史永峰，李 明，劉 剛，何 琳

（1.西安科技大學(xué) 理學(xué)院力學(xué)系，西安 710054；2.海軍工程大學(xué) 振動與噪聲研究所，武漢 430033）

水潤滑橡膠軸承支承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)特性研究

史永峰1，李 明1，劉 剛1，何 琳2

（1.西安科技大學(xué) 理學(xué)院力學(xué)系，西安 710054；2.海軍工程大學(xué) 振動與噪聲研究所，武漢 430033）

文章研究了水潤滑橡膠軸承的動態(tài)特性及其在橡膠軸承支承下轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)行為。首先，考慮了動壓潤滑和橡膠體的彈性變形等因素后，建立了水潤滑橡膠軸承的水彈性動力潤滑數(shù)學(xué)模型，根據(jù)載荷增量法與差分法，分析了軸承的剛度和阻尼。然后，選擇集總參數(shù)法離散化轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，根據(jù)分析力學(xué)方法推導(dǎo)了水潤滑橡膠軸承耦合轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運動微分方程。最后，通過廣義逆迭代法，研究了水潤滑橡膠軸承支承的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)特性和穩(wěn)定性，得到了轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的坎貝爾曲線，臨界轉(zhuǎn)速與振型以及失穩(wěn)轉(zhuǎn)速等。結(jié)果表明偏心率、間隙比、轉(zhuǎn)速及長徑比對軸承的動態(tài)特性的影響比較顯著；軸承的水彈性潤滑特性對系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速影響較大，橡膠軸承的彈性對系統(tǒng)的穩(wěn)定性影響次之。

水潤滑橡膠軸承；轉(zhuǎn)子系統(tǒng)；動態(tài)特性；臨界轉(zhuǎn)速；穩(wěn)定性

0 引 言

水潤滑與油潤滑相比具有來源方便、使用安全、無污染等優(yōu)點，并且由于水具有較大的比熱容，其冷卻效果要比油好得多[1]，因而水潤滑橡膠軸承被廣泛應(yīng)用于大型船舶的動力推進(jìn)系統(tǒng)中[2-3]。近十余年來，隨著我國國防工業(yè)的需求和國民經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展，船舶特別是軍用水面、水下艦艇日趨大型、重載和高速，這就對水潤滑橡膠軸承在推進(jìn)軸系的設(shè)計、制造和安裝方面提出了更高的要求。

在水潤滑橡膠軸承方面，考慮了軸承彈性變形的流體潤滑理論研究也有一些進(jìn)展[4]。文獻(xiàn)[5-6]分析了水潤滑橡膠軸承的結(jié)構(gòu)和工作特點，針對橡膠軸承存在的鳴音問題，提出了軸承在設(shè)計時需注意的一些問題；文獻(xiàn)[7]通過數(shù)值方法討論了軸頸傾斜對徑向滑動軸承潤滑性能的影響；文獻(xiàn)[8]基于有限元法提出一種混合水彈潤滑的有限長彈性滑動軸承模型，并采用改進(jìn)的松弛迭代方法求解水潤滑軸承的潤滑特性問題；文獻(xiàn)[9-12]分別采用實驗和數(shù)值分析方法研究了不同工況不同類型的水潤滑橡膠軸承的水彈潤滑特性；文獻(xiàn)[13]建立了考慮多溝槽潤滑結(jié)構(gòu)和實際工況邊界條件的水潤滑橡膠合金軸承的數(shù)學(xué)模型，研究了溝槽半徑對潤滑性能的影響；文獻(xiàn)[14]以水潤滑橡膠板條結(jié)構(gòu)參數(shù)為切入點，著重研究了橡膠板條厚度對軸承潤滑性能的影響；文獻(xiàn)[15]針對水潤滑橡膠軸承動態(tài)特性系數(shù)剛度與阻尼測試過程中信號混雜等問題，采用了頻譜分析法來測定其動力參數(shù)，計算出水潤滑橡膠軸承的動力特性；文獻(xiàn)[16]在考慮橡膠軸瓦彈性變形的條件下，建立水潤滑軸承的水彈潤滑模型并進(jìn)行了數(shù)值計算，從理論上分析了水潤滑橡膠層厚度對軸承彈流潤滑性能的影響。

