Vasicek利率下基于隨機(jī)微分博弈的最優(yōu)再保險(xiǎn)和投資

楊 鵬，惠小健

(1.西京學(xué)院理學(xué)院，陜西 西安 710123；2.西京學(xué)院智能控制技術(shù)研發(fā)中心，陜西 西安 710123)

Vasicek利率下基于隨機(jī)微分博弈的最優(yōu)再保險(xiǎn)和投資

楊 鵬1，2，惠小健1

(1.西京學(xué)院理學(xué)院，陜西 西安 710123；2.西京學(xué)院智能控制技術(shù)研發(fā)中心，陜西 西安 710123)

研究了保險(xiǎn)公司和金融市場(chǎng)之間的零和隨機(jī)微分博弈.在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)利率滿足Vasicek隨機(jī)利率情形下，通過保險(xiǎn)公司和金融市場(chǎng)之間的博弈，尋找最優(yōu)策略使得終止時(shí)刻財(cái)富的期望效用達(dá)到最大.在冪效用函數(shù)下，運(yùn)用隨機(jī)控制理論求得了最優(yōu)策略和值函數(shù)的顯式解，解釋了所研究的結(jié)果在經(jīng)濟(jì)學(xué)上的意義，并通過數(shù)值計(jì)算分析了一些參數(shù)對(duì)最優(yōu)策略的影響.

隨機(jī)微分博弈；隨機(jī)控制；再保險(xiǎn)；投資

0 引言

再保險(xiǎn)和投資策略選擇是數(shù)理金融中一個(gè)非常重要的問題.Markowitz[1]以終止時(shí)刻財(cái)富的均值最大、方差最小為目標(biāo)，研究了投資組合策略選擇問題.其在研究中以均值代表收益，以方差代表風(fēng)險(xiǎn)，該問題被稱為均值-方差投資策略選擇問題.此后，很多學(xué)者推廣了Markowitz的研究工作.例如：文獻(xiàn)[2]討論了多階段、連續(xù)時(shí)間的均值-方差投資策略選擇問題；文獻(xiàn)[3]把均值-方差投資策略選擇問題推廣到了具有Markov調(diào)制的情形，即用Markov鏈表示隨機(jī)金融環(huán)境.

Browne[4]研究了保險(xiǎn)公司最優(yōu)投資策略選擇問題，討論了最大化終止時(shí)刻財(cái)富的期望效用.Browne運(yùn)用隨機(jī)控制理論構(gòu)造出值函數(shù)所滿足的方程，進(jìn)而通過解方程求得了最優(yōu)投資策略.近年來，也有很多學(xué)者研究Browne提出的投資策略選擇問題.如：文獻(xiàn)[5]把Browne的工作推廣到了帶跳擴(kuò)散保險(xiǎn)市場(chǎng)；文獻(xiàn)[6]將之推廣到了風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)帶跳的情形；文獻(xiàn)[7]則將之推廣到了具有交易費(fèi)用的情形.

在保險(xiǎn)市場(chǎng)上研究Markowitz的再保險(xiǎn)和投資策略選擇問題也非常有意義.通過該問題的研究，可以指導(dǎo)保險(xiǎn)公司進(jìn)行合理的再保險(xiǎn)和投資，從而使自身面臨的風(fēng)險(xiǎn)最小而收益最大.文獻(xiàn)[8]研究了很多這種問題，文獻(xiàn)[9]把這種問題推廣到了復(fù)合Poisson-Geometric風(fēng)險(xiǎn)過程，文獻(xiàn)[10]將之推廣到了金融市場(chǎng)滿足CEV模型的情形.

然而上面提到的再保險(xiǎn)和投資策略選擇問題，沒有考慮到投資者和金融市場(chǎng)之間的二者博弈.在經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中，投資者和金融市場(chǎng)之間的博弈無時(shí)不在，通過二者博弈求得最優(yōu)策略很有意義.文獻(xiàn)[11]研究了擴(kuò)散保險(xiǎn)市場(chǎng)中的博弈問題，文獻(xiàn)[12]將之推廣到了帶跳擴(kuò)散保險(xiǎn)市場(chǎng)，文獻(xiàn)[13]以Markowitz提出的均值-方差為目標(biāo)研究了博弈問題.

