李 麗, 楊方白, 門桐宇, 唐佳玥

(1. 沈陽師范大學 數(shù)學與系統(tǒng)科學學院, 沈陽 110034; 2. 遼寧師范大學 數(shù)學學院, 遼寧 大連,116029)

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基于數(shù)學建模思想的高等代數(shù)課程教學研究

李 麗1, 楊方白2, 門桐宇1, 唐佳玥1

(1. 沈陽師范大學 數(shù)學與系統(tǒng)科學學院, 沈陽 110034; 2. 遼寧師范大學 數(shù)學學院, 遼寧 大連,116029)

探討如何在高等代數(shù)中融入數(shù)學建模思想,通過增強其應(yīng)用性,幫助學生更深刻的理解高等代數(shù)內(nèi)容,使其認識到學習高等代數(shù)的重要性和必要性。但是,由于高等代數(shù)教學中所涉及的例子很少能與實際生活相聯(lián)系,學生感到學習內(nèi)容抽象,感受不到數(shù)學的應(yīng)用價值,缺少學習的興趣和動力。通過在教學中融入數(shù)學建模思想,對試驗數(shù)據(jù)進行分析建模求解,將知識由抽象轉(zhuǎn)化為直觀形象的生活實例,由理論轉(zhuǎn)化為應(yīng)用,來增強學生學習高等代數(shù)的興趣,提高教學質(zhì)量及學生的數(shù)學素質(zhì),從而培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維意識及數(shù)學應(yīng)用意識。

數(shù)學建模; 高等代數(shù); 教學; 數(shù)學應(yīng)用

當今社會,數(shù)學知識被廣泛應(yīng)用到各個領(lǐng)域并起著至關(guān)重要的作用?！陡叩却鷶?shù)》作為大學數(shù)學學習中的一門傳統(tǒng)學科,其內(nèi)容結(jié)構(gòu)清晰,是大學數(shù)學的主干基礎(chǔ)課程。但是,由于它的抽象性較強,并且學習內(nèi)容較多,導(dǎo)致很難將所講內(nèi)容與實際相結(jié)合,所以教師的上課內(nèi)容局限在概念教學。這種教學方法往往忽略了高代的實用性,而且學生體會不到學習高代的實際意義所在。因此,在《高等代數(shù)》課程教學中突出其應(yīng)用性[1-3]已經(jīng)成為該課程教學改革的熱點。

隨著數(shù)學建模競賽的深入開展,為新的教學模式打開了新思路[4]。數(shù)學建模思想能夠使數(shù)學知識形象化,系統(tǒng)化和實用化,是將數(shù)學與實際聯(lián)系起來的紐帶。因此,將數(shù)學建模思想融入高等代數(shù)課程教學中成為了高等代數(shù)課程改革的核心與重點。實踐教學中表明,將數(shù)學建模思想融入到高等代數(shù)中有利于提高學生學習效果,使其體會到將數(shù)學應(yīng)用到實際問題中去的魅力,激發(fā)學生的興趣,提高學生學習的積極性,還能促使教師提高自身的專業(yè)素養(yǎng),從而培養(yǎng)全面發(fā)展的創(chuàng)新型高素質(zhì)人才。這樣的教學方法既能彌補教材中理論聯(lián)系實際不足的現(xiàn)象,又能幫助學生更深刻地理解課程的內(nèi)容,培養(yǎng)學生創(chuàng)新能力。

1 在高等代數(shù)教學中融入數(shù)學建模思想的教學探索

1.1 在高等代數(shù)教材中充實應(yīng)用素材

目前,大多數(shù)高校選擇的高等代數(shù)教材在內(nèi)容的取舍和體系結(jié)構(gòu)上都比較得當,且具有理論性強,方法多樣,重技巧性的特點。但是由于含有較多知識點,教師往往會采用理論教學模式,這導(dǎo)致部分學生對這門課程的學習熱情不高。所以,高等代數(shù)教材的改革中應(yīng)該具有以下特點(探討了在不同模塊中從背景知識、應(yīng)用案例、信息技術(shù)、知識覆蓋面、知識體系等角度入手將數(shù)學建模思想滲透于高等數(shù)學教材中)[5]:1)應(yīng)充實一些趣味性的實例,例如:人口遷移模型,投入產(chǎn)出模型等。2)可以使用目前已經(jīng)很成熟的計算機軟件,如MATLAB,Lingo等,結(jié)合應(yīng)用型實例,進行圖示,數(shù)值計算,仿真等,以提高課堂教學的效果[4]。