在軸承—轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)研究領(lǐng)域，近年來對各種類型軸承支承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)特性研究取得了許多成果，例如，文獻(xiàn)[17]研究了滑動軸承—轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力特性，利用Riccati傳遞矩陣法對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動態(tài)特性進(jìn)行了求解，開發(fā)了相應(yīng)的計算程序；文獻(xiàn)[18]建立了水潤滑軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)有限元模型，計算了水軸承支承下的軸系動力學(xué)響應(yīng)；文獻(xiàn)[19]研究了高速動靜混合氣體軸承的靜動態(tài)特性，同時結(jié)合非線性動力學(xué)的理論和方法，利用數(shù)值仿真和試驗手段，對系統(tǒng)的耦合動力學(xué)特性進(jìn)行了研究；文獻(xiàn)[20]以某高壓多級泵為例，創(chuàng)建了分析該泵軸承—轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)特性的模型；利用ANSYS計算生成了剛性支承的坎貝爾圖，獲得了臨界轉(zhuǎn)速。文獻(xiàn)[21]提出了一種考慮空間軸承分布力的新模型，并給出其動態(tài)系數(shù)。

綜上所述，國內(nèi)外學(xué)者對油潤滑軸承支承的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)研究比較多，而水潤滑橡膠軸承支承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)作為一種十分重要的傳動系統(tǒng)，有關(guān)其動力學(xué)特性方面的研究還相對薄弱，隨著工程應(yīng)用的不斷深入以及轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速的不斷提高，水潤滑橡膠軸承—轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速、穩(wěn)定性及各種載荷作用下的動態(tài)響應(yīng)將有待進(jìn)一步深入研究。本文將主要討論水潤滑橡膠軸承的靜動態(tài)特性及其對水潤滑橡膠軸承—轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)特性的影響。

1 水潤滑橡膠軸承的水彈潤滑特性

水潤滑橡膠軸承結(jié)構(gòu)如圖1所示。其中轉(zhuǎn)子以角速度ω繞軸承中心O轉(zhuǎn)動，O′為軸頸中心，e為偏心距，φ為偏位角，hmax為最大水膜間隙，hmin為最小水膜間隙。轉(zhuǎn)子在旋轉(zhuǎn)時，所形成的水膜將轉(zhuǎn)軸與橡膠襯層隔開，流體動壓潤滑在橡膠軸承間隙中形成。

水潤滑橡膠軸承水膜壓力的無量綱形式可表示為

圖1 水潤滑橡膠軸承示意圖Fig.1 Schematic diagram of the water lubrication rubber bearing

式中：θ為軸承在圓柱坐標(biāo)下周向坐標(biāo)，λ為無量綱軸向坐標(biāo)，H為無量綱水膜厚度，P為無量綱水膜力，L為軸承寬度或長度，d為軸頸直徑，τ為時間。

無量綱所用特征量

與油潤滑軸承的金屬軸套相比，水潤滑橡膠軸承的橡膠襯層變形要大得多。Winkler假設(shè)[22]在連續(xù)分布載荷作用下，材料各點的位移與所受載荷成正比。Conway和Lee[23]根據(jù)Winkler假定，將橡膠內(nèi)襯的承壓作用等效為無窮多個彈簧的并聯(lián)，固定在剛性外殼與水膜之間，各節(jié)點的無量綱彈性變形可以表示為

式中：ΔH為內(nèi)襯變形量，u為軸頸轉(zhuǎn)速，μ為水的動力粘度，R為軸頸半徑，l為橡膠內(nèi)部襯層的厚度，E為橡膠材料的彈性模量，c為軸承絕對間隙，v為泊松比。

