,z∈L,因?yàn)橛桑≧L13),(RL14)和(RL10)可得(x→(y∨z))?((y→z)∨(z→y))=((x→(y∨z))?(y→z))∨((x→(y∨z))?(z→y))=((x→(y∨z))?((y∨z)→z))∨((x→(y∨z))?((y∨z)→y))≤(x→z)∨(x→y).故由定義2.3,(FPL)和(FF3)得f((x→z)∨(x→y))≥f((x→(y∨z))?((y→z)∨(z→y)))≥f(x→(y∨z))∧f((y→z)∨(z→y))=f(x→(y∨z))∧f(1)=f(x→(y∨z)).即(2)成立.

      因此結(jié)合(FF3)便得f((x→(y∨z))→((x→y)∨(x→z)))=f(1),即(3)成立.

      (3)?(1):設(shè)(3)成立.任取y,z∈L,在(3)中取x=y∨z,則由(RL14)和(RL5)得f(1)= f(((y∨z)→(y∨z))→(((y∨z)→y)∨((y∨z)→z)))=f(1→((z→y)∨(y→z)))= f((z→y)∨(y→z)),即(FPL)成立,因此由定義4.1得f是L的模糊預(yù)線性濾子.

      (1)?(4):設(shè)f是L的模糊預(yù)線性濾子.?x,y,z∈L,因?yàn)橛桑≧L13),(RL14)和(RL10)可得((y∧z)→x)?((y→z)∨(z→y))=(((y∧z)→x)?(y→z))∨(((y∧z)→x)?(z→y))=(((y∧z)→x)?(y→(y∧z)))∨(((y∧z)→x)?(z→(y∧z)))≤(y→x)∨(z→x).故由定義2.3,(FPL)和(FF3)得f((y→x)∨(z→x))≥f(((y∧z)→x)?((y→z)∨(z→y)))≥f((y∧z)→x)∧f((y→z)∨(z→y))=f((y∧z)→x)∧f(1)=f((y∧z)→x).即(4)成立.

      (4)?(5):設(shè)(4)成立.任取x,y,z∈L,令u=(y∧z)→x.則

      因此結(jié)合(FF3)便得f(((y∧z)→x)→((y→x)∨(z→x)))=f(1),即(5)成立.

      (5)?(1):設(shè)(5)成立.任取y,z∈L,在(3)中取x=y∧z,則由(RL15)和(RL5)得f(1)= f(((y∧z)→(y∧z))→((y→(y∧z))∨(z→(y∧z))))=f(1→((y→z)∨(z→y)))= f((y→z)∨(z→y)),即(FPL)成立,因此由定義4.1得f是L的模糊預(yù)線性濾子.

      (1)?(6):設(shè)f是L的模糊預(yù)線性濾子.?x,y,z∈L,因?yàn)橛桑≧L13),(RL7)和(RL10)得(x→z)?((x→y)∨(y→x))=((x→z)?(x→y))∨((x→z)?(y→x))≤(x→y)∨(y→z),故由定義2.3,(FPL)和(FF3)得f((x→y)∨(y→z))≥f((x→z)?((x→y)∨(y→x)))≥f(x→z)∧f((x→y)∨(y→x))=f(x→z)∧f(1)=f(x→z),即(6)成立.

      因此結(jié)合(FF3)便得f((x→z)→((x→y)∨(y→z)))=f(1),即(7)成立.

      (7)?(1):設(shè)(7)成立.任取x,y∈L,在(3)中取z=x,則由(RL5)得f(1)=f((x→x)→((x→y)∨(y→x)))=f(1→((x→y)∨(y→x)))=f((x→y)∨(y→x)),即(FPL)成立,因此由定義4.1得f是L的模糊預(yù)線性濾子.

      (1)?(8):設(shè)f是L的模糊預(yù)線性濾子.?x,y,z∈L,因?yàn)橛桑≧L12),(RL11)和(RL14)得((x→y)→z)→(((y→x)→z)→z)=(((x→y)→z)?((y→x)→z))→z≥(((x→y)→z)∧((y→x)→z))→z=(((x→y)∨(y→x))→z)→z≥(x→y)∨(y→x),所以定義2.3,(FPL)和(FF3)得f(((y→x)→z)→z)≥f(((x→y)→z)→(((y→x)→z)→z))∧f((x→y)→z)≥f((x→y)∨(y→x))∧f((x→y)→z)=f(1)∧f((x→y)→z)=f((x→y)→z).因此(8)成立.