本文致力于研究Vasicek隨機(jī)利率下的投資者和金融市場(chǎng)之間的隨機(jī)微分博弈.由于受到政府政策、通貨膨脹等一些不確定性因素的影響，利率有時(shí)是隨機(jī)的，因此用隨機(jī)利率模型描述金融市場(chǎng)更符合實(shí)際.與其他模型相比，Vasicek模型就是一種隨機(jī)利率模型，近年有許多學(xué)者研究Vasicek模型.[14-16]

本文在上述文獻(xiàn)基礎(chǔ)上，研究了無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的利率在滿足Vasicek隨機(jī)利率的條件下，保險(xiǎn)公司和金融市場(chǎng)之間的零和隨機(jī)微分博弈.運(yùn)用隨機(jī)控制理論，求得了最優(yōu)策略和值函數(shù)的顯式解，并解釋了所研究的結(jié)果在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的意義，最后通過數(shù)值計(jì)算分析了一些參數(shù)對(duì)最優(yōu)策略的影響.本文與以往基于隨機(jī)微分博弈的最優(yōu)投資類文獻(xiàn)[11-13]相比，考慮了無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的利率滿足Vasicek隨機(jī)利率模型；與以往最優(yōu)投資類的文獻(xiàn)[4-6]相比，本文考慮了保險(xiǎn)公司和金融市場(chǎng)之間的隨機(jī)博弈.

1 數(shù)理模型

1.1 保險(xiǎn)模型

與文獻(xiàn)[17]類似，假設(shè)保險(xiǎn)公司理賠過程滿足隨機(jī)微分方程dC(t)=αdt-β1dW1(t).其中常數(shù)α>0表示單位時(shí)間平均索賠，β1>0表示索賠波動(dòng)率，W1(t)為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng).保險(xiǎn)費(fèi)通過連續(xù)利率支付為dc(t)=(1+v)αdt，其中v>0為保險(xiǎn)公司的安全負(fù)載.從而保險(xiǎn)公司的盈余過程滿足隨機(jī)微分方程

dX(t)=dc(t)-dC(t)=vαdt+β1dW1(t).

對(duì)保險(xiǎn)公司的盈余過程選取比例再保險(xiǎn)，再保險(xiǎn)水平為a(t)≤1.0≤a(t)≤1意味著公司分出保險(xiǎn)，a(t)=1時(shí)表示完全分保，a(t)=0表示分保比例為零；a(t)<0意味著公司接受新的分保，此時(shí)保險(xiǎn)公司充當(dāng)再保險(xiǎn)人的角色.設(shè)再保險(xiǎn)的安全負(fù)載為η，滿足η>v，再保險(xiǎn)的保費(fèi)按照期望值原理計(jì)算.進(jìn)行再保險(xiǎn)后，保險(xiǎn)公司的盈余過程變?yōu)?/p>

dX(t，a(t))=(v-ηa(t))αdt+(1-a(t))β1dW1(t).

1.2 金融市場(chǎng)模型

金融市場(chǎng)的金融資產(chǎn)可分為兩類：一類為無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)(現(xiàn)金、債券、銀行存款等)，另一類為風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)(股票、股票以外的證券等).無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)在t時(shí)刻的價(jià)格{B(t)|t≥0}滿足 dB(t)=r(t)B(t)dt.其中r(t)為t時(shí)刻的瞬間利率，其滿足Vasicek模型

dr(t)=[δ-αr(t)]dt+β2dW2(t).

這里δ，α與β2為正常數(shù)，W2(t)是一標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng).風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)在t時(shí)刻的價(jià)格S(t)滿足隨機(jī)微分方程dS(t)=S(t)[μdt+σdW3(t)].其中：μ，σ>0為常數(shù)，分別表示風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的平均收益率和波動(dòng)率；W3(t)是標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng).W2(t)和W3(t)的相關(guān)系數(shù)為ρ，即〈W2(t)，W3(t)〉=ρt，W1(t)和W2(t)、W3(t)相互獨(dú)立.

保險(xiǎn)公司不但可以進(jìn)行再保險(xiǎn)，還可以進(jìn)行投資.設(shè)π(t)為t時(shí)刻風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資額，則在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上投資額為X(t，u(t))-π(t).這里X(t，u(t))為進(jìn)行再保險(xiǎn)和投資后保險(xiǎn)公司的盈余過程，策略為u(t)=(a(t)，π(t)).因此進(jìn)行投資和再保險(xiǎn)后，保險(xiǎn)公司的盈余過程X(t，u(t))滿足隨機(jī)微分方程

dX(t，u)=[r(t)X(t，u)+π(t)(μ-r(t))+(v-ηa(t))α]dt+
(1-a(t))β1dW1(t)+π(t)σdW3(t).