橡膠軸承的水膜厚度包括軸承與轉(zhuǎn)子間的間隙和橡膠材料的變形。以軸承間隙c為特征長度進(jìn)行無量綱化，可得到全圓周式水潤滑軸承的無量綱水膜厚度為

式中：H為橡膠軸承的無量綱水膜厚度；ε為偏心率。

下面采用有限差分法求解（1）式。圖2為求解域網(wǎng)格圖，其中沿軸向和周向?qū)ⅵ撕挺葎澐譃閚和m個等距區(qū)間。

圖2 網(wǎng)格劃分示意圖Fig.2 Schematic diagram of meshing

采用中心差分格式，則（1）式可表示為

考慮自然破裂邊界條件，由（5）式可得各節(jié)點的Pi，j，再通過積分可求得水膜力FRx、FRy。

2 水潤滑橡膠軸承的動態(tài)特性

2.1 水潤滑橡膠軸承的阻尼和剛度

當(dāng)軸承在工作中受到微小擾動時，水膜通常被視為無窮多個并聯(lián)的彈簧與阻尼，其線性化的動力學(xué)特性即為水膜的剛度和阻尼。圖3為水潤滑橡膠軸承的受力圖，其中FRx、FRy分別表示水膜力在x、y坐標(biāo)軸上的分力。

水膜剛度與阻尼為[24]

2.2 差分法求解動態(tài)特性系數(shù)

同理可得Kxy、Kyy、Cxx、Cxy、Cyx和Cyy，其中無量綱位移擾動量和速度擾動量均取0.01。

圖3 水潤滑橡膠軸承彈性變形示意圖Fig.3 Schematic diagram of water lubrication rubber bearing’s elastic deformation

2.3 數(shù)值分析

下面主要研究偏心率、長徑比、間隙比及轉(zhuǎn)速對動特性系數(shù)的影響，其中軸承的參數(shù)如表1所示。

表1 軸承參數(shù)Tab.1 Bearing parameters

（1）偏心率對動力特性系數(shù)旳影響

圖4 無量綱動態(tài)特性系數(shù)隨偏心率的變化：（a）阻尼系數(shù)Cxx，Cxy，Cyx，Cyy；（b）剛度系數(shù)Kxx，Kxy，Kyx，KyyFig.4 A curve on dimensionless coefficient with the change of eccentricity:(a)C;(b)K

由上圖可知，偏心率對軸承的動態(tài)特性系數(shù)Kyy和Cyy的影響較大。隨著偏心率的增大，Kxx和Cxx剛度和阻尼系數(shù)隨之增大。在小偏心率下，交叉阻尼數(shù)值幾乎相等，而在大偏心率下，交叉阻尼數(shù)值不等。

（2）間隙比對動力特性系數(shù)旳影響

圖5為水潤滑橡膠軸承的動特性系數(shù)隨間隙比的變化情況。由圖可知，改變軸承與軸頸間的間隙比，無量綱動態(tài)特性系數(shù)變化顯著。在小偏心率下，由于軸頸與軸承間的不完全接觸，間隙比對無量綱系數(shù)的影響較??；然而在大偏心率下，由于軸頸與軸承橡膠襯層的接觸面積較大，無量綱系數(shù)變化顯著，隨著偏心率的增加而顯著增大。

圖5 無量綱動態(tài)特性系數(shù)隨間隙比的變化：（a）阻尼系數(shù)Cyy；（b）剛度系數(shù)KyyFig.5 A curve on dimensionless coefficient with the change of relative clearance ratio:(a)Cyy;(b)Kyy

圖6 無量綱動態(tài)特性系數(shù)隨轉(zhuǎn)速的變化：（a）Cyy；（b）KyyFig.6 A curve on dimensionless coefficient with the change of speed:(a)Cyy;(b)Kyy

圖7 無量綱動態(tài)特性系數(shù)隨長徑比的變化：（a）Cyy；（b）KyyFig.7 A curve on dimensionless coefficient with the change of length-diameter ratio:(a)Cyy;(b)Kyy

