借助函數(shù)圖像討論含參數(shù)方程解的情況

楊姝宇

我們?cè)诮庥嘘P(guān)含參數(shù)的方程時(shí)，經(jīng)常遇到這樣一類(lèi)問(wèn)題，某參數(shù)屬于任意實(shí)數(shù)，討論關(guān)于x的方程（其中含有此參數(shù)）的解的情況.解這類(lèi)習(xí)題時(shí)，若單純地通過(guò)解方程來(lái)考慮，有時(shí)就要遇到一些比較復(fù)雜的方程，如，無(wú)理方程等等.這樣就會(huì)帶來(lái)比較煩瑣的計(jì)算.這里我想通過(guò)幾道例題介紹一種方法，借助于函數(shù)的圖像，根據(jù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)，來(lái)討論含參數(shù)方程解的情況.

例1 已知a∈R，討論關(guān)于x的方程2x+1=x+a的解的情況.

解 令y1=2x+1，y2=x+a，分別作出圖像.

y1=2x+1的圖像是拋物線y2=2x+1（y≥0），它與x軸交于A-12，0，y2=x+a的圖像是斜率為1的平行直線系如圖示.

當(dāng)直線y=x+a過(guò)點(diǎn)A-12，0，a=12，它與拋物線y2=2x+1（y≥0）有2個(gè)交點(diǎn)，隨著a的減少，直線向下平移，兩圖像只有1個(gè)交點(diǎn)，即a<-12時(shí)，有1個(gè)交點(diǎn).

隨著a的增加，直線向上平移，直至它與拋物線相切只有1個(gè)交點(diǎn)B之前，兩圖像有2個(gè)交點(diǎn).

直線與拋物線（一部分）只有1個(gè)交點(diǎn)的條件是二次方程（x+a）2=2x+1有2個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，即Δ=（2a-2）2-4（a-1）=0，得a=1，

∴當(dāng)12≤a≤1時(shí)，有2個(gè)交點(diǎn)，當(dāng) a=1時(shí)，有1個(gè)交點(diǎn).

隨著a的增加，直線再向上平衡，與拋物線無(wú)交點(diǎn)，則a>1，無(wú)交點(diǎn).

這樣，得出結(jié)論：a<12時(shí)，原方程有1個(gè)解；12≤a≤1時(shí)，原方程有2個(gè)解；a=1時(shí)，原方程有1個(gè)解；a<1時(shí)，原方程無(wú)解.

例2 已知a∈R，討論方程log2x+1=2log2（x-a）的解的情況.

解 x滿足條件x>0，x-a>0，

即x>0，x>a.

在此條件下，原方程可化為lg22x=log2（x-a）2.

即2x=（x-a）2.

令y1=2x，y2=（x-a）2.

① 直線y=2x和拋物線y=（x-a）2只有1個(gè)交點(diǎn)（即相切）條件是二次方程（x-a）2=2x有2個(gè)相等的實(shí)根.即Δ=（2a+2）2-4a2=0，8a+4=0，a=-12.

∴a=-12時(shí)，有1個(gè)交點(diǎn)，滿足x>0，x>-12， 即x>0.

② 拋物線向左移，當(dāng)a<-12時(shí)，直線和拋物線無(wú)交點(diǎn).

③ 拋物線向右移，（?。?120.

（ⅱ）a=0時(shí)，直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)（0，0），（2，4）.

又∵x>0，∴有1個(gè)交點(diǎn).

（ⅲ）a>0時(shí)，x>a，有1個(gè)交點(diǎn).

綜上，得出結(jié)論：a<-12時(shí)，原方程無(wú)解；a=-12時(shí)，原方程有1個(gè)解；-12

例3 已知k∈R，討論關(guān)于x的方程|x2-1|-x-k=0的解的情況.

解 原方程可化為|x2-1|=x+k.

令C1：y1=|x2-1|；C2：y2=x+k.

作出函數(shù)y1=|x-1|和y2=x+k的圖像，考慮交點(diǎn)即可以得出結(jié)論.

① k<-1時(shí)，C1與C2無(wú)交點(diǎn)，原方程無(wú)解.

② k=-1時(shí)，C1與C2有1個(gè)交點(diǎn)，原方程有1個(gè)解.

③ -1

④ k=1時(shí)，C1與C2有3個(gè)交點(diǎn)，原方程有3個(gè)解.

⑤ 相切時(shí)，-x2+1=x+k，x2+x+k-1=0，Δ=1-4（k-1）=0，k=54時(shí)，C1與C2有3個(gè)交點(diǎn)，原程有3個(gè)解.

⑥ 1

⑦ k>54時(shí)，C1與C2有2個(gè)交點(diǎn)，原程有2個(gè)解.

例4 已知曲線C：y=|x2-8x+16+λ|（λ為常數(shù)），直線l：y=2x-4，由λ的取值范圍確定曲線C與直線l的交點(diǎn)個(gè)數(shù).

請(qǐng)讀者自己作出圖像并討論交點(diǎn)個(gè)數(shù).

從上面幾例題可以看出，如果我們遇到有關(guān)討論含參數(shù)方程解的個(gè)數(shù)問(wèn)題，可以借助于函數(shù)圖像，找到一條曲線和一條動(dòng)曲線，通過(guò)動(dòng)曲線的移動(dòng)，尋找參數(shù)的變化范圍，確定兩曲線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，從而達(dá)到討論清楚方程解的個(gè)數(shù)的目的.這樣，就可簡(jiǎn)潔明了地解決問(wèn)題.