☉江蘇泰州市孔橋初級(jí)中學(xué) 嚴(yán)亞琴

摭談一道平面幾何題的解法探究與啟示

☉江蘇泰州市孔橋初級(jí)中學(xué) 嚴(yán)亞琴

平面幾何是初中數(shù)學(xué)課程教學(xué)的重要內(nèi)容之一，幾何圖形翻折問(wèn)題是幾何學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn).由于這類(lèi)問(wèn)題要求學(xué)生具有一定的綜合分析能力，因而受到命題者的青睞.筆者在數(shù)學(xué)教學(xué)中，曾經(jīng)遇見(jiàn)一道典型的圖形翻折問(wèn)題，學(xué)生獨(dú)立處理的正確率很低.本文對(duì)此題進(jìn)行深入思考與分析，呈現(xiàn)三種解題方法的探究過(guò)程，希望能給讀者帶來(lái)一定的參考價(jià)值.

一、案例呈現(xiàn)與分析

案例：在△ABC中，∠A=θ，AB=k，P為AC的中點(diǎn)，沿著直線BP將△ABP進(jìn)行翻折，A點(diǎn)變?yōu)锳′，滿足∠A′CB=θ，則BC=______.

分析：本題主要考查圖形翻折問(wèn)題，題設(shè)內(nèi)容言簡(jiǎn)意賅，對(duì)學(xué)生的解題而言存在一定的難度，主要體現(xiàn)在：題目設(shè)計(jì)圖形翻折問(wèn)題但是沒(méi)有提供現(xiàn)成的幾何圖形，要求學(xué)生根據(jù)題設(shè)信息準(zhǔn)確作出圖形；借助于題設(shè)信息分析問(wèn)題時(shí)，需要添加合理的輔助線；需要觀察與分析基本幾何圖形組合與分離的思維能力.在此，筆者對(duì)解題思路與方法進(jìn)行探究，展示三種具體方法的探究過(guò)程，供參考.

二、解法探究與啟示

解法探究1——“四點(diǎn)共圓”盡顯奇妙.

根據(jù)題意，構(gòu)建圖形（如圖1），連接A′C、AA′、A′B，由于翻折過(guò)程中存在對(duì)稱(chēng)性特征，所以PA′=PA.

在△AA′C中，PC=PA=PA′，則△AA′C為直角三角形

圖1

由于∠PAB=∠PA′B=θ，則∠A′CB=∠ACB+∠PCA′.又∠PA′C=∠PCA′，則∠AA′B=∠ACB，則A′、C、B、A四點(diǎn)共圓.

在Rt△ABC中，根據(jù)三角關(guān)系可得：BC=AB·tanθ= ktanθ.

啟示：本題借助于“四點(diǎn)共圓”的數(shù)學(xué)規(guī)律進(jìn)行解題，解題過(guò)程簡(jiǎn)潔、利落，解法可謂“精妙”.多數(shù)學(xué)生難以真正理解這種解法，對(duì)靈活運(yùn)用“四點(diǎn)共圓”處理實(shí)際問(wèn)題更是渺茫，主要原因是中考數(shù)學(xué)考試說(shuō)明中沒(méi)有明確要求學(xué)生必須掌握“四點(diǎn)共圓”的數(shù)學(xué)知識(shí)與規(guī)律.作為數(shù)學(xué)教師，在完成圓的基本知識(shí)教學(xué)后，應(yīng)該適當(dāng)補(bǔ)充“四點(diǎn)共圓”的判斷與性質(zhì)，在學(xué)生的能力范圍內(nèi)，讓學(xué)生多掌握一種解決問(wèn)題的途徑與手段.

解法探究2——“補(bǔ)全”圖形，活用相似.

根據(jù)題意，構(gòu)建圖形（如圖2），連接A′C、AA′、A′B，延長(zhǎng)AA′和BC相交于Q，借助于解法1中的方法可得到：∠AA′B=∠ACB，則∠QA′B=∠QCA（補(bǔ)角相等）.由于在△QA′B和△QCA中兩個(gè)對(duì)應(yīng)的角相等，所以△QA′B∽△QCA，則，即

圖2

在△QA′C和△QBA中，滿足“兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等”，則△QA′C∽△QBA，則

由三角關(guān)系，得BC=AB·tanθ=ktanθ.

