廣東省廣州市第六中學(510300) 陳霞

利用柯西不等式的變式證明競賽不等式

廣東省廣州市第六中學(510300) 陳霞

本文通過實例探討了如何基于柯西不等式的變式,解決中學競賽中的不等式的證明問題.

柯西不等式 有理分式

中學數(shù)學競賽中經(jīng)常出現(xiàn)文字不等式的證明問題,而最常用的方法莫過于均值不等式了.文 [1]作者通過具體實例,說明了如何通過湊配技巧運用柯西不等式證明有理分式不等式.文中所呈現(xiàn)的湊配技巧可謂精彩絕倫,令人拍案叫絕.這是數(shù)學的一種美學.雖然如此,這些湊配的技巧卻是不太容易掌握和運用.數(shù)學的另一種美在于抽象和統(tǒng)一.有沒有一種較為統(tǒng)一的、易于掌握的方法呢?這就是柯西不等式的變式.下面我們通過具體實例加以說明.首先我們回顧一下柯西不等式的一般變式及兩種特殊情形.

定理設(shè)m≥ 2,則對任意xi,ai∈(0,+∞),i= 1,2,···,n,總有

注當m=2時,將(1)式中的xi和ai分別用xiyi和替換后所得到的不等式便為柯西不等式,其中yi＞0,i=1,2,···,n

下述問題的結(jié)論是(2)式的直接推論.

例1(第 19屆北歐競賽題)設(shè)a,b,c為正數(shù),求證:

例2(2000年加拿大奧林匹克試題)設(shè)a,b,c為正數(shù),求證:

證明由 (3)式及均值不等式ab+bc+ca≤a2+b2+c2,得

例3設(shè)a,b,c為正數(shù),求證

例4(文 [1]例 8,即 2009年清華大學自主招生試題)設(shè)x,y∈R+,x+y=1,求證:對任意正整數(shù)n,有

證明由 (1)式,得

證明由 (1)式,得

最后,我們來證明文 [2]中花了較長篇幅證明的一個結(jié)論,即該文中的推廣2.

以上例子表明利用柯西不等式的變式來證明有理分式不等式是相對容易掌握的,因為它不需要高超的湊配技巧.當然,這種方法也有其局限性,試圖用它解決所有問題是不現(xiàn)實的,許多問題需將它與基本不等式結(jié)合才能發(fā)揮其最大效用.

[1]王淼生.運用均值不等式的靈魂在于湊配[J].中學數(shù)學教學參考, 2013(6):57-58.

[2]李懷軍,陳百華.一次“巧合”的證明與推廣[J].中學數(shù)學教學參考, 2013(6):48-50.