陸少華

(碭山中學(xué)，安徽 碭山 235300)

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一道高考題的建模與變式應(yīng)用

陸少華

(碭山中學(xué)，安徽 碭山 235300)

對(duì)2016年高考理綜新課標(biāo)卷Ⅰ第35(2)題進(jìn)行建模和變式應(yīng)用,引導(dǎo)學(xué)生高考物理復(fù)習(xí)要善于歸納,構(gòu)建一類題型認(rèn)知和解題方法．

高考題； 建模； 變式應(yīng)用

題目.(2016年高考理綜新課標(biāo)卷Ⅰ第35題)某游樂(lè)園入口旁有一噴泉,噴出的水柱將質(zhì)量為m的卡通玩具穩(wěn)定地懸停在空中．為計(jì)算方便起見(jiàn),假設(shè)水柱從橫截面積為S的噴嘴持續(xù)以速度v0豎直向上噴出;玩具底部為平板(面積大于S);水柱沖擊到玩具底板后,在豎直方向上的速度變?yōu)?,在水平方向朝四周均勻散開(kāi)．忽略空氣阻力．已知水的密度為ρ,重力加速度大小為g．求:

(1) 噴泉單位時(shí)間內(nèi)噴出水的質(zhì)量;

(2) 玩具在空中懸停時(shí),其底部面積相對(duì)于噴嘴的高度．

分析:卡通玩具是受到質(zhì)量連續(xù)分布的流體持續(xù)作用而穩(wěn)定地懸停在空中,與質(zhì)點(diǎn)短暫作用模型不同．為利用已知來(lái)探究未知,可以將水流體當(dāng)作“質(zhì)量柱體微元”不間斷地傳遞動(dòng)量．通過(guò)分析質(zhì)量柱體微元的動(dòng)量傳遞速率進(jìn)而求出水流對(duì)障礙物的作用力．

1 建立 “質(zhì)量柱體微元”模型

圖1

對(duì)于以速度v定向流動(dòng)的密度為ρ的連續(xù)流體,可以在速度方向上選取一段截面積為S的柱體微元．則在Δt時(shí)間內(nèi)通過(guò)截面的流體質(zhì)量就是以高為vΔt、底面積為S的柱體微元的質(zhì)量．如圖1所示,柱體微元質(zhì)量為Δm=ρSvΔt.

2 變式情景

情景1： 橫截面積為S的水柱以恒定的水平速度v持續(xù)垂直沖刷豎直墻面,若水柱反彈速率為v′,試求豎直墻面受到?jīng)_擊力大?。?/p>

圖2

解析:建立如圖2所示質(zhì)量柱體微元,質(zhì)量為Δm=ρSvΔt.

柱體微元的動(dòng)量為

Δp=Δmv=ρSv2Δt.

則單位時(shí)間內(nèi)水流向墻面?zhèn)鬟f的動(dòng)量為

若水流反彈,首先研究因速率變化引起的截面積變化為S′.因?yàn)槿肷渌髁縌1等于反射水流量Q2,即

Sv=S′v′.

可得反射水的截面積為

則反射水流帶走動(dòng)量的速率為

豎直墻面受力為

若水流沖刷墻面后便自然沿壁流淌下來(lái),即v′=0，則墻面受力為F=ρSv2.

若水流沖刷墻面后原速返回,即v′=v，則墻面受力為F=2ρSv2.

圖3

情景2：如圖3所示,一河流彎道,彎道a岸、b岸共屬同心環(huán),兩岸間距為Δr,彎道a岸半徑為r．已知河水流速為v,深度為h．試求水流沖刷a岸的壓強(qiáng)．

解析:如圖4示,在受水流沖刷的a岸邊取張角為Δθ的一小段圓弧,由兩岸a和b與假想截面c和d構(gòu)成一“小圍湖”．

圖4

圖5

情景3： 水柱從橫截面積為S的噴嘴持續(xù)以速度v0豎直向上噴出在不同高度處進(jìn)行截流阻擋,截流后,水柱在豎直方向上的速度變?yōu)?,在水平方向朝四周均勻散開(kāi)．忽略空氣阻力．已知水的密度為ρ,重力加速度大小為g．試求平面擋板受水柱沖擊的作用力隨高度如何變化．

解析:由噴嘴向上距離h高度位置,設(shè)水柱速度為v.

由流量相等得Sv0=S′v.則在距噴嘴向上高度h位置,水柱被截住,動(dòng)量的傳遞速率為

聯(lián)立以上各式,可得平面擋板所受沖擊力為

當(dāng)水流對(duì)卡通玩具沖擊力與重力達(dá)到平衡時(shí)便穩(wěn)定地懸停在空中．

本例通過(guò)構(gòu)建質(zhì)量柱體微元模型從傳遞動(dòng)量速率角度深層次地分析水流體的沖擊力，開(kāi)闊了視野,拓展了思維．

1 林志建.2016年普通高等學(xué)校招生考試全國(guó)統(tǒng)一考試·乙卷[J].金考卷特快專遞，2016(1):7.

2016-12-02)