（3）轉(zhuǎn)速對動態(tài)特性系數(shù)旳影響

圖6為水潤滑橡膠軸承的動特性系數(shù)隨轉(zhuǎn)速的變化情況。從中可見，轉(zhuǎn)速變化對軸承的阻尼和剛度系數(shù)影響較大。在小偏心率下，轉(zhuǎn)速對無量綱的剛度系數(shù)與阻尼系數(shù)的影響較?。蝗欢诖笃穆氏?，無量綱剛度系數(shù)與阻尼系數(shù)隨著轉(zhuǎn)速增加而顯著增大。

（4）長徑比對動力特性系數(shù)旳影響

圖7為水潤滑橡膠軸承的動特性系數(shù)隨長徑比的變化情況。從中可知，隨著長徑比的增大，無量綱動態(tài)特性系數(shù)增大。在小偏心率下，阻尼和剛度系數(shù)增加的幅度較小，而在大偏心率下，則幅度增加較大。

3 水潤滑橡膠軸承—轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動態(tài)特性

下面分析轉(zhuǎn)子—軸承系統(tǒng)的動力學(xué)特性，圖8為某大型船用橡膠軸承支承的螺旋槳軸—艉軸耦合系統(tǒng)，該系統(tǒng)由一個螺旋槳、三個軸承、二個轉(zhuǎn)子和一個聯(lián)軸器組成。

圖8 水潤滑橡膠軸承—轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型Fig.8 A model of rotor system guided by water lubricated rubber bearings

轉(zhuǎn)子總長度超過14 m；螺旋槳質(zhì)量超過14 t，與轉(zhuǎn)子的自重合計近29 t。由于軸承約束反力作用點位置對計算結(jié)果影響較大，按照船舶水潤滑尾管橡膠軸承的設(shè)計規(guī)范[25]，螺旋槳軸承的支反力作用位置可以取在l1/5～l1/2軸承長度之間，本文取l1/4符合要求，亦符合美國軍用推進(jìn)軸系設(shè)計規(guī)范[26]。艉軸后軸承和艉軸前軸承約束反力的作用點分別為各自軸承中點處。

3.1 運動方程

下面討論水潤滑橡膠軸承支承的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)模型。其中橡膠軸承利用8參數(shù)線性化的阻尼與剛度模化，轉(zhuǎn)子采用集總參數(shù)法[27]離散。

（1）系統(tǒng)動能

將轉(zhuǎn)子和圓盤結(jié)構(gòu)劃分為n個單元，系統(tǒng)的動能[2]

忽略高階小量后，系統(tǒng)的動能可以寫成為

式中：mi（i=1，2，…，n）是第i個單元的集中質(zhì)量，Vic是質(zhì)心速度，ωi是繞質(zhì)心的角速度，Gi是繞質(zhì)心的動量矩，Jij（i=1，2，…，n；j=d，z）則分別是第i個單元的剖面轉(zhuǎn)動慣量和繞z軸的轉(zhuǎn)動慣量，xi、yi、φi、ψi是第i個結(jié)點的廣義位移，Ω為轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動角速度。

（2）系統(tǒng)勢能

第i個梁單元的變形如圖9所示，其中Si-1，Mi-1，Qi-1，Ni-1，Si，Mi，Qi，Ni分別是作用在第i個單元上的剪力和彎矩。根據(jù)平衡方程，則在x方向可以得到

式中：E是轉(zhuǎn)子的彈性模量，I是截面的慣性矩，l是單元的長度。

圖9 轉(zhuǎn)子的第i個單元Fig.9 The ith element of the rotor

第i個單元在x方向的橫向勢能為

（3）運動微分方程

根據(jù)Lagrange方程

式中：廣義坐標(biāo)q= ｛…，xi，yi，zi，φi，ψi，…｝T，則系統(tǒng)的運動方程為

式中：系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣M和剛度矩陣K是對稱的，而陀螺矩陣G則是反對稱的，C為阻尼矩陣，Q為廣義力矢量。一般而言，在廣義力矩陣Q中包含了各種外激勵力，例如不平衡力、扭轉(zhuǎn)激振力矩等，而質(zhì)量矩陣M和剛度矩陣K則主要與系統(tǒng)的物理參數(shù)有關(guān)，軸承的阻尼矩陣C和剛度矩陣K為