      因此結(jié)合(FF3)便得f(((x→y)→z)→(((y→x)→z)→z))=f(1),即(9)成立.

      (9)?(1):設(shè)(9)成立.任取x,y∈L,在(3)中取z=(x→y)∨(y→x),則由(RL5)得f(1)= f(((x→y)→((x→y)∨(y→x)))→(((y→x)→((x→y)∨(y→x)))→((x→y)∨(y→x))))=f(1→(1→((x→y)∨(y→x))))=f((x→y)∨(y→x)),即(FPL)成立,因此由定義4.1得f是L的模糊預(yù)線性濾子.綜上,定理得證.

      定理4.2設(shè)L是剩余格.則下列各條件等價(jià):

      (1)L是預(yù)線性剩余格;

      (2)L的任一模糊濾子都是L的模糊預(yù)線性濾子;

      (3)χ{1}是L的模糊預(yù)線性濾子.

      證(1)?(2)?(3):由定義2.1和定義4.1顯然成立.

      (3)?(1):設(shè)χ{1}是L的模糊預(yù)線性濾子,則對(duì)任意的x,y∈L,χ{1}((x→y)∨(y→x))= χ{1}(1)=1,故(x→y)∨(y→x)=1.因此L是預(yù)線性剩余格.定理得證.

      定義4.2設(shè)L是剩余格,f為L(zhǎng)的模糊濾子.稱f為L(zhǎng)的模糊可除濾子,若f滿足

      (FD)(?x,y∈L)(f((x∧y)→(x?(x→y)))=f(1)).

      定理4.3設(shè)L是剩余格,f為L(zhǎng)的模糊濾子.則下列各條件等價(jià):

      (1)f是L的模糊可除濾子;

      (2)(?x,y,z∈L)(f((x→(y∧z))→((x→y)?((x∧y)→z)))=f(1));

      (3)(?x,y,z∈L)(f((y?(y→x))→(x?(x→y)))=f(1)).

      證(1)?(2):設(shè)f是L的模糊可除濾子.任取x,y,z∈L,則由(RL15)和(FD)得f((x→(y∧z))→((x→y)?((x→y)→(x→z))))=f(((x→y)∧(x→z))→((x→y)?((x→y)→(x→z))))=f(1).又因?yàn)橛桑≧L18)和(R l26)得(x∧y)→(x?(x→y))≤((x?(x→y))→z)→((x∧y)→z)≤((x→y)?((x?(x→y))→z))→((x→y)?((x∧y)→z)),所以由(FF1)和(FD)又得f(((x→y)?((x?(x→y))→z))→((x→y)?((x∧y)→z)))≥f((x∧y)→(x?(x→y)))=f(1).故由(RL10)和(FF2)便得f((x→(y∧z))→((x→y)?((x∧y)→z)))≥f(((x→(y∧z))→((x→y)?((x→y)→(x→z))))?(((x→y)?((x?(x→y))→z))→((x→y)?((x∧y)→z))))≥f((x→(y∧z))→((x→y)?((x→y)→(x→z))))∧f(((x→y)?((x?(x→y))→z))→((x→y)?((x∧y)→z)))≥f(1)∧f(1)=f(1).因此結(jié)合(FF3)便得f((x→(y∧z))→((x→y)?((x∧y)→z)))=f(1),即(2)成立.

      (2)?(1):設(shè)(2)成立.在(2)中取x=1,則對(duì)任意的y,z∈L,f(1)=f((1→(y∧z))→((1→y)?((1∧y)→z)))=f((y∧z)→(y?(y→z))),即(FD)成立,因此由定義4.2得f是L的模糊可除濾子.

      (1)?(3):設(shè)f是L的模糊可除濾子.任取x,y∈L,因?yàn)橛桑≧L17)得y?(y→x)≤y∧x,所以由(RL11)得(y∧x)→(x?(x→y))≤(y?(y→x))→(x?(x→y)).故由(FF1)和(FD)得f((y?(y→x))→(x?(x→y)))≥f((y∧x)→(x?(x→y)))=f(1).因此結(jié)合(FF3)便得f((y?(y→x))→(x?(x→y)))=f(1),即(3)成立.

