許昌瑀，董惠敏，王承剛，田志濤

（1.大連理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，大連 116024；2.大連運(yùn)明自動(dòng)化技術(shù)有限公司，大連 116000）

關(guān)節(jié)間隙對(duì)機(jī)械臂末端定位精度的影響研究

許昌瑀1，董惠敏1，王承剛2，田志濤2

（1.大連理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，大連 116024；2.大連運(yùn)明自動(dòng)化技術(shù)有限公司，大連 116000）

建立了由關(guān)節(jié)間隙引起的機(jī)械臂末端定位誤差的數(shù)學(xué)模型并且提出了一種概率的方法聯(lián)系單個(gè)關(guān)節(jié)的間隙誤差與機(jī)械臂末端定位誤差的關(guān)系，并得出末端定位誤差特性。方法中運(yùn)用了蒙特卡洛模擬，相比解析法的繁雜，蒙特卡洛模擬更為簡(jiǎn)單方便，它不僅可得出機(jī)械臂末端定位誤差的極限值，而且還能得到末端定位誤差的概率密度分布和分布的一些數(shù)值特征。學(xué)者研究關(guān)節(jié)間隙誤差時(shí)常見(jiàn)有兩種方法，確定性方法和概率論方法，通過(guò)綜合這兩種方法能更好地考慮影響關(guān)節(jié)間隙誤差方向的主要因素和一些不確定性因素。 最后數(shù)值舉例闡述了這一思路。這些工作可為機(jī)器人設(shè)計(jì)和工作位點(diǎn)規(guī)劃提供一個(gè)參考并能有效的平衡精度需求和經(jīng)濟(jì)效益。

關(guān)節(jié)間隙；蒙特卡洛模擬；工業(yè)機(jī)器人；末端定位精度

0 引言

隨著機(jī)器人在工業(yè)自動(dòng)化領(lǐng)域的快速發(fā)展，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)機(jī)器人的精度和特性研究越來(lái)越重視。其中，定位精度是機(jī)器人一項(xiàng)很重要的特性。影響定位精度的因素很多，其中很主要的一個(gè)因素就是關(guān)節(jié)間隙。對(duì)于絕大多數(shù)機(jī)構(gòu)，關(guān)節(jié)間隙是不可避免的，比如一些加工誤差，磨損，裝配誤差以及軸承間固有間隙都導(dǎo)致關(guān)節(jié)間隙的出現(xiàn)。不像由制造加工或者是機(jī)械臂變形引起的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)誤差可以通過(guò)標(biāo)定之后補(bǔ)償?shù)窒?，低重?fù)性的關(guān)節(jié)間隙誤差引起的定位誤差具有隨機(jī)性很難補(bǔ)償?shù)窒?。?duì)于關(guān)節(jié)間隙，一些學(xué)者研究其產(chǎn)生的動(dòng)力學(xué)影響比如由關(guān)節(jié)間隙引起的接觸力，間隙間碰撞和振動(dòng)等等[5,8]。還有一些學(xué)者關(guān)注其產(chǎn)生的運(yùn)動(dòng)學(xué)影響包括機(jī)構(gòu)精度的評(píng)估，機(jī)械臂的重復(fù)定位精度以及機(jī)械臂末端誤差的數(shù)學(xué)模型[2～4,6,7,9～11]。現(xiàn)在主流有兩種方法來(lái)研究關(guān)節(jié)間隙引起的運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題：確定性方法和離散性方法。確定性方法主要是通過(guò)假設(shè)的接觸力模型來(lái)確定關(guān)節(jié)間隙內(nèi)接觸點(diǎn)從而確定關(guān)節(jié)間隙誤差大小和方向而離散的方法主要是從概率論的方法來(lái)處理這個(gè)不確定因素問(wèn)題。

研究各個(gè)關(guān)節(jié)間隙誤差在傳動(dòng)鏈下累積到末端的定位誤差時(shí)，Innocenti, C.[2]提出了一種基于虛功而得到各關(guān)節(jié)間隙誤差和產(chǎn)生的末端定位誤差的關(guān)系。之后Stefano,V.和Vincenzo, P. C.[9]進(jìn)一步完善了這種方法。有些學(xué)者則運(yùn)用幾何的方法來(lái)得到末端的極限定位誤差比如Ting, K. L.和Tsai, M. J.[10]做的工作。而對(duì)于一些結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單的特定的機(jī)器人機(jī)構(gòu)，一些學(xué)者直接應(yīng)用坐標(biāo)變換的方法來(lái)得到末端的定位誤差模型（由關(guān)節(jié)間隙引起的誤差），比如Jawale,H.P.[3]用這種方法分析研究了一個(gè)五連桿平面機(jī)械臂。Nicolas, B.[6]提出了一個(gè)系統(tǒng)的應(yīng)用坐標(biāo)變換來(lái)研究機(jī)械臂末端定位誤差的方法。

