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      借助函數(shù)圖像討論含參數(shù)方程解的情況

      2017-06-20 00:02:38楊姝宇
      關(guān)鍵詞:方程解交點(diǎn)拋物線

      楊姝宇

      我們?cè)诮庥嘘P(guān)含參數(shù)的方程時(shí),經(jīng)常遇到這樣一類(lèi)問(wèn)題,某參數(shù)屬于任意實(shí)數(shù),討論關(guān)于x的方程(其中含有此參數(shù))的解的情況.解這類(lèi)習(xí)題時(shí),若單純地通過(guò)解方程來(lái)考慮,有時(shí)就要遇到一些比較復(fù)雜的方程,如,無(wú)理方程等等.這樣就會(huì)帶來(lái)比較煩瑣的計(jì)算.這里我想通過(guò)幾道例題介紹一種方法,借助于函數(shù)的圖像,根據(jù)函數(shù)的圖像和性質(zhì),來(lái)討論含參數(shù)方程解的情況.

      例1 已知a∈R,討論關(guān)于x的方程2x+1=x+a的解的情況.

      解 令y1=2x+1,y2=x+a,分別作出圖像.

      y1=2x+1的圖像是拋物線y2=2x+1(y≥0),它與x軸交于A-12,0,y2=x+a的圖像是斜率為1的平行直線系如圖示.

      當(dāng)直線y=x+a過(guò)點(diǎn)A-12,0,a=12,它與拋物線y2=2x+1(y≥0)有2個(gè)交點(diǎn),隨著a的減少,直線向下平移,兩圖像只有1個(gè)交點(diǎn),即a<-12時(shí),有1個(gè)交點(diǎn).

      隨著a的增加,直線向上平移,直至它與拋物線相切只有1個(gè)交點(diǎn)B之前,兩圖像有2個(gè)交點(diǎn).

      直線與拋物線(一部分)只有1個(gè)交點(diǎn)的條件是二次方程(x+a)2=2x+1有2個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,即Δ=(2a-2)2-4(a-1)=0,得a=1,

      ∴當(dāng)12≤a≤1時(shí),有2個(gè)交點(diǎn),當(dāng) a=1時(shí),有1個(gè)交點(diǎn).

      隨著a的增加,直線再向上平衡,與拋物線無(wú)交點(diǎn),則a>1,無(wú)交點(diǎn).

      這樣,得出結(jié)論:a<12時(shí),原方程有1個(gè)解;12≤a≤1時(shí),原方程有2個(gè)解;a=1時(shí),原方程有1個(gè)解;a<1時(shí),原方程無(wú)解.

      例2 已知a∈R,討論方程log2x+1=2log2(x-a)的解的情況.

      解 x滿足條件x>0,x-a>0,

      即x>0,x>a.

      在此條件下,原方程可化為lg22x=log2(x-a)2.

      即2x=(x-a)2.

      令y1=2x,y2=(x-a)2.

      ① 直線y=2x和拋物線y=(x-a)2只有1個(gè)交點(diǎn)(即相切)條件是二次方程(x-a)2=2x有2個(gè)相等的實(shí)根.即Δ=(2a+2)2-4a2=0,8a+4=0,a=-12.

      ∴a=-12時(shí),有1個(gè)交點(diǎn),滿足x>0,x>-12, 即x>0.

      ② 拋物線向左移,當(dāng)a<-12時(shí),直線和拋物線無(wú)交點(diǎn).

      ③ 拋物線向右移,(?。?120.

      (ⅱ)a=0時(shí),直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)(0,0),(2,4).

      又∵x>0,∴有1個(gè)交點(diǎn).

      (ⅲ)a>0時(shí),x>a,有1個(gè)交點(diǎn).

      綜上,得出結(jié)論:a<-12時(shí),原方程無(wú)解;a=-12時(shí),原方程有1個(gè)解;-12

      例3 已知k∈R,討論關(guān)于x的方程|x2-1|-x-k=0的解的情況.

      解 原方程可化為|x2-1|=x+k.

      令C1:y1=|x2-1|;C2:y2=x+k.

      作出函數(shù)y1=|x-1|和y2=x+k的圖像,考慮交點(diǎn)即可以得出結(jié)論.

      ① k<-1時(shí),C1與C2無(wú)交點(diǎn),原方程無(wú)解.

      ② k=-1時(shí),C1與C2有1個(gè)交點(diǎn),原方程有1個(gè)解.

      ③ -1

      ④ k=1時(shí),C1與C2有3個(gè)交點(diǎn),原方程有3個(gè)解.

      ⑤ 相切時(shí),-x2+1=x+k,x2+x+k-1=0,Δ=1-4(k-1)=0,k=54時(shí),C1與C2有3個(gè)交點(diǎn),原程有3個(gè)解.

      ⑥ 1

      ⑦ k>54時(shí),C1與C2有2個(gè)交點(diǎn),原程有2個(gè)解.

      例4 已知曲線C:y=|x2-8x+16+λ|(λ為常數(shù)),直線l:y=2x-4,由λ的取值范圍確定曲線C與直線l的交點(diǎn)個(gè)數(shù).

      請(qǐng)讀者自己作出圖像并討論交點(diǎn)個(gè)數(shù).

      從上面幾例題可以看出,如果我們遇到有關(guān)討論含參數(shù)方程解的個(gè)數(shù)問(wèn)題,可以借助于函數(shù)圖像,找到一條曲線和一條動(dòng)曲線,通過(guò)動(dòng)曲線的移動(dòng),尋找參數(shù)的變化范圍,確定兩曲線交點(diǎn)的個(gè)數(shù),從而達(dá)到討論清楚方程解的個(gè)數(shù)的目的.這樣,就可簡(jiǎn)潔明了地解決問(wèn)題.

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