      (3)?(1):設(shè)(3)成立.任取x,y,z∈L,因?yàn)橛桑?)和(RL15)得f(1)=f((y?(y→x))→(x?(x→y)))=f((y?(y→(x∧y)))→(x?(x→(x∧y)))).所以在上式中取y=x∧z便得f(1)=f(((x∧z)?((x∧z)→(x∧(x∧z))))→(x?(x→(x∧(x∧z)))))=f((x∧z)→(x?(x→(x∧z))))=f((x∧z)→(x?(x→z))),即(FD)成立,因此由定義4.2得f是L的模糊可除濾子.綜上,定理得證.

      定理4.4設(shè)L是剩余格.則下列各條件等價(jià):

      (1)L是可除剩余格;

      (2)L的任一模糊濾子都是L的模糊可除濾子;

      (3)χ{1}是L的模糊可除濾子.

      證(1)?(2)?(3):由定義2.1和定義4.2顯然成立.

      (3)?(1):設(shè)χ{1}是L的模糊可除濾子,則對(duì)任意的x,y∈L,χ{1}((x∧y)→(x?(x→y)))=χ{1}(1)=1,故(x∧y)→(x?(x→y))=1,從而x∧y≤x?(x→y).又因?yàn)橛桑≧L7)得x?(x→y)≤x∧y,所以x∧y=x?(x→y).因此L是可除剩余格.定理得證.

      定義4.3設(shè)L是剩余格,f為L(zhǎng)的模糊濾子.稱f為L(zhǎng)的模糊Glivenko濾子,若f滿足

      (FGL)(?x∈L)(f((x′′→x)′′)=f(1)).

      定理4.5設(shè)L是剩余格,f為L(zhǎng)的模糊濾子.則下列各條件等價(jià):

      (1)f是L的模糊Glivenko濾子;

      (2)(?x,y∈L)(f((y→x′′)→(y→x)′′)=f(1));

      (3)(?x,y∈L)(f((x→y)→(x′′→y)′′)=f(1));

      (4)(?x,y∈L)(f((x′→y)→(y′→x)′)=f(1)).

      證(1)?(2):設(shè)f是L的模糊G livenko濾子.任取x,y∈L,則

      因此結(jié)合(FF3)便得f((y→x′′)→(y→x)′′)=f(1),即(2)成立.

      (2)?(1):設(shè)(2)成立.任取x∈L,在(2)中取y=x′′,則由(RL5)可得f(1)=f((x′→x′′)→(x′′→x)′′)=f((x′′→x)′′),即(FGL)成立.因此由定義4.2得f是L的模糊Glivenko濾子.

      因此結(jié)合(FF3)便得f((x→y)→(x′′→y)′′)=f(1),即(3)成立.

      (3)?(1):設(shè)(3)成立.任取x∈L,在(3)中取y=x,則由(RL5)得f(1)=f((x→x)→(x′′→x)′′)=f((x′′→x)′′),即(FGL)成立.因此由定義4.2得f是L的模糊Glivenko濾子.

      因此結(jié)合(FF3)便得f((x′→y)→(y′→x)′′)=f(1),即(4)成立.

      (4)?(1):設(shè)(4)成立.任取x∈L,在(3)中取y=x′,則由(RL5)得f(1)=f((x′→x′)→(x′′→x)′′)=f((x′′→x)′′),即(FGL)成立.因此由定義4.2得f是L的模糊Glivenko濾子.

      定理4.6設(shè)L是剩余格.則下列各條件等價(jià):

      (1)L是G livenko代數(shù);

      (2)L的任一模糊濾子都是L的模糊Glivenko濾子;

      (3)χ{1}是L的模糊G livenko濾子.

      證(1)?(2)?(3):由定義2.1和定義4.3顯然成立.

      5 剩余格的多種特殊類型模糊濾子間的關(guān)系

      引理5.1[15]設(shè)L是剩余格.則下列各條成立:

      (1)L的任一模糊Boolean濾子都是模糊正關(guān)聯(lián)濾子(模糊MV濾子),但反之不真;

      (2)L的任一模糊MV濾子都是模糊正則濾子,但反之不真;

      (3)L的模糊濾子f是模糊Boolean濾子??f既是模糊正關(guān)聯(lián)濾子又是模糊MV(正則)濾子.

      例5.1設(shè)格L={0,a,b,1}且0≤a≤b≤1,L上二元運(yùn)算→和?的定義如下:

      則(L,≤,∧,∨,?,→,0,1)是一個(gè)剩余格.在L上定義模糊集f:[0,1]→L使f(0)=f(a)=f(b)= β,f(1)=α,其中0≤β<α≤1,可以驗(yàn)證f是L的一個(gè)模糊MV濾子,進(jìn)而為模糊正則濾子,但非L的模糊正關(guān)聯(lián)濾子,這是因?yàn)閒(b→a)=f(b)=β<α=f(1)=f(b→(b→a)).由此可見,在剩余格上模糊正則濾子和模糊MV濾子不必為模糊正關(guān)聯(lián)濾子.