在考慮關(guān)節(jié)間隙引起的運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題時(shí)多數(shù)學(xué)者研究機(jī)械臂末端產(chǎn)生的極限誤差用此來(lái)保證允許的最大定位精度[6,10]。也有一些學(xué)者研究在工作空間內(nèi)的合理的軌跡規(guī)劃，即當(dāng)存在關(guān)節(jié)間隙時(shí)怎樣合理規(guī)劃工作軌跡能降低和最小化末端的偏差[4,7]。極值的研究確實(shí)很重要，但事實(shí)上定位誤差到達(dá)極值附近的概率非常小。應(yīng)用概率的方法不僅能得到誤差的極值還能得到定位誤差的概率分布以及一些數(shù)值特征，為更好的達(dá)到設(shè)計(jì)時(shí)機(jī)械臂的精度需求和經(jīng)濟(jì)效益的平衡提供參考。

1 定位誤差模型的建立

3-DOF串聯(lián)型工業(yè)機(jī)械臂廣泛應(yīng)用在多個(gè)工業(yè)領(lǐng)域，如焊接，噴涂，搬運(yùn)等，常見(jiàn)結(jié)構(gòu)如圖1所示，相應(yīng)機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖2所示。定義坐標(biāo)系B0為基底坐標(biāo)系，機(jī)械臂各臂桿坐標(biāo)系為Bi，i=1，2，3，Oj為坐標(biāo)系Bj（j=0，1，2，3）原點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)位于各關(guān)節(jié)軸線上，臂桿長(zhǎng)度為li，臂桿1,2,3位于同一平面α。zi軸沿著R為關(guān)節(jié)的軸線方向，x1軸在平面α內(nèi)并垂直于z1軸，x2，x3軸沿著臂桿2,3方向。定義h為O0到O1的高度，θc定義為x1軸和臂桿l1之間的角度，為固定常量。θi（i=0,1,2）微關(guān)節(jié)i的旋轉(zhuǎn)角。θ1，θ2為軸xi+1到臂桿li的角（逆時(shí)針為正）。

圖1 3-DOF串聯(lián)式機(jī)器人

圖2 機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)圖

上述給出了沒(méi)有關(guān)節(jié)間隙的理想運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)圖。事實(shí)上，關(guān)節(jié)間隙是不可避免的，考慮關(guān)節(jié)間隙時(shí)，暫且只考慮轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)存在的間隙尺寸誤差忽略間隙之間的形狀誤差并假設(shè)軸孔之間連續(xù)接觸，當(dāng)只研究機(jī)械臂末端的定位誤差而不考慮它的姿態(tài)誤差時(shí)（工業(yè)機(jī)器人姿態(tài)一般由末端機(jī)械手的三自由度保證），可假設(shè)軸與孔的軸線平行。由此關(guān)節(jié)間隙誤差ε可以簡(jiǎn)化為一個(gè)平面向量，其大小是一個(gè)常數(shù)ε=R-r（軸孔半徑差），方向θε可如圖3定義。機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖4所示。

圖3 關(guān)節(jié)間隙誤差向量

圖4 機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖（存在關(guān)節(jié)間隙）

用εi和θεi分別表示關(guān)節(jié)i的間隙誤差大→小和方向，其中θεi定義為坐標(biāo)軸xi指向間隙誤差向量i的角（逆時(shí)針為正），i=0,1,2?？紤]機(jī)械臂末端點(diǎn)Q，應(yīng)用坐標(biāo)變換由圖二得 ，B0PQ和B3PQ分別為Q點(diǎn)在基底坐標(biāo)B0和臂桿坐標(biāo)B3下的坐標(biāo)表示，其中是從B到B的坐標(biāo)變換矩陣，其中ii-1旋轉(zhuǎn)（θx,i-1,i，θy,i-1,i，θz,i-1,i），平移（xO,i-1,i，yO,i-1,i，zO,i-1,i），因此機(jī)械臂末端Q點(diǎn)的定位誤差為：