啟示：此解法是借助于“補(bǔ)全”圖形，構(gòu)造相似三角形來(lái)處理問(wèn)題；其中兩對(duì)相似三角形的顯現(xiàn)得益于“兩高”型基本圖形的運(yùn)用，如圖4為“兩高”型基本圖形（AD⊥BQ、 BE⊥AQ），借助于直角三角形相似的性質(zhì)可以得出，則△QDE∽△QAB.針對(duì)這種基本圖形特征進(jìn)行聯(lián)想與遷移，我們?nèi)菀自趫D3中得出：△QA′C∽△QBA.可見(jiàn)，一線數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中要注重學(xué)生聯(lián)想與遷移能力的培養(yǎng).

?

圖4

解法探究3——“咬定青山，撥云見(jiàn)日”.

根據(jù)題意，構(gòu)建圖形（如圖5），延長(zhǎng)BP交AA′與M點(diǎn)，連接A′C、AA′、A′B，過(guò)C點(diǎn)作CD⊥BP交BP于E點(diǎn)，交AB于D點(diǎn)，結(jié)合圖形翻折的特征，可得A′M=AM，∠A′MP=，則四邊形A′MEC為矩形.由于，則∠BCD=θ.此時(shí)可以分離出基本圖形（如圖6），根據(jù)△CBD∽△ABC，可知，即BC2=BD·BA.

圖5

圖6

啟示：此解法是根據(jù)題設(shè)中已知信息進(jìn)行探索，基于“共邊共角”型基本圖形的特征，在原圖中構(gòu)建且分離出基本圖形，從而得出重要關(guān)系式：BC2=BD·BA，此時(shí)可以發(fā)現(xiàn)BC為所求量未知，BA=k為已知，BD為未知量且難以求出，部分學(xué)生遇到這種情況時(shí)容易產(chǎn)生放棄繼續(xù)探索下去的念頭.數(shù)學(xué)教師在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中應(yīng)該倡導(dǎo)學(xué)生保持“咬定青山不放松”的探索精神，樹(shù)立“條條大道通羅馬”的必勝信念，堅(jiān)信“撥得云開(kāi)見(jiàn)日出”的必然結(jié)果；讓學(xué)生明白在數(shù)學(xué)解題中注重基本圖形（共邊共角）的構(gòu)建與利用是解決數(shù)學(xué)難題的一種重要手段.

關(guān)于“共邊共角”型基本圖形的運(yùn)用，在此我們可以再運(yùn)用一個(gè)案例進(jìn)行說(shuō)明，具體如下.

在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD=15，AB=16，BC=12，如圖7所示，E、F分別是AB和DC上的動(dòng)點(diǎn)且F不與點(diǎn)C和D重合，AF與DE相交于G且滿足∠AGE=∠DAB，若AE=x，DF=y，試求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式（注明x的取值范圍）.

剖析：根據(jù)題設(shè)已知條件，可知在△EGA和△EAD中存在兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等，則△EGA∽△EAD，則∠ADE=∠GAE=∠AFD.容易發(fā)現(xiàn)在△ADF中存在“共邊共角”型基本圖形，則可得出AD2=AG·AF.

圖7

根據(jù)題設(shè)條件，結(jié)合幾何關(guān)系，可得：DC=7，AF2=（9+y）2+122，則則

三、總結(jié)反思與感悟

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，解題教學(xué)是課程教學(xué)中的重點(diǎn)，主要目的在于如何想方設(shè)法提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)與規(guī)律解決實(shí)際問(wèn)題的能力.在本文中筆者以一道典型的圖形翻折問(wèn)題為探討基礎(chǔ)，列舉三種解題方法的探究過(guò)程和解題后的想法與啟示，由于筆者水平有限和時(shí)間倉(cāng)促，在此問(wèn)題的處理方法上可能還存在更好的解法與技巧，有待于讀者進(jìn)一步深入探究與思考.當(dāng)然，我們?cè)趯?shí)際數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，介紹給學(xué)生的解題方法往往都是以“易接受、最優(yōu)化”為原則.筆者認(rèn)為在時(shí)間允許的情況下，應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行一題多解的探究與追求，簡(jiǎn)潔解法和繁雜解法能夠體現(xiàn)數(shù)學(xué)不同角度的“美景”，學(xué)生都能從中得到一定的啟發(fā)，對(duì)于學(xué)生綜合能力的培養(yǎng)有著重要的促進(jìn)作用.