      例5.2設(shè)格L={0,a,b,1}且0≤a≤b≤1,L上二元運(yùn)算→和?的定義如下:

      則(L,≤,∧,∨,?,→,0,1)是一個(gè)剩余格.在L上定義模糊集f:[0,1]→L使f(0)=f(a)= β,f(b)=f(1)=α,其中0≤β<α≤1,可以驗(yàn)證f是L的一個(gè)模糊正關(guān)聯(lián)濾子,但非L的模糊正則濾子,進(jìn)而非模糊MV濾子.這是因?yàn)閒(a′′→a)=f(a)=β<α=f(1).由此可見,在剩余格上模糊正關(guān)聯(lián)濾子既不必為模糊正則濾子也不必為模糊MV濾子.

      定理5.1設(shè)L是剩余格.則L的任一模糊正關(guān)聯(lián)濾子都是模糊可除濾子,但反之不真.

      證設(shè)f是L的模糊正關(guān)聯(lián)濾子.任取x,y∈L,因?yàn)橛桑≧L7)得x?y≤x?(x→y),所以由(RL11)得(x∧y)→(x?y)≤(x∧y)→(x?(x→y)),故由(FF1)和定理3.1(3)得f((x∧y)→(x?(x→y)))≥f((x∧y)→(x?y))=f(1),再結(jié)合(FF3)便得f((x∧y)→(x?(x→y)))=f(1),即(FD)成立.因此由定義4.2便得f是L的模糊可除濾子.下面的例5.3說(shuō)明反之不真.定理得證.

      例5.3設(shè)格L={0,a,b,1}且0≤a≤b≤1,L上二元運(yùn)算→和?的定義如下:

      則(L,≤,∧,∨,?,→,0,1)是一個(gè)剩余格.在L上定義模糊集f:[0,1]→L使f(0)=f(a)=f(b)= β,f(1)=α,其中0≤β<α≤1,可以驗(yàn)證f是L的一個(gè)模糊可除濾子,但非L的模糊正關(guān)聯(lián)濾子.這是因?yàn)閒(a→(a?a))=f(a)=β<α=f(1).

      定理5.2設(shè)L是剩余格.則L的任一模糊可除濾子都是模糊G livenko濾子,但反之不真.

      證設(shè)f是L的模糊可除濾子.任取x∈L,因?yàn)橛桑≧L26)和(RL29)得(x′′∧x)→(x′′?(x′′→x))≤(x′′?(x′′→x))′→(x′′∧x)′≤(x′′?(x′′?(x′′→x))′)→(x′′?(x′′∧x)′)≤(x′′?(x′′∧x)′)′→(x′′?(x′′?(x′′→x))′)′,所以由(FF1)和(FD)得f((x′′?(x′′∧x)′)′→(x′′?(x′′?(x′′→x))′)′)≥f((x′′∧x)→(x′′?(x′′→x)))=f(1),故結(jié)合(FF3)得f((x′′?(x′′∧x)′)′→(x′′?(x′?(x′→x))′)′)=f(1).因?yàn)橛桑≧L28)得x≤x′,所以由(RL29)得(x′′?(x′′∧x)′)′=(x′′?x′)′=x′→x′′=1,從而又得f((x′′?(x′′∧x)′)′)=f(1).進(jìn)而由(RL28)和(FF4)又得

      f((x′′?(x′′→(x′′→x)′))′)=f((x′?(x′?(x′′→x))′)′)

      ≥f((x′′?(x′′∧x)′)′)∧f((x′′?(x′′∧x)′)′→(x′′?(x′′?(x′′→x))′)′)=f(1)∧f(1)=f(1),又由(RL10)和(RL17)得x′→(x′′→x)=x′→(x′→x)=(x′→0)→(x′→x)≥0→x=1,所以x′→(x′′→x)=1,從而由(RL4)得x′≤x′′→x,進(jìn)而由(RL27)得(x′′→x)′≤x′′.

      于是再結(jié)合(FF3)便得f((x′′→x)′′)=f(1),即(FGL)成立.因此由定義4.3得f是L的模糊G livenko濾子.下面的例5.4說(shuō)明反之不真,定理得證.