變換矩陣分別為：

代入式(1)可得機(jī)械臂末端定位誤差的數(shù)學(xué)模型：

對(duì)于給定的工作位點(diǎn)，θc，εi和θi給定。因此，模型變量只有θεi。由式(2)可解析求出末端x,y,z方向上定位誤差的極大值。

若用空間距離d來(lái)評(píng)估定位偏差，即定義d2=εx2+εy2+εz2。有：

上式非常復(fù)雜很難通過(guò)解析方法來(lái)得到它的最大最小值。并且解析法無(wú)法求出誤差的數(shù)值特征，一種通過(guò)概率的隨機(jī)模擬方法可用來(lái)得到它的最值及分布。

2 概率方法得到定位誤差分布

當(dāng)工作位點(diǎn)確定時(shí)，機(jī)械臂末端定位誤差的x-y-z方向最大值可由式(3)分析得到，但事實(shí)上，誤差到達(dá)最大值附近區(qū)域的概率很小。因此研究機(jī)械臂末端定位誤差的分布能更全面的反映隨機(jī)誤差特性。

由于誤差模型函數(shù)很復(fù)雜，即使知道單個(gè)關(guān)節(jié)的間隙誤差特性，也很難通過(guò)解析方法得到末端定位誤差的數(shù)值特征和分布。運(yùn)用蒙特卡洛模擬的概率抽樣方法可解決這一問(wèn)題。蒙特卡洛是一種建立在大數(shù)定理和中心極限定理的數(shù)學(xué)原理上的一種隨機(jī)模擬方法?；舅枷肴缦拢瑢?duì)于一個(gè)函數(shù)Y=f（X1，X2，…，Xn），已知自變量X1，X2，…，Xn的概率分布，首先根據(jù)X1，X2，…，Xn的概率分布隨機(jī)抽樣出一組值x1，x2，…，xn。代入到函數(shù)式求得變量Y的一個(gè)值yi=f（x1i，x2i，…，xni)。大量重復(fù)這一過(guò)程（i=1，2，…，m）即得到變量Y的一組樣本y1，y2，…，ym。當(dāng)重復(fù)抽樣次數(shù)m足夠大，模擬得到的變量Y的樣本中的數(shù)值信息就能非常精確的代表實(shí)際變量Y的分布及數(shù)值特征。

由節(jié)2可知，變量εx, εy, εz, d是θεi的函數(shù)（參數(shù)θc, θi, εi為常量），i=0，1，2。以下闡述應(yīng)用蒙特卡洛模擬的方法來(lái)分析機(jī)械臂末端定位誤差的流程：

1）給定工作點(diǎn)，代入常量參數(shù)θc，εi和θi的參數(shù)值到式(2)中的誤差模型，再根據(jù)需求給定合適的抽樣次數(shù)m，通常m=106能給出95%以上精確度，隨著抽樣次數(shù)m的增多，蒙特卡洛模擬結(jié)果更加精確。

2）確定輸入變量θεi的分布類(lèi)型，簡(jiǎn)單的假設(shè)是，關(guān)節(jié)間隙的誤差方向角θεi可能服從0-2π的均勻分布或者其他分布如正態(tài)分布等。再根據(jù)每個(gè)輸入變量的概率分布隨機(jī)抽取m組樣本值θεi,r,（i=0，1，2；r=1，2，…，m）。

3）依據(jù)模擬抽取的輸入變量的樣本值（θε0,r, θε1,r, θε2,r）和節(jié)2中的函數(shù)關(guān)系計(jì)算出變量εx，εy，εz，d的m組樣本值。

4）依據(jù)輸出變量的樣本值得出機(jī)械臂末端定位誤差的分布以及數(shù)值特征。

3 分析間隙誤差方向概率分布的聯(lián)合方法

影響關(guān)節(jié)間隙誤差方向因素很多，甚至有些因素的本身就不確定。因此完全確定性的分析很復(fù)雜也很難得到，而完全概率的方法往往忽略了一些主要因素的影響，比如載荷，重力等臂桿受到的總外力。結(jié)合確定性和概率的方法在這一節(jié)被引入。首先結(jié)合機(jī)械臂桿受到的外力與關(guān)節(jié)間隙作用力（正壓力忽略不確定因素）的力平衡得到關(guān)節(jié)間隙軸與孔的接觸點(diǎn)，然后在這個(gè)間隙誤差方向（即θεi）上建立一個(gè)正態(tài)分布來(lái)表示其他微小不確定性的因素?cái)_動(dòng)，如轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)間隙內(nèi)產(chǎn)生的摩擦力，碰撞，彈性變形等。