1.2 在高等代數(shù)課程教學中教學方法的改革

1.2.1 在概念教學中引入數(shù)學建模的思想

在高等代數(shù)的學習中,概念是基礎(chǔ),只有深刻理解概念,才能應(yīng)用到習題中去。為了讓學生更好的理解概念,教師可以向?qū)W生傳授概念的形成過程及應(yīng)用,盡可能在實際問題中找到概念的原型。通過在實際問題中建立數(shù)學模型,來引出數(shù)學概念,這樣可以加深學生對所學知識的理解與掌握,引發(fā)學生學習的欲望,使其主動去求知、探索與實踐。

例1 行列式概念的引入[6]

貨物交換的經(jīng)濟模型:諾貝爾經(jīng)濟學獎獲得者列昂杰夫(Leontief)考慮的一個經(jīng)濟學模型。在一個原始部落,根據(jù)分工,人們分別從事3種勞動:農(nóng)田耕作(記為F)、農(nóng)具與工具的制作(記為M),以及織物的編織(記為C),人們之間的貿(mào)易是實物交易。圖1給出這3人之間的交易系統(tǒng),圖中所示表明,農(nóng)夫們將每年收獲的一半留給自己,并分別拿出1/4給工匠們和織布者們;而工匠們卻平均分配他們制作的用具給每個組;織布者們則留下1/4的衣物給自己,并拿出1/4 給工匠們、1/2給農(nóng)夫們。此交易系統(tǒng)也可以用表給出,如表1所示。

圖1 三組人之間的交易系統(tǒng)

FMCF121312M141314C141314

隨著社會的發(fā)展,實物交易形式變得十分不方便,于是部落決定用貨幣進行交易。假設(shè)沒有資本和負債,那么如何給每類產(chǎn)品定價,使其公正地體現(xiàn)舊有的實物交易系統(tǒng)呢?

令x1為農(nóng)作物的價值,x2為農(nóng)具及工具的價值,x3為織物的價值,那么由表1,農(nóng)夫們生產(chǎn)的價值應(yīng)等于他們交換到的產(chǎn)品(包括留給自己的)價值,

(1)

即有

整理得,如下方程組:

(4)

因此,該問題可歸結(jié)為一個三元一次線性方程組的求解問題。以此問題引出行列式,使學生了解行列式與線性方程組的密切聯(lián)系。從簡單的經(jīng)濟問題入手,讓學生了解知識的應(yīng)用背景,表明學習行列式是為生產(chǎn)實踐服務(wù)的,從而提高學生學習的積極性。

1.2.2 在例題講解中引入數(shù)學建模的思想

高等代數(shù)課程抽象,理論性強,且教材中缺少實用性例子,導(dǎo)致大多學生認為高等代數(shù)與實際無聯(lián)系,從而喪失學習的興趣[7]。為了彌補現(xiàn)行教材中的不足,教師可以在例題講解中可以適當增加一些應(yīng)用性的實例,引導(dǎo)學生去分析,進行模型求解。這樣既培養(yǎng)了學生數(shù)學建模的意識,又讓學生體會到將高等代數(shù)知識應(yīng)用到實際中去的魅力所在,大大增加學生學習高代的興趣。

例如,教師在講解矩陣乘法與逆矩陣的應(yīng)用之后,可以補充下面例子:

例2[8]在密碼學中將明文消息通過一些處理使其隱藏起來成為密文,又可以通過矩陣將密碼破譯。密碼在商業(yè)與軍事中是一種保密通信技術(shù),密碼在保密通信技術(shù)中發(fā)揮了重要作用。

假設(shè)要發(fā)出的信息為“THE MESSAGE IS WRONG”。規(guī)定每個字母對應(yīng)數(shù)字為26個字母,例如A對應(yīng)1、C對應(yīng)3。另外,空余的位置可以用0來表示。于是就有數(shù)集

{23,8,4,16,4,19,19,1,7,9,19,23,17,15,14,7}

表示“THE MESSAGE IS WRONG”,將其寫成4行4列的行列式形式為:

(5)

密碼發(fā)送者和接收者的共同基本矩陣為

(6)

通過變成矩陣被加密的信息再傳輸過程中以AM的形式輸出,接收者收到的矩陣:

(7)

收到消息后計算A-1C來破譯信息,還原出C即可得到原始信息。

這道例題是矩陣乘法與逆矩陣的應(yīng)用,它不僅使學生熟悉所學知識,也會讓學生了解信息科學發(fā)展,從而引發(fā)學生的學習興趣。

同樣,教師在講解線性方程組時,也可以增加如下例題:

例3 投入產(chǎn)出模型。設(shè)甲,乙,丙3個部門組成一個經(jīng)濟系統(tǒng),各部門生產(chǎn)滿足系統(tǒng)內(nèi)部和外部的需求,同時也消耗系統(tǒng)內(nèi)部各部門的產(chǎn)品,如表2所示。

表2中,甲部門那一行的0.4表示該部門的1元錢產(chǎn)品需消耗甲部門的產(chǎn)品0.4元,其余類似。

1) 求y1,y2,y3與x1,x2,x3的關(guān)系

2) 當y1,y2,y3分別為40億元,24億元,16億元時,求x1,x2,x3及z1,z2,z3。

解 1) 根據(jù)題意可得

(8)

2) 當y1=40,y2=24,y3=16時,由式(8),可解得x1=232,x2=212,x3=178。又因為

(9)

代入x1,x2,x3,可解得z1= 23.2,z2=21.2,z3= 35.6。

表2 直接消耗系數(shù)表

于是,通過簡單的實例讓學生感受到學好高等代數(shù)的必要性與重要性。

1.2.3 在課后作業(yè)及考核中引入數(shù)學建模思想

目前高等院校《高等代數(shù)》課程教學考試與課后習題多以理論知識為主,很少涉及應(yīng)用與實踐性的題目。這就導(dǎo)致了學生高分低能現(xiàn)象的出現(xiàn),很難將所學知識應(yīng)用到實際生活中。為改變學生學習的現(xiàn)狀,應(yīng)該在考核方式,評分標準與課后作業(yè)的類型題上做一定的改革。在考試中可以適當?shù)脑黾右恍╅_放性的應(yīng)用題,要求學生以數(shù)學建模的方式來解答。在課后習題中可以給學生留一些需要實踐驗證的數(shù)學建模問題。讓學生親自觀察并將結(jié)果記錄下來,并判斷計算結(jié)果是否正確,讓學生體會到“做中學”的魅力。通過這樣模式不但能夠加深學生對所學內(nèi)容的掌握程度,又能培養(yǎng)學生開拓創(chuàng)新、互幫互助的合作精神。這樣的改革使高等代數(shù)這門課程重在積累、重在平時、重在知識的應(yīng)用。

2 注重對學生學習方法的指導(dǎo)

基于數(shù)學建模思想的高等代數(shù)課程,能讓學生更好地將高等代數(shù)應(yīng)用到科學技術(shù)和生產(chǎn)活動中,體會到數(shù)學的重要性,達到事半功倍的學習效果。但是由于高等代數(shù)不是專門的數(shù)學建模課程,所以在教學中,教師可以引入代表性強的例題,不需按照完整的建模程序教學,而是傳輸數(shù)學建模的思想,以此達到讓學生深入理解高等代數(shù)內(nèi)容的目的。

3 結(jié) 語

將數(shù)學建模思想融入到高等代數(shù)中去,對提高學生知識的直觀理解、和數(shù)學知識的實際應(yīng)用的認識有較大的影響[8],能夠給予學生更多獨立思考的時間與機會,對于提升創(chuàng)新思維和實踐能力具有非常重要的意義。這種新的教學方法目前還受到固有的教學方式影響故想要進一步實施還將面臨巨大的挑戰(zhàn),想要深入的實現(xiàn)課程改革與適應(yīng)還需要廣大教師與學者的不斷努力。

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Research of advanced algebra teaching based on mathematical modeling thought

LI Li1, YANG Fangbai2, MEN Tongyu1, TANG Jiayue1

(1. College of Mathematics and Systems Science, Shenyang Normal University, Shenyang 110034, China; 2. College of Mathematics, Liaoning Normal University, Dalian 110034, China)

This paper discusses how to integrate mathematical modeling thoughts into advanced algebra teaching in order to help the students understand the content of advanced algebra more deeply. But the examples involving in the teaching of advanced algebra can rarely link to the real life,some student feel the learning content abstract and disconnect with the real. This can not reflect the application of mathematics. By integrating the mathematical modeling thoughts into teaching,we analyze experimental data and establish models. This can translate the abstract knowledge into intuitive image. In the way,we can cultivate the students' innovative thinking and mathematics application consciousness. At the same way,this can improve the quality of teaching and the mathematics quality of the students.

mathematical modeling; advanced algebra; teaching, application of mathematics

1673-5862(2017)02-0253-04

2016-12-25。

遼寧省科技廳自然科學基金資助項目(2015020029)。

李 麗(1979-),女,遼寧錦州人,沈陽師范大學講師,博士。

G642

A

10.3969/ j.issn.1673-5862.2017.02.024