      例5.4設(shè)格L={0,a,b,c,1}且0≤a≤b≤c≤1,L上二元運(yùn)算→和?的定義如下:

      則(L,≤,∧,∨,?,→,0,1)是一個(gè)剩余格.在L上定義模糊集f:[0,1]→L使f(0)=f(a)=f(b)= f(c)=β,f(1)=α,其中0≤β<α≤1,可以驗(yàn)證f是L的一個(gè)模糊Glivenko濾子,但非L的模糊可除濾子.這是因?yàn)閒((c∧b)→(c?(c→b)))=f(c)=β<α=f(1).此外,f也非L的模糊正則濾子,這是因?yàn)閒(a′′→a)=f(a)=β<α=f(1).這表明:在剩余格中模糊G livenko濾子不必為模糊正則濾子,但由定義3.4和定義4.3易知任一模糊正則濾子必為模糊Glivenko濾子.

      定理5.3設(shè)L是剩余格.則L的任一模糊MV濾子都是模糊可除濾子,但反之不真.

      證設(shè)f是L的模糊MV濾子.任取x,y∈L,因?yàn)橛桑≧L32),(RL11),(RL33)和(RL29)可得((x′→y′)→y′)→(x′∨y′)≤((x′→y′)→y′)→(x∧y)′=((y→x′′)?y)′→(x∧y)′≤(x∧y)′′→((y→x′′)?y)′≤(x∧y)→((y→x′′)?y)′′,所以由(FF1)和定理3.3得f((x∧y)→((y→x′′)?y)′′)≥f(((x′→y′)→y′)→(x′∨y′))=f(1).又模糊MV濾子必為模糊正則濾子,所以由(FR)得f(((y→x′′)?y)′′→((y→x′′)?y))=f(1).故由(RL10)得f((x∧y)→((y→x′′)?y))≥f(((x∧y)→((y→x′′)?y)′′)?(((y→x′′)?y)′′→((y→x′′)?y)))≥f((x∧y)→((y→x′′)?y)′′)∧f(((y→x′′)?y)′′→((y→x′′)?y))≥

      故結(jié)合(FF3)得f((x∧y)→(y?(y→x)))=f(1),即(FD)成立.因此由定義4.2便得f是L的模糊可除濾子.反之,考慮例5.3中所給模糊可除濾子f,因?yàn)閒(((b→a)→a)→(b∨a))=f(b)= β<α=f(1),所以由定理3.3知f非模糊MV濾子.定理得證.

      定理5.4設(shè)L是剩余格,f是L的模糊濾子.則f是L的模糊MV濾子當(dāng)且僅當(dāng)f既是L的模糊正則濾子又是L的模糊可除濾子.

      證必要性:由引理5.1(3)和定理5.3可得.

      充分性:設(shè)f既是L的模糊正則濾子又是L的模糊可除濾子.任取x,y∈L,令u=x∨y,則

      進(jìn)而再由(RL10)和(FR)得f(((y→x)→x′′)→u)≥f((((y→x)→x′′)→u′′)?(u′′→u))≥f(((y→x)→x′′)→u′′)∧f(u′′→u)≥f(1)∧f(1)=f(1).又因?yàn)閤≤x′′,所以由(RL11)得(y→x)→x≤(y→x)→x′′,進(jìn)而((y→x)→x′′)→u≤((y→x)→x)→u,故由(FF1)又得f(((y→x)→x)→(x∨y))=f(((y→x)→x)→u)≥f(((y→x)→x′′)→u)≥f(1).再結(jié)合(FF3)便得f(((y→x)→x)→(x∨y))=f(1).因此由定理3.3得f是L的模糊MV濾子.定理得證.

      定理5.5設(shè)L是剩余格.則L的任一模糊MV濾子都是模糊預(yù)線性濾子,但反之不真.

      證設(shè)f是L的模糊MV濾子.任取x,y∈L,因?yàn)橛桑≧L15),吸收律,(RL17)和(RL12)可得((x→(x∧y))→(x∧y))→(x∨(x∧y))=((x→y)→(x∧y))→x≤(y→((x→y)→(x∧y)))→(y→x)=((x→y)→(y→(x∧y)))→(y→x)=((x→y)→(y→x))→(y→x),所以由(FF1)和定理3.3得f(((x→y)→(y→x))→(y→x))≥f(((x→(x∧y))→(x∧y))→(x∨(x∧y)))=f(1).故再由(FF4)和定理3.3得f((x→y)∨(y→x))≥f(((x→y)→(y→x))→(y→x))∧f((((x→y)→(y→x))→(y→x))→((x→y)∨(y→x)))≥f(1)∧f(1)=f(1).進(jìn)而再結(jié)合(FF3)便得f((x→y)∨(y→x))=f(1),即(FPL)成立.因此由定理4.1得f是L的模糊預(yù)線性濾子.反之,例5.2中所定義的模糊集f為L(zhǎng)的模糊預(yù)線性濾子,但非模糊MV濾子.定理得證.