3.1 力平衡得到關(guān)節(jié)間隙內(nèi)軸與孔的理想接觸點(diǎn)

考慮機(jī)械臂所受外力與軸孔之間作用力的力平衡。暫時(shí)忽略軸孔之間一些細(xì)微不確定因素，如彈性變形，碰撞和摩擦力等，只考慮關(guān)節(jié)間隙內(nèi)的正壓力FN。因此正壓力FN可從力平衡方程中求得。

圖5 關(guān)節(jié)處的受力平衡

如圖5所示，可從力平衡關(guān)系得到：

不考慮軸孔間作用的其他因素時(shí)，F(xiàn)N方向通過(guò)接觸點(diǎn)以及軸孔的圓心，即FN方向?yàn)殛P(guān)節(jié)間隙誤差方向的反方向。由于臂桿所受的外合力產(chǎn)生的外力矩將被電機(jī)和傳動(dòng)機(jī)構(gòu)產(chǎn)生的扭矩平衡，因此事實(shí)上只需考慮力的平衡即可得到正壓力方向。從而得出間隙誤差方向，得到的間隙誤差方向角記為θb。

以上忽略了軸孔間微小摩擦力及一些其他微小不確定量，如碰撞，振動(dòng)，彈性變形等。這些微小因素會(huì)在上述得到的接觸點(diǎn)附近產(chǎn)生一些擾動(dòng)。首先，通過(guò)上述方法得到接觸點(diǎn)，然后可用一個(gè)誤差分布來(lái)引入其他微小擾動(dòng)，使分布的平均值為θb，標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)表示引入的微小擾動(dòng)。

3.2 正態(tài)分布引入擾動(dòng)

影響間隙誤差方向的微小隨機(jī)因素很多，如摩擦力，瞬時(shí)碰撞，彈性變形，潤(rùn)滑油膜等等。根據(jù)概率論中的中心極限定理，當(dāng)影響一個(gè)變量的隨機(jī)因素很多時(shí)，該變量的分布近似于一個(gè)正態(tài)分布，因此可依據(jù)上節(jié)得到的接觸點(diǎn)建立一個(gè)正態(tài)分布來(lái)擬合這些微小因素。記間隙誤差方向分布為θε～N（θb，σ2），θb為上節(jié)由力平衡得到的間隙誤差方向。σ為正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差。σ表示微小因素的擾動(dòng)。具體值可由關(guān)節(jié)精密等級(jí)和具體工況經(jīng)驗(yàn)性得出。

4 具體數(shù)值計(jì)算

考慮如圖1所示的三自由度機(jī)械臂機(jī)構(gòu)為對(duì)象來(lái)闡述上述方法（蒙特卡洛模擬）來(lái)研究機(jī)械臂關(guān)節(jié)間隙對(duì)末端定位精度的影響。設(shè)定常量參數(shù)值ε0=0.5，ε1=0.4，ε2=0.3，θc=π/4，選定一個(gè)工作位置，θ0=π/5，θ1=-π/6，θ2=-π/4。選擇抽樣次數(shù)m為一般值106。以下先假設(shè)關(guān)節(jié)間隙誤差方向θεi服從均勻分布（即完全隨機(jī)）來(lái)舉例闡述上述的概率方法。再代入第3節(jié)所闡述的綜合思路中的正態(tài)分布。

1）假設(shè)關(guān)節(jié)間隙誤差θε0，θε1，θε2為均勻分布

將θε0，θε1，θε2為均勻分布代入節(jié)3的流程可得末端定位誤差εx，εy，εz和d的概率密度函數(shù)，以下概率密度函數(shù)已由“核估計(jì)”法擬合光滑。

一些數(shù)值特征可從蒙特卡洛模擬中得出。x方向的最大定位誤差|εx|max=1.066，與用解析法求得的|εx|max=cosθ0（ε1+ε2）+ ε0=1.066一致，驗(yàn)證了蒙特卡洛模擬的精確性。同時(shí)還可得出解析法無(wú)法求出的數(shù)值特征，如標(biāo)準(zhǔn)差σx=0.257，誤差分布的上95%分位點(diǎn)為0.861，這也意味著在95%的可信度下，x方向的定位誤差的范圍為0～0.861而不是0～1.066。由此能更好的評(píng)價(jià)末端定位誤差值。同樣可得y方向，z方向和空間距離d的數(shù)值特征。關(guān)節(jié)間隙誤差方向角若服從均勻分布，由圖6(c)可看出隨著θ0，θ1的變動(dòng)，空間距離d的數(shù)值特征保持不變，即工作位置對(duì)末端定位誤差的空間距離沒(méi)有影響。