式中：cxx、cxy、cyx、cyy、kxx、kxy、kyx和kyy分別是水潤滑橡膠軸承的阻尼和剛度系數(shù)，這些系數(shù)主要與軸承的靜載荷和轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速有關(guān)。

3.2 動態(tài)特性

下面以圖8所示的水潤滑橡膠軸承—轉(zhuǎn)子系統(tǒng)為例進(jìn)行分析，其中的相關(guān)參數(shù)如表2所示。在下面的計算中，共劃分了28個梁單元，其中如圖8所示在軸承相對應(yīng)的位置設(shè)置了三個水潤滑橡膠軸承單元。

表2 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab.2 The structural parameters of rotor-bearing system

（1）臨界轉(zhuǎn)速及其振型

當(dāng)（14）式中的廣義力Q=0時，系統(tǒng)運動為自由振動，相應(yīng)的特征值問題可以采用廣義逆迭代法[27]求解。通過對方程（15）進(jìn)行求解獲得其特征值，進(jìn)而得到轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在剛性支承和彈性支承下的坎貝爾曲線，分別見圖10和圖11，對應(yīng)臨界轉(zhuǎn)速如表3所示。

圖10 剛性支承下的坎貝爾曲線Fig.10 Campbell curve under rigid support

圖11 彈性支承下的坎貝爾曲線Fig.11 Campbell curve under elastic support

表3 臨界轉(zhuǎn)速Tab.3 The critical speed

從表3可知，對于同一轉(zhuǎn)子而言，彈性支承相對于剛性支承來說，其支承方式變得更加柔性，因而其總剛度K下降，同時導(dǎo)致其固有頻率下降，從而導(dǎo)致其臨界轉(zhuǎn)速降低。圖12為彈性支承下各階臨界轉(zhuǎn)速對應(yīng)的振型。

圖12 彈性支承下系統(tǒng)的各階振型：（a）第一階；（b）第二階；（c）第三階；（d）第四階；（e）第五階；（f）第六階Fig.12 The modes of system under the elastic:(a)The first mode;(b)The second mode;(c)The third mode; (d)The fourth mode;(e)The five mode;(f)The sixth mode

由圖12可知，彈性支承下一階與二階臨界轉(zhuǎn)速對應(yīng)的模態(tài)主要以螺旋槳的振動為主，三階—六階模態(tài)主要以軸段振動為主。

（2）失穩(wěn)轉(zhuǎn)速

設(shè)系統(tǒng)方程的解具有一般形式x=Aeλt，系統(tǒng)穩(wěn)定性由其特性值λ=-u+iv決定，取決于其在復(fù)平面上的實際分布狀況。當(dāng)u＜0時，此時λ具有正實部，系統(tǒng)處于不穩(wěn)定狀態(tài)，即失穩(wěn)，即把u中出現(xiàn)u=0時所對應(yīng)轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速定義為失穩(wěn)轉(zhuǎn)速。

通過計算，發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的失穩(wěn)轉(zhuǎn)速為1 380 r/min左右，經(jīng)分析可知系統(tǒng)失穩(wěn)轉(zhuǎn)速較低主要是由于螺旋槳集中質(zhì)量及轉(zhuǎn)子的型號相對較大而造成的，然而對于軸承直徑較大的大型軸承來說，這樣的速度已經(jīng)是相當(dāng)可觀的。

（3）橡膠襯層厚度的影響

橡膠軸承的支承剛度是一個很重要的參數(shù)，下面重點研究橡膠襯層的彈性對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)臨界轉(zhuǎn)速與失穩(wěn)轉(zhuǎn)速的影響，結(jié)果如表4-5所示。