      下面兩個(gè)實(shí)例揭示了模糊可除濾子和模糊Glivenko濾子與模糊預(yù)線性濾子的關(guān)系:

      例5.5設(shè)格L={0,a,b,c,1},L上二元運(yùn)算→和?的定義如下,格L的Hasse圖如圖1:

      圖1 L的Hasse圖

      則(L,≤,∧,∨,?,→,0,1)是一個(gè)剩余格.在L上定義模糊集f:[0,1]→L使f(0)=f(a)=f(b)= f(c)=β,f(1)=α,其中0≤β<α≤1,可以驗(yàn)證f是L的一個(gè)模糊可除濾子,從而為模糊G livenko濾子,但非模糊預(yù)線性濾子.這是因?yàn)閒((a→b)∨(b→a)=f(c)=β<α=f(1).

      例5.6設(shè)格L=[0,1],L上二元運(yùn)算→和?的定義如下:

      則(L,≤,∧,∨,?,→,0,1)是剩余格.在L上定義模糊集f:[0,1]→L使f(1)=α,f(x)=β,x∈[0,1),其中0≤β<α≤1,可以驗(yàn)證f是L的一個(gè)模糊預(yù)線性濾子,但非模糊G livenko濾子,從而非模糊可除濾子.這是因?yàn)楫?dāng)取x=0.1時(shí),f(x′′→x)=f(x)=β<α=f(1).

      最后,為直觀起見,我們將剩余格中各類模糊濾子概念間的關(guān)系圖示如下:

      圖2 剩余格中各類特殊模糊濾子間的相互關(guān)系

      6 結(jié)束語(yǔ)

      眾所周知,在考察邏輯代數(shù)的結(jié)構(gòu)時(shí),各類具有不同形式和特殊性質(zhì)的濾子概念扮演著重要的角色.本文在剩余格這一重要的邏輯代數(shù)框架下對(duì)模糊濾子理論作了進(jìn)一步深入研究,引入了剩余格的模糊預(yù)線性濾子,模糊可除濾子和模糊G livenko濾子三類全新的模糊濾子概念,獲得了它們的若干等價(jià)刻畫.同時(shí),系統(tǒng)分析了這三類模糊濾子以及剩余格的模糊正關(guān)聯(lián)濾子,模糊Boolean濾子,模糊MV濾子和模糊正則濾子間的相互關(guān)系.這些工作不但使剩余格的模糊濾子理論之研究?jī)?nèi)容得到進(jìn)一步充實(shí)和豐富,概念間的層次關(guān)系得到進(jìn)一步清晰和完善,而且也能為揭示基于剩余格的模糊邏輯系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特征提供理論基礎(chǔ)上的支持和保障.

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      M R Sub ject C lassification:03G10;06D 35

      Fuzzy filters theory of residuated lattices

      LIU Chun-hui
      (Departm ent of M athem atics and Statistics,Chifeng University,Chifeng 024001,China)

      The prob lem of fuzzy filters in residuated lattices is deep ly studied by using the princip le and m ethod of fuzzy sets.Three new notions of fuzzy prelinear,divisib le and G livenko filters are introduced in residuated lattices.Some of their p roperties and characterizations are given. Relations am ong these new fuzzy filters,fuzzy positive im p licative filter,fuzzy Boolean filter,fuzzy MV filter,and fuzzy regu lar filter are discussed systematically.It is p roved that a fuzzy filter is a fuzzy MV filter if and on ly if it is both a fuzzy regu lar filter and a fuzzy d ivisib le filter.

      residuated lattice;fuzzy filter;fuzzy prelinear filter;fuzzy divisib le filter;fuzzy G livenko filter

      O141.1;O 153.1

      A

      1000-4424(2016)02-0233-15

      2015-05-18

      2016-05-04

      內(nèi)蒙古自治區(qū)高等學(xué)??茖W(xué)研究項(xiàng)目(NJSY 14283)

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