圖6 概率密度函數(shù)圖

2）代入上節(jié)得到的正態(tài)分布

為了闡述方便，只考慮作用在力臂上的兩個(gè)主要的力，重力和運(yùn)動(dòng)的離心力。如圖1、圖2所示機(jī)構(gòu)，機(jī)械臂常量參數(shù)設(shè)定不變，每個(gè)關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度分別為ω0=0.5rad/s，ω1=4rad/s，ω2=6rad/s。臂桿2，3的質(zhì)心到1和2關(guān)節(jié)的孔軸線距離分別為r2=0.3m，r3=0.2m。臂桿2和3質(zhì)量分別為m2=15kg，m3=10kg。當(dāng)對(duì)關(guān)節(jié)0運(yùn)用力平衡來(lái)得到關(guān)節(jié)間隙誤差角θb時(shí)，重力是一個(gè)向下的力，與關(guān)節(jié)軸線平行，在不考慮姿態(tài)誤差時(shí)，對(duì)關(guān)節(jié)間隙誤差方向沒(méi)有影響，因此θε0=θ0=π/5（可由離心力方向得出）。給定所有關(guān)節(jié)的擾動(dòng)項(xiàng)σ=3°?。

關(guān)節(jié)1和2，離心力Fcentri=mω2r和重力G=mg。由力平衡計(jì)算間隙誤差方向角可得到θε1=-63.312?°，θε2=-80.048?°（詳細(xì)計(jì)算已省略）。因此各關(guān)節(jié)間隙誤差方向分布為：

代入第2節(jié)流程，運(yùn)用蒙特卡洛模擬得到末端誤差的概率密度分布如圖7所示。

圖7 末端誤差的概率密度分布圖

顯然，這種綜合思路可以得到的末端定位誤差分布范圍更狹窄，意味著可估計(jì)出更精確的定位誤差值。相比完全隨機(jī)的均勻分布時(shí)工作位點(diǎn)對(duì)末端定位精度沒(méi)有影響，這種綜合思路，參數(shù)常量θ1，θ2的值的變動(dòng)會(huì)對(duì)末端的定位誤差產(chǎn)生很大的影響，意味著通過(guò)合理規(guī)劃工作位點(diǎn)可降低由關(guān)節(jié)間隙引起的末端定位誤差。如圖8(c)等值線圖所示，當(dāng)合理選擇θ1和θ2的值時(shí)，末端定位誤差d的平均值可從1降到0.4。通過(guò)這種規(guī)劃可以很好地提高機(jī)械臂的重復(fù)定位精度而不需要更好的設(shè)備投入，如精確等級(jí)更高的關(guān)節(jié)。

5 結(jié)論

首先建立了存在關(guān)節(jié)間隙時(shí)一個(gè)三自由度機(jī)械臂末端定位精度的數(shù)學(xué)模型，然后運(yùn)用蒙特卡洛的方法得到機(jī)械臂末端定位精度的分布和一些數(shù)值特征。運(yùn)用這種方法可以得到更加全面的分布特征如誤差最大值、平均值、方差和誤差的上95%分位點(diǎn)等。一種綜合的思路更好的考慮了影響關(guān)節(jié)間隙誤差方向的主要因素和細(xì)小擾動(dòng)因素，以一個(gè)分布來(lái)擬合表示那些不確定因素的擾動(dòng)。這種方法可得出一個(gè)范圍更加狹窄更加精確的末端定位誤差分布并可通過(guò)合理規(guī)劃工作空間以很好地提高機(jī)械臂的重復(fù)定位精度而不需要投入精確等級(jí)更高的關(guān)節(jié)。

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Study on kinematic positioning error of manipulator caused by joint clearance

XU Chang-yu1, DONG Hui-min1, WANG Cheng-gang2, TIAN Zhi-tao2

TP242.2

：A

：1009-0134(2017)05-0044-05

2017-03-10

遼寧省科技創(chuàng)新重大專項(xiàng)（2015106007）；國(guó)家科技重大專項(xiàng)（2013ZX04003041-6）

許昌瑀（1994 -），男，湖南衡陽(yáng)人，本科，研究方向?yàn)闄C(jī)器人。