(1)

1.3 零和隨機(jī)微分博弈

設(shè){Ft}是由布朗運(yùn)動(dòng)W1(t)，W2(t)和W3(t)生成的右連續(xù)且完備的自然流，對(duì)應(yīng)的完備概率空間為(Ω，F(xiàn)t，P)，P為概率測(cè)度.

設(shè){θ(t)|t≥0}是定義在(Ω，F(xiàn)t，P)上實(shí)值且滿足下列條件的隨機(jī)過程：

對(duì)每個(gè){θ(t)|t≥0}∈Θ，定義

則

dZθ(t)=-Zθ(t)θ(t)[dW1(t)+dW2(t)+dW3(t)]，

(2)

投資者與金融市場(chǎng)之間的零和隨機(jī)微分博弈的目標(biāo)是：投資者選擇一個(gè)策略u(píng)(·)來最大化終止時(shí)刻財(cái)富的期望效用；金融市場(chǎng)選擇一個(gè)概率測(cè)度Pθ所代表的經(jīng)濟(jì)環(huán)境θ最小化投資者終止時(shí)刻財(cái)富的期望效用.即

(3)

其中u*，θ*為最優(yōu)策略.該問題是投資者與市場(chǎng)之間的零和隨機(jī)微分博弈問題，解決該問題就要找到最優(yōu)的策略u(píng)*，θ*和相應(yīng)的值函數(shù)V(t，x).

2 最優(yōu)策略與值函數(shù)

易知下面引理成立：

引理1 設(shè)h(t)滿足常微分方程

(4)

則

(5)

引理2 設(shè)f=f(t，r)滿足偏微分方程

(6)

則

f(t，r)=A(t)eB(t)r+C(t)r2.

(7)

其中

這里

證明 方程(6)是非線性偏微分方程，直接求解比較困難.受已有文獻(xiàn)的啟發(fā)，根據(jù)邊界條件f(T，r)=1，設(shè)解的形式為f(t，r)=A(t)eB(t)r+C(t)r2，且滿足A(T)=1，B(T)=0，C(T)=0，從而

(8)

將(8)式代入(6)式，整理得

從而

(9)

(10)

(11)

首先由(9)式求得C(t).(9)式可變形為

(12)

(13)

將(13)式兩端從t到T求積分，注意C(T)=0，從而可解得C(t).

其次由(10)式求得B(t).(10)式可變形為

(14)

因?yàn)镃(t)已求出，所以(14)式為一階線性常微分方程，利用常數(shù)變易法可求得B(t).

最后通過求解(11)式得到A(t).(11)式變形為

(15)

因?yàn)锽(t)，C(t)已求出，所以(13)式為可分離變量一階常微分方程，可解得A(t).引理得證.

定理1 隨機(jī)微分博弈問題(3)的最優(yōu)投資策略為

(16)

(17)

最優(yōu)的市場(chǎng)策略為

(18)

值函數(shù)為

(19)

其中h(t)，f(t，r)分別滿足(5)式和(7)式.

(20)

因此：

最優(yōu)市場(chǎng)策略為

最優(yōu)再保險(xiǎn)策略為

(21)

最優(yōu)的投資策略為

(22)

結(jié)論得證.

注1 因?yàn)閜<1，所以從(21)式可得出：隨著金融市場(chǎng)策略θ的增大，再保險(xiǎn)策略a增大.也就是說，隨著金融市場(chǎng)變的惡劣，投資者會(huì)把更大的風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)移給再保險(xiǎn)公司.

注2 因?yàn)閜<1，所以從(22)式可得出：隨著金融市場(chǎng)策略θ的增大，投資策略π增大.也就是說，隨著金融市場(chǎng)變的惡劣，投資者不會(huì)冒風(fēng)險(xiǎn)在金融市場(chǎng)上投資.

注3 通過注1和注2的分析，可以得到結(jié)論：隨著金融市場(chǎng)的惡化，投資者主要是通過再保險(xiǎn)來規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)從而使自身財(cái)富最大化，而不是通過在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上投資使自身財(cái)富最大化.

3 算例分析

通過具體例子，分析一些參數(shù)對(duì)最優(yōu)再保險(xiǎn)策略、最優(yōu)投資策略、最優(yōu)市場(chǎng)策略的影響，并分析研究結(jié)果在經(jīng)濟(jì)上的一些意義.