表4 橡膠襯層對臨界轉(zhuǎn)速的影響Tab.4 The impact of the support stiffness on the critical speed(r/min)

表5 橡膠襯層對失穩(wěn)轉(zhuǎn)速的影響Tab.5 The impact of support stiffness on threshold speed of stability(r/min)

由表4可知，水潤滑橡膠軸承的襯層厚度對水潤滑橡膠軸承支承的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速影響較小。隨著襯層厚度的增加，系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速降低。其中第一階臨界轉(zhuǎn)速與第四階臨界轉(zhuǎn)速變化比較明顯；其它的各臨界轉(zhuǎn)速變化不大。

由表5可知，水潤滑橡膠軸承的襯層厚度對水潤滑橡膠軸承支承的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的失穩(wěn)轉(zhuǎn)速影響較小，但隨著襯層厚度的增加，系統(tǒng)的失穩(wěn)轉(zhuǎn)速有增大的趨勢。

4 結(jié) 論

本文主要研究了水潤滑橡膠軸承的動態(tài)特性及水潤滑橡膠軸承支承下轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速及穩(wěn)定性。首先基于Winkler假定采用有限差分法分析了水潤滑橡膠軸承的剛度與阻尼；然后根據(jù)拉格朗日方程建立了水潤滑橡膠軸承—轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)模型，并針對某大型船舶推進(jìn)軸系研究了系統(tǒng)的動態(tài)特性。結(jié)果表明水潤滑橡膠軸承的偏心率、間隙比、轉(zhuǎn)速及長徑比對軸承的阻尼和剛度影響較大；軸承的水彈潤滑特性對系統(tǒng)的動態(tài)特性影響顯著，而水潤滑橡膠軸承的彈性變化對系統(tǒng)的失穩(wěn)轉(zhuǎn)速影響不大。上述研究可以為水潤滑橡膠軸承支承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在各種激勵作用下的動力學(xué)分析提供理論準(zhǔn)備。

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Study on the dynamic characteristics of rotor system supported on water-lubricated rubber bearings

SHI Yong-feng1,LI Ming1,LIU Gang1,HE Lin2
(1.Department of Mechanics,Xi’an University of Science and Technology,Xi’an 710054,China; 2.Institute of Noise and Vibration,Naval University of Engineering,Wuhan 430033,China)

The dynamic characteristics of water-lubricated rubber bearing and dynamic characteristics of rotor system supported on water-lubricated rubber bearings are studied.The mathematical model of waterlubricated rubber bearing is built based on the theory of elastohydrodynamic lubrication.Its dynamic characteristics are analyzed according to the load increment method and finite difference method.Then,the differential equation of rotor system coupled with the water-lubricated rubber bearing is deduced based on Lumped parameter method and the theory of Analytical Mechanics.Finally,the stability and dynamic characteristics of rotor system supported on water-lubricated rubber bearings are analyzed by using the generalized inverse iteration method.The critical speeds and its corresponding modes,and the threshold speed of stability,and so on are acquired.The results show that the parameters,such as the eccentricity,the length-diameter ratio,the relative clearance ratio and the speed,have a greater influence on dynamic characteristics of water-lubricated rubber bearings;the elastohydrodynamic lubrication characteristics of rubber bearing has a large effect on the critical speed of system,but the elastic deformation of rubber bearings has a little influence on the stability of system.

water-lubricated rubber bearing;rotor system;dynamic characteristics;the critical speed;the stability

U664.81+3

：Adoi:10.3969/j.issn.1007-7294.2017.05.008

1007-7294（2017）05-0584-11

2016-12-16

國家自然科學(xué)基金資助項目（11372245）；陜西省自然科學(xué)基金資助項目（2014JM1015）

史永峰（1988-），男，碩士研究生，E-mail：S634821083@126.com；李 明（1963-），男，教授，博士生導(dǎo)師。