例1 設(shè)α=0.02，μ=0.05，σ=0.15，ρ=0.3，x=100，t=0，T=1，r(0)=r=0.05，η=0.1，v=0.09，β1=0.03，p=-1，β2∈[0.05，0.09].把它們分別代入(16)、(17)和(18)式，得到π*、a*與θ*關(guān)于β2的依賴關(guān)系，見圖1—3.

經(jīng)濟(jì)意義分析.從圖1可以看出最優(yōu)投資策略π*關(guān)于β2遞減；從圖2可以看出最優(yōu)再保險(xiǎn)策略a*關(guān)于β2遞增；從圖3可以看出最優(yōu)市場(chǎng)策略θ*關(guān)于β2遞增.本文研究的是保險(xiǎn)公司投資者和金融市場(chǎng)之間的零和隨機(jī)微分博弈，所以β2對(duì)投資策略和市場(chǎng)策略的影響相反.當(dāng)參數(shù)β2增加時(shí)，利率期望值增加，這時(shí)投資者為了增加收益而將更多資金投資于無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，因此最優(yōu)投資策略π*關(guān)于β2遞減.此時(shí)，為了規(guī)避不確定因素β2帶來的風(fēng)險(xiǎn)，保險(xiǎn)公司會(huì)提高再保險(xiǎn)比例，所以最優(yōu)再保險(xiǎn)策略a*關(guān)于β2遞增.

例2 設(shè)β2=0.02，μ=0.05，σ=0.15，ρ=0.3，x=100，t=0，T=1，r(0)=r=0.05，η=0.1，v=0.09，β1=0.03，p=-1，α∈[0.05，0.09].把它們分別代入(16)、(17)和(18)式，得到π*、a*與θ*關(guān)于α的依賴關(guān)系，見圖4—6.

經(jīng)濟(jì)意義分析.從圖4可以看出最優(yōu)投資策略π*關(guān)于α遞增；從圖5可以看出最優(yōu)再保險(xiǎn)策略a*關(guān)于α遞增；從圖6可以看出最優(yōu)市場(chǎng)策略θ*關(guān)于α遞減.本文研究的是保險(xiǎn)公司投資者和金融市場(chǎng)之間的零和隨機(jī)微分博弈，所以α對(duì)投資策略和市場(chǎng)策略的影響相反.當(dāng)參數(shù)α增加時(shí)，利率期望值遞減，這時(shí)投資者為了增加收益而將更多資金投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，因此最優(yōu)投資策略π*關(guān)于α遞增.此時(shí)，為了規(guī)避利率期望值降低帶來的風(fēng)險(xiǎn)，保險(xiǎn)公司會(huì)提高再保險(xiǎn)比例，所以最優(yōu)再保險(xiǎn)策略a*關(guān)于α遞增.

圖1 例1中β2對(duì)最優(yōu)投資策略π*的影響

圖2 例1中β2對(duì)最優(yōu)再保險(xiǎn)策略a*的影響

圖3 例1中β2對(duì)最優(yōu)市場(chǎng)策略θ*的影響

圖4 例2中α對(duì)最優(yōu)投資策略π*的影響

圖5 例2中α對(duì)最優(yōu)再保險(xiǎn)策略a*的影響

圖6 例2中α對(duì)最優(yōu)市場(chǎng)策略θ*的影響

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(責(zé)任編輯：李亞軍)

Optimal reinsurance and investment based on stochastic differential games with Vasicek interest rate

YANG Peng1，2，XI Xiao-jian1

(1.School of Science，Xijing University，Xi’an 710123，China；2.Intelligent Control Technology Research and Development Center，Xijing University，Xi’an 710123，China)

Zero-sum stochastic differential games between insurance company and financial market are considered.The goal is to obtain optimal strategies to maximize the expected utility of the terminal wealth by the game between insurance company and financial market.Under power utility function，by using stochastic control theory，the closed-form solutions for the value function as well as the strategies is obtained.Finally，the research results are explained in the economic sense and the influence of some parameters on the optimal strategies is given through numerical calculation.

stochastic differential games；stochastic control；reinsurance；investment

1000-1832(2017)02-0034-07

10.16163/j.cnki.22-1123/n.2017.02.008

2016-01-13

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11271375)；西京學(xué)院科研基金資助項(xiàng)目(XJ160144).

楊鵬(1983—)，男，碩士，講師，主要從事數(shù)理金融和隨機(jī)微分博弈研究.

O 211.6 [學(xué)科代碼